河北省衡水市圈头中学高三数学文联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 下列四个图象,只有一个符合y=|k1x+b1|+|k2x+b2|﹣|k3x+b3|(k1,k2k3∈R+,b1b2b3≠0)的图象,则根据你所判断的图象,k1、k2、k3之间一定满足的关系是( )
A.k1+k2=k3 B.k1=k2=k3 C.k1+k2>k3 D.k1+k2<k3
参考答案:
A
【考点】函数的图象.
【分析】由于k1,k2,k3为正实数,考虑当x足够小时和当x足够大时的情形去掉绝对值符号,转化为关于x的一次函数,通过观察直线的斜率特征即可进行判断.
【解答】解:y=|k1x+b1|﹣|k2x+b2|+|k3x+b3|(其中k1>0,k2>0,k3<0,b1,b2,b3为非零实数),
当x足够小时,y=﹣(k1+k2﹣k3)x﹣(b1+b2﹣b3),
当x足够大时,y=(k1+k2﹣k3)x+(b1+b2﹣b3),
可见,折线的两端的斜率必定为相反数,此时只有第2个图象符合条件.
此时k1+k2﹣k3=0,即k1+k2=k3,
故选:A.
2. 复数z=的虚部为( )
A.﹣ B.﹣1 C. D.
参考答案:
A
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【解答】解:∵z==,
∴复数z=的虚部为.
故选:A.
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.
3. 已知向量,满足且,若向量在向量方向上的投影为-2,则( )
A.2 B. C.4 D.12
参考答案:
A
由,即,
所以,
由向量在向量方向上的投影为,则,
即,所以,故选A.
4. 已知向量且与的夹角为锐角,则的取值范围是( )
参考答案:
B
5. 已知变量,满足约束条件,则的最大值为 ( )
A.2 B. C. D.
参考答案:
【知识点】线性规划问题. E5
【答案解析】A 解析:已知不等式组表示的区域,如图及其内部,包括边界.
平移直线y=2x-z得点B(2,2)为取得最大值的最优解,所以所求最大值为2.
故选A.
【思路点拨】画出可行域,平移目标函数对应的直线,得目标函数取得最大值的最优解.
6. 已知i为虚数单位,且若为实数,则实数m的值为( )
A.2 B.-2 C. D.
参考答案:
D
因为且是实数,
所以,则,故选D.
7. 设Sn为等比数列{an}的前n项和,a3=8a6,则的值为( )
A. B.2 C. D.5
参考答案:
C
【考点】等比数列的前n项和.
【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出.
【解答】解:a3=8a6,∴a3=8,解得q=.
则==.
故选:C.
8. 已知a<b,若函数f(x),g(x)满足,则称f(x),g(x)为区间上的一组“等积分”函数,给出四组函数:
①f(x)=2|x|,g(x)=x+1;
②f(x)=sinx,g(x)=cosx;
③;
④函数f(x),g(x)分别是定义在上的奇函数且积分值存在.
其中为区间上的“等积分”函数的组数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
C
考点:微积分基本定理.
专题:计算题;导数的概念及应用.
分析:利用“等积分”函数的定义,对给出四组函数求解,即可得出区间上的“等积分”函数的组数
解答: 解:对于①,,而g(x)dx=()=2,所以①是一组“等积分”函数;
对于②,,而,所以②不是一组“等积分”函数;对于③,由于函数f(x)的图象是以原点为圆心,1为半径的半圆,故,而g(x)dx|=,所以③是一组“等积分”函数;
对于④,由于函数f(x),g(x)分别是定义在上的奇函数且积分值存在,利用奇函数的图象关于原点对称和定积分的几何意义,可以求得函数的定积分,所以④是一组“等积分”函数,
故选C.
点评:本题考查“等积分”函数,考查定积分的计算,有点复杂.
9. 已知平面,则下列命题中正确的是 ( )
A.
B.
C.
D.
参考答案:
D
10. 设则 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11.
的展开式中的常数项是 。(用数字作答)
参考答案:
答案:20
12. 已知分别是△ABC三个内角A,B,C所对的边,若,A+C=2B,则sinA=____
参考答案:
13. 已知,则=____________.
参考答案:
略
14. 已知函数,则满足的实数x的取值范围是________.
参考答案:
15. 如图,点P是单位圆上的一个顶点,它从初始位置P0开始沿单位圆按逆时针方向运动角α()到达点P1,然后继续沿单位圆逆时针方向运动到达点P2,若点P2的横坐标为,则cosα的值等于 .
参考答案:
略
16. 设函数f(x)=,g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的递减区间是______
参考答案:
17. 若,则=_________.
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知点F是抛物线C:的焦点,S是抛物线C在第一象限内的点,且|SF|=。
(1)求点S的坐标;
(2)以S为圆心的动圆与轴分别交于两点A、B,
延长SA、SB分别交抛物线C于M、N两点;
①判断直线MN的斜率是否为定值,并说明理由;
②延长NM交轴于点E,若|EM|=|NE|,求cos∠MSN的值。
参考答案:
解:(1)设(>0),由已知得F,则|SF|=,
∴=1,∴点S的坐标是(1,1)。
(2)①设直线SA的方程为由得
∴,∴。
由已知SA=SB,∴直线SB的斜率为,∴,
∴。
②设E(t,0),∵|EM|=|NE|,∴,∴ ,则∴。
∴直线SA的方程为,则,同理。
∴。
19. 已知离心率为的椭圆的顶点恰好是双曲线的左右焦点,点是椭圆上不同于的任意一点,设直线的斜率分别为.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;高考资源网w。w-w*k&s%5¥u
(Ⅱ)试判断的值是否与点的位置有关,并证明你的结论;
(Ⅲ)当时,圆:被直线截得弦长为,求实数的值。
参考答案:
解:(Ⅰ)双曲线的左右焦点为
即的坐标分别为.
所以设椭圆的标准方程为,则,
且,所以,从而,
所以椭圆的标准方程为.
若是竖放的,则:
(Ⅱ)设则,即高考资源网w。w-w*k&s%5¥u
.
所以的值与点的位置无关,恒为。
(Ⅲ)由圆:得,
其圆心为,半径为,
由(Ⅱ)知当时,,
故直线的方程为即,高考资源网w。w-w*k&s%5¥u
所以圆心为到直线的距离为,
又由已知圆:被直线截得弦长为及垂径定理得
圆心到直线的距离,
所以, 即,解得或。
所以实数的值为或.
略
20. 设正项数列{an}的前n项和Sn满足.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设,数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn的取值范围.
参考答案:
(1);(2).
分析:第一问首先将代入题中所给的式子,结合与的关系,求得,再类比着写出一个式子,两式相减求得,结合数列的项的符号,得到,从而得到数列是等差数列,应用等差数列的通项公式写出结果;第二问利用裂项相消法对数列求和,结合式子写出其范围.
详解:(1)①时,由,得,
②时,由已知,得,∴,
两式作差,得,
又因为是正项数列,所以.
∴数列是以1为首项,2为公差的等差数列.
∴.
(2)∵,
∴
.
又因为数列是递增数列,当时最小,,
∴.
点睛:该题考查的是有关数列的通项公式的求解以及裂项相消法求和,在解题的过程中,需要对题中所给的式子,类比着往前写或者往后写一个,两式相减,结合题中的条件,得到相邻两项的差为同一个常数,从而得到该数列是等差数列,之后借助于等差数列的通项公式求得结果,对于第二问应用裂项相消法求和之后,结合式子的特征以及n的范围,求得其值域.
21. (本小题满分12分)的三个内角依次成等差数列.
(Ⅰ)若,试判断的形状;
(Ⅱ)若为钝角三角形,且,试求的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ)∵,∴ .
∵依次成等差数列,∴,.
由余弦定理,
,∴.
∴为正三角形.
(Ⅱ)
=
=
=
=
=
∵,∴,
∴ ,.
∴代数式的取值范围是.
22. 已知函数,在处的切线与轴平行.
(1)求的单调区间;
(2)若存在,当时,恒有成立,求的取值范围.
参考答案:
(1)由已知可得的定义域为
不等式可化为,
,不适合题意.
适合题意.
适合题意.
综上,的取值范围是