河北省秦皇岛市抚宁县抚宁镇下庄中学高一数学文期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知点P(sin,cos)落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
2. lg2+lg5=( )
A.10 B.2 C.1 D.0
参考答案:
C
【考点】对数的运算性质.
【分析】利用对数的运算性质即可得出.
【解答】解:原式=lg10=1.
故选:C.
3. 把函数y=sinx(x∈R)的图象上所有点向左平行移动个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是( )
A. ,x∈R B. ,x∈R
C. ,x∈R D. ,x∈R
参考答案:
C
考点: 函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
专题: 常规题型.
分析: 根据左加右减的性质先左右平移,再进行ω伸缩变换即可得到答案.
解答: 解:由y=sinx的图象向左平行移动个单位得到y=sin(x+),
再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍得到y=sin(2x+)
故选C
点评: 本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换,平移变换时注意都是对单个的x或y来运作的.
4. 在等比数列中,,,,则项数为 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
参考答案:
C
5. 在“校园十佳歌手”比赛上,六位评委给1号选手的评分如下:90,96,91,96,95,94,那么,这组数据的众数和中位数分别是( )
A.96,94.5 B.96,95 C.95,94.5 D.95,95
参考答案:
A
6. 差数列中,已知前15项的和,则等于 ( )
A. B.12 C. D.6
参考答案:
D
略
7. 如图,在平行四边形ABCD中,E为BC的中点,且=x+y,则( )
A.x=﹣1,y=﹣ B.x=1,y= C.x=﹣1,y= D.x=1,y=﹣
参考答案:
D
【考点】平面向量的基本定理及其意义.
【专题】对应思想;数形结合法;平面向量及应用.
【分析】利用平面向量的三角形法则用表示出.
【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴,,
∵E是BC中点,∴ =﹣=﹣.
∴==.∴x=1,y=﹣.
故选D:.
【点评】本题考查了平面向量的线性运算法则,平面向量的基本定理,属于基础题.
8. 设等差数列{an}的前n项和为,若=-2,=0,=3,则m=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
参考答案:
C
9. 已知向量,,t为实数,则的最小值是( ▲ )
A. 1 B. C. D.
参考答案:
B
10. 设l、m是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列论述正确的是( )
A.若l∥α,m∥α,则l∥m B. 若l∥α,l∥β,则α∥β
C.若l∥m,l⊥α,则m⊥α D.若l∥α,α⊥β,则l⊥β
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数是定义在上的奇函数,且当时,,则= .
参考答案:
略
12. 设函数, 则满足=的x的值__________.
参考答案:
函数 ,
可得当 时, ,解得 舍去.
当 时, ,解得 .
故答案为 .
13. 已知扇形的半径为4,弧长为12,则扇形的圆周角为 ;
参考答案:
3
略
14. 已知函数,则= .
参考答案:
3
15. 已知sin(﹣α)=,则cos(π+α)= .
参考答案:
﹣
【考点】两角和与差的余弦函数;两角和与差的正弦函数.
【分析】由条件利用诱导公式求得所给式子的值.
【解答】解:cos(π+α)=cos(π+π+α)=﹣cos(+α)=﹣sin[﹣(+α)]=﹣sin(﹣α)=﹣,
故答案为:.
16. 计算的值为 .
参考答案:
2
17. 对于△ABC,有如下命题:
①若sin2 A=sin2B,则△ABC为等腰三角形;
②若sinA=cosB,则△ABC为直角三角形;
③若sin2A+sin2B +cos2C<1,则△ABC为钝角三角形;
④若tanA+tanB+tanC>0,则△ABC为锐角三角形.
则其中正确命题的序号是 (把所有正确的都填上)
参考答案:
③ ④
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数f(x)=lg(ax﹣bx)(a>1>b>0).
(1)求f(x)的定义域;
(2)若f(x)在(1,+∞)上递增且恒取正值,求a,b满足的关系式.
参考答案:
【考点】函数恒成立问题;函数的定义域及其求法.
【分析】(1)要求ax﹣bx>0,转换为()x>1,利用指数函数性质求解;
(2)由增函数可得f(x)>f(1),只需f(1)=lg(a﹣b)≥0即可.
【解答】解:(1)∵ax﹣bx>0,
∴()x>1,
∵a>1>b>0
∴x>0,
即f(x)的定义域为(0,+∞);
(2)因为f(x)是增函数,所以当x∈(1,+∞)时,f(x)>f(1),
∴只需f(1)=lg(a﹣b)≥0,
∴a﹣b≥1.
19. 某商品在近天内,每件的销售价格(元)与时间(天)的函数关系是:,该商品的日销售量(件)与时间(天)的函数关系是,求这种商品日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大的一天是天中的哪一天
参考答案:
解:设商品日销售额为元,则
若,则当时,
若,则当时,
综上得当,日销售额有最大值为
答:商品日销售金额的最大值为元,第天日销售金额最大。
略
20. 已知,设函数 的最小值为
(Ⅰ)求的表达式;
(Ⅱ)是否存在区间,使得函数在区间上的值域为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
参考答案:
解:(Ⅰ)则
当时,;
当时,.
综上得;
(Ⅱ)显然,,则.
(1)当,函数在此区间递增,则,显然不符;
(2)当,
(ⅰ)当,函数在此区间递增,则,显然不符;
(ⅱ)当,则,显然不符;
(3)当,
(ⅰ)当,则,显然不符;
(ⅱ)当,函数在此区间递增,则,显然不符;
(ⅲ)当,函数在此区间递减,则,符合题意.
综上,存在符合题意的,且.
略
21. 某工厂生产一种机器的固定成本为5000元,且每生产100部,需要加大投入2500元。对销售市场进行调查后得知,市场对此产品的需求量为每年500部,已知销售收入函数为,其中是产品售出的数量0≤≤500.
(1)若为年产量,表示利润,求的解析式
(2)当年产量为何值时,工厂的年利润最大?其最大值是多少?
参考答案:
(1);
(2)当年产量为475部时,工厂的年利润最大,其最大值为:
(元)
略
22. 交通指数是指交通拥堵指数的简称,是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值,记交通指数为T,其范围为[0,10],分别有五个级别:,畅通;,基本畅通;,轻度拥堵;,中度拥堵;,严重拥堵.在晚高峰时段(),从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段,依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.
(1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数;
(2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取6个路段,求依次抽取的三个级别路段的个数;
(3)从(2)中抽取的6个路段中任取2个,求至少有1个路段为轻度拥堵的概率.
参考答案:
(1)轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数分别为6,9,3;(2)从交通指数在[4,6),[6,8),[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1;(3)
【分析】
(1)根据在频率分布直方图中,小长方形的面积表示各组的频率,可以求出频率,再根据频数等于频率乘以样本容量,求出频数;
(2)根据(1)求出拥堵路段的个数,求出每层之间的占有比例,然后求出每层的个数;
(3)先求出从(2)中抽取的6个路段中任取2个,有多少种可能情况,然后求出至少有1个路段为轻度拥堵有多少种可能情况,根据古典概型概率公式求出.
【详解】(1)由频率分布直方图得,这20个交通路段中,
轻度拥堵的路段有(0.1+0.2)×1×20=6(个),
中度拥堵的路段有(0.25+0.2)×1×20=9(个),
严重拥堵的路段有(0.1+0.05)×1×20=3(个).
(2)由(1)知,拥堵路段共有6+9+3=18(个),按分层抽样,从18个路段抽取6个,则抽取的三个级别路段的个数分别为,,,即从交通指数在[4,6),[6,8),[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1.
(3)记抽取的2个轻度拥堵路段为,,抽取的3个中度拥堵路段为,,,抽取的1个严重拥堵路段为,则从这6个路段中抽取2个路段的所有可能情况为:
,共15种,其中至少有1个路段为轻度拥堵的情况为:
,共9种.
所以所抽取的2个路段中至少有1个路段为轻度拥堵的概率为.
【点睛】本题考查了频率直方图的应用、分层抽样、古典概型概率的求法.解决本题的关键是对频率直方图所表示的意义要了解,分层抽样的原则要知道,要能识别古典概型.