河北省衡水市南午村镇中学2022-2023学年高一数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知平面向量,,且,则的值是( )
A.1 B.2 C. 3 D.4
参考答案:
B
因为平面向量满足,且,则有
,
故选B.
2. 已知函数为偶函数,则的值是
A. B. C. D.
参考答案:
B
因为函数为偶函数,那么可知二次函数关于y轴对称,因此一次项系数m-2=0,m=2,故选B
3. 已知函数f(x)=lnx+2x﹣6有唯一的零点在区间(2,3)内,且在零点附近的函数值用二分法逐次计算,得到数据如表所示.那么当精确度为0.02时,方程lnx+2x﹣6=0的一个近似根为( )
x
2.5
2.53125
2.546875
2.5625
2.625
2.75
f(x)
0.084
0.009
0.029
0.066
0.215
0.512
A.2.5 B.2.53 C.2.54 D.2.5625
参考答案:
C
【考点】二分法求方程的近似解.
【分析】按照二分法的方法流程进行计算,根据f(a)?f(b)的符号确定根所在的区间,当区间长度小于或等于0.02时,只需从该区间上任取一个数即可.
【解答】解:由表格可知,
方程f(x)=lnx+2x﹣6的近似根在(2.5,3),(2.5,2.75),(2.5,2.625),(2.5,2.546875),(2.53125,2.546875),
故程f(x)=lnx+2x﹣6的一个近似根(精确度0.02)为:2.54,
故选C.
4. 某人驾车从乡村进城,各时间段的行驶速度如右图,则其行驶路程S与时间t的函数关系式是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
5. 一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是( )海里.
A.10 B.20 C.10 D.20
参考答案:
A
【考点】HU:解三角形的实际应用.
【分析】根据题意画出图象确定∠BAC、∠ABC的值,进而可得到∠ACB的值,根据正弦定理可得到BC的值.
【解答】解:如图,由已知可得,∠BAC=30°,∠ABC=105°,AB=20,
从而∠ACB=45°.
在△ABC中,由正弦定理可得BC=×sin30°=10.
故选:A.
6. 一次猜奖游戏中,1,2,3,4四扇门里摆放了a,b,c,d四件奖品(每扇门里仅放一件).甲同学说:1号门里是b,3号门里是c;乙同学说:2号门里是b,3号门里是d;丙同学说:4号门里是b,2号门里是c;丁同学说:4号门里是a,3号门里是c.如果他们每人都猜对了一半,那么4号门里是( )
A.a B.b C.c D.d
参考答案:
A
【考点】F4:进行简单的合情推理.
【分析】根据题意,条件“四人都只说对了一半”,若甲同学猜对了1﹣b,依次判断3﹣d,2﹣c,4﹣a,再假设若甲同学猜对了3﹣c得出矛盾.
【解答】解:根据题意:若甲同学猜对了1﹣b,则乙同学猜对了,3﹣d,丙同学猜对了,2﹣c,丁同学猜对了,4﹣a,
根据题意:若甲同学猜对了3﹣c,则丁同学猜对了,4﹣a,丙同学猜对了,2﹣c,这与3﹣c相矛盾,
综上所述号门里是a,
故选:A.
7. 已知函数f(x)=其中M∪P=R,则下列结论中一定正确的是( )
A.函数f(x)一定存在最大值 B.函数f(x)一定存在最小值
C.函数f(x)一定不存在最大值 D.函数f(x)一定不存在最小值
参考答案:
C
【考点】函数的最值及其几何意义.
【分析】分别根据指数函数和二次函数的图象和性质,结合条件M∪P=R,讨论M,P,即可得到结论.
【解答】解:由函数y=2x的值域为(0,+∞),
y=x2的值域为[0,+∞),
且M∪P=R,
若M=(0,+∞),P=(﹣∞,0],
则f(x)的最小值为0,故D错;
若M=(﹣∞,2),P=[2,+∞),
则f(x)无最小值为,故B错;
由M∪P=R,可得图象无限上升,
则f(x)无最大值.
故选:C.
8. 在数列中,为非零常数),且前项和为,则实数的值为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
9. 下列各式成立的是:
A. B.
C. D.
参考答案:
A
10. 设,则,,的大小关系是
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某在校大学生提前创业,想开一家服装专卖店,经过预算,店面装修费为10000元,每天需要房租水电等费用100元,受营销方法、经营信誉度等因素的影响,专卖店销售总收入P与店面经营天数x的关系是 ,则总利润最大时店面经营天数是_________。
参考答案:
200
12. (4分)已知向量、满足||=1,||=4,且?=2,则与的夹角为 .
参考答案:
考点: 平面向量数量积的运算.
分析: 直接应用数量积的运算,求出与的夹角.
解答: 设向量、的夹角为θ;因为?=2,所以?=||||cosθ=4cosθ=2,所以θ=
故答案为:.
点评: 正确应用平面向量的数量积的运算,是解好题题目的关键,本题是基础题.
13. 若关于x的方程有三个不等的实数解,则实数的值是___________.
参考答案:
1
略
14. 在等差数列{an}中,a1=2,公差为d,且a2,a3,a4+1成等比数列,则d= .
参考答案:
2
【分析】运用等差数列的通项公式和等比数列中项的性质,可得公差d的二次方程,解方程可得d,检验即可得到所求值.
【解答】解:等差数列{an}中,a1=2,公差为d,且a2,a3,a4+1成等比数列,
可得a32=a2(a4+1),
即为(2+2d)2=(2+d)(2+3d+1),
化为d2﹣d﹣2=0,
解得d=2或﹣1,
若d=2,即有4,6,9成等比数列;
若d=﹣1,即有1,0,0不成等比数列.
则d=2成立.
故答案为:2.
15. 已知函数满足,则的解析式为 .
参考答案:
16. 若,且,则的最小值为__________.
参考答案:
17. 已知等差数列的前项和为,若,且,,三点共线(该直线不过点),则=_____________.
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (14分)若函数f(x)在定义域D内某区间1上是增函数,而F(x)=在1上是减函数,则称寒素y=f(x)在1上是“弱增函数”
(1)请分析判断函数f(x)=x﹣4,g(x)=﹣x2+4x在区间(1,2)上是否是“弱增函数”,并简要说明理由
(2)若函数h(x)=x2﹣(sinθ﹣)x﹣b(θ,b是常数),在(0,1]上是“弱增函数”,请求出θ及b应满足的条件.
参考答案:
考点: 利用导数研究函数的单调性.
专题: 函数的性质及应用;导数的综合应用;三角函数的图像与性质.
分析: (1)根据“弱增函数”的定义,判断f(x)、g(x)在(1,2)上是否满足条件即可;
(2)根据“弱增函数”的定义,得出①h(x)在(0,1)上是增函数,在(0,1)上是减函数,列出不等式组,求出b与θ的取值范围.
解答: 解:(1)由于f(x)=x﹣4在(1,2)上是增函数,且F(x)==1﹣在(1,2)上也是增函数,
所以f(x)=x﹣4在(1,2)上不是“弱增函数”…(2分)
g(x)=﹣x2+4x在(1,2)上是增函数,但=﹣x+4在(1,2)上是减函数,
所以g(x)=﹣x2+4x在(1,2)上是“弱增函数”…(4分)
(2)设h(x)=x2﹣(sinθ﹣)x﹣b(θ、b是常数)在(0,1)上是“弱增函数”,
则①h(x)=x2﹣(sinθ﹣)x﹣b在(0,1)上是增函数,
由h(x)=x2﹣(sinθ﹣)x﹣b在(0,1)上是增函数得≤0,…(6分)
∴sinθ≤,θ∈(k∈Z); …(8分)
②H(x)==x﹣+﹣sinθ在(0,1)上是减函数,
记G(x)=x﹣,在(0,1)上任取0<x1<x2≤1,
则G(x1)﹣G(x2)=(x1x2+b)>0恒成立,…(11分)
又∵<0,∴x1x2+b<0恒成立,
而当0<x1<x2≤1时,0<x1x2<1,∴b≤﹣1;
(如果直接利用双沟函数的结论扣2分)
∴b≤﹣1;
且θ∈(k∈Z)时,h (x)在(0,1]上是“弱增函数”.…(14分)
点评: 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题,也考查了函数与导数的应用问题,考查了新定义的应用问题,考查了分析与解决问题的能力,是综合性题目.
19. 已知函数,常数.
(1)讨论函数的奇偶性,并说明理由;
(2)若,判断函数函数在时的单调性,并证明你的结论.
参考答案:
解:(1)当时,对,有
所以,为其定义域上的偶函数;----------------------------------------------------2分
当时,,
由得,不是奇函数
由得,不是偶函数
综上,当时,既不是奇函数也不是偶函数-------------------------------6分
(注:当时,用与的关系判断,得出正确结论,要适当扣分)
(2)时,在区间上为增函数--------------------8分
证明如下:设,则
-----------------11分
因为,所以,且,
故,,所以
也即,---------------------------13分
由单调性定义知,在区间上为增函数------------14分
略
20. (本小题满分12分)
已知函数(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象;(2)求函数的单调增区间;(3)若,求的最大值和最小值.
参考答案:
(1)列表、作图…………………………….4分
x
0
y
3
6
3
0
3
(2)由得
所以
所以函数的单调增区间为---------------------8分
(3)因为
所以,所以,
所以当即时,
当即时,---------------------12分
21. 某人射击一次命中7~10环的概率如下表
命中环数
7
8
9
10
命中概率
0.16
0.19
0.28
0.24
计算这名射手在一次 射击中:
(1)射中10环或9环的概率;
(2)至少射中7环的概率;
(3)射中环数不足8环的概率.
参考答案:
【分析】某人射击一次命中7环、8环、9环、10环的事件分别记为A、B、C、D,则可得P(A)=0.16,P(B)=0.19,P(C)=0.28,P(D)=0.24
(1)事件D或C有一个发生,根据互斥事件的概率公式可得
(2)事件A、B、C、D有一个发生,据互斥事件的概率公式可得
(3)考虑“射中环数不足8环“的对立事件:利用对立事件的概率公式P(M)=1﹣P()求解即可
【解答】解:某人射击一次命中