河北省衡水市祖杨农中学高一数学文期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知幂函数f(x)=xk的图象经过函数g(x)=ax﹣2﹣(a>0且a≠1)的图象所过的定点,则f()的值等于( )
A.8 B.4 C.2 D.1
参考答案:
B
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域.
【分析】利用指数函数过定点(1,0),求出g(x)的图象过定点(2,),
代入幂函数f(x)=xk的解析式求出k的值,从而求出f(x)以及f()的值.
【解答】解:在函数g(x)=ax﹣2﹣(a>0且a≠1)中,
令x﹣2=0,解得x=2,
此时g(x)=a0﹣=;
所以g(x)的图象过定点(2,),
即幂函数f(x)=xk的图象过定点(2,),
所以=2k,
解得k=﹣1;
所以f(x)=x﹣1,
则f()=4.
故选:B.
2. 某个命题与自然数有关,且已证得“假设时该命题成立,则时该命题也成立”.现已知当时,该命题不成立,那么( )
A. 当时,该命题不成立 B. 当时,该命题成立
C. 当时,该命题不成立 D. 当时,该命题成立
参考答案:
C
【分析】
写出命题“假设时该命题成立,则时该命题也成立”的逆否命题,结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断.
【详解】由逆否命题可知,命题“假设时该命题成立,则时该命题也成立”的逆否命题为“假设当时该命题不成立,则当时该命题也不成立”,
由于当时,该命题不成立,则当时,该命题也不成立,故选:C.
【点睛】本题考查逆否命题与原命题等价性的应用,解题时要写出原命题的逆否命题,结合逆否命题的等价性进行判断,考查逻辑推理能力,属于中等题.
3. 集合M={(x,y)|y=,x、y∈R},N={(x,y)|x=1,y∈R},则M∩N等于
A.{(1,0)} B.{y|0≤y≤1} C.{1,0} D.
参考答案:
A
y=表示单位圆的上半圆,x=1与之有且仅有一个公共点(1,0).
4. 算法的三种基本结构是 ( )
A. 顺序结构、模块结构、条件结构 B. 顺序结构、循环结构、模块结构
C. 顺序结构、条件结构、循环结构 D. 模块结构、条件结构、循环结构
参考答案:
C
略
5. 方程的解所在的区间是( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C
6. 已知,则 ( )
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
C
7. 已知,则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
试题分析:A中,当时,不成立;B中,,故B正确;C中,当时,不成立;D中,当时,不成立,故选B.KS5U
考点:不等式的性质.
8. 对于,直线恒过定点,则以为圆心,为半径的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
略
9. 关于x、y的方程的正整数解(x,y)的个数为 ( )
A.16 B.24 C.32 D.48
参考答案:
D.
解析:由得,整理得
,从而,原方程的正整数解有(组)
10. 已知函数,若,则实数a的值为( )
A.1 B.2 C.0 D.-1
参考答案:
B
因为,所以 ,选B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 边长为a的正三角形ABC的边AB、AC的中点为E、F,将△AEF沿EF折起,此时A点的新位置A'使平面A'EF⊥平面BCFE,则A'B= .
参考答案:
【考点】直线与平面垂直的判定.
【分析】取BC的中点N,连接AN交EF于点M,连接A′M,可证A′M⊥BM,由已知可得AM=MN==A′M,在Rt△MNB中,利用勾股定理可求MB,进而在Rt△A′MB中,利用勾股定理可求A′B的值.
【解答】解:取BC的中点N,连接AN交EF于点M,连接A′M,
则A′M⊥EF.∵平面A′EF⊥平面BCFE,
∴A′M⊥平面BCFE,
∴A′M⊥BM,
∵AM=MN=,
∴A′M=,
在Rt△MNB中,MB===,
在Rt△A′MB中,A′B===.
故答案为:.
【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判断,考查了勾股定理在解三角形中的应用,考查了空间想象能力和推理论证能力,属于中档题.
12. 直线和将以原点圆心,1为半径的圆分成长度相等的四段弧,则________.
参考答案:
2
13. 已知向量,,则与的夹角为 .
参考答案:
60°
又代入则:
,
14. 用长为20cm的绳子围城一扇形,当圆心角为 rad时扇形的面积最大。
参考答案:
2
15. 已知 ,若,则_________________
参考答案:
16. (5分)已知函数若f(x)=2,则x= .
参考答案:
log32
考点: 函数的图象与图象变化.
专题: 计算题.
分析: 要求若f(x)=2时,对应自变量x的值,我们可根据构造方程,然后根据分段函数的分段标准进行分类讨论,即可得到答案.
解答: 由?x=log32,
无解,
故答案:log32.
点评: 本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x的值.属于基础知识、基本运算的考查.分段函数分段处理,这是研究分段函数图象和性质最核心的理念,具体做法是:分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集,分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证;分段函数的最大值,是各段上最大值中的最大者.
17. f(x﹣1)的定义域是[,9],则函数的定义域是 .
参考答案:
(1,2)∪(2,3]
【考点】对数函数的定义域.
【分析】由函数f(x﹣1)的定义域求出f(x)的定义域,然后由题意列式,求解不等式组的解集得答案.
【解答】解:∵f(x﹣1)的定义域是[,9],即x∈[,9],
∴x﹣1∈.
f(x)的定义域为.
由,解得:1<x≤3且x≠2.
∴函数的定义域是(1,2)∪(2,3].
故答案为:(1,2)∪(2,3].
【点评】本题考查了函数的定义域及其求法,考查了不等式组的解法,是基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在六面体中,平面∥平面,平面,,,∥,且,.
(I)求证:平面平面;
(II)求证:∥平面;
(III)求三棱锥的体积.
参考答案:
(1)∵平面∥平面,平面平面,
平面平面
.
∴为平行四边形,.
平面,平面,
平面,
∴平面平面.
(2)取的中点为,连接、,
则由已知条件易证四边形是平行四边形,
∴,又∵, ∴
∴四边形是平行四边形,即,
又平面 故 平面.
(3)平面∥平面,则F到面ABC的距离为AD.
=
19. 已知函数f(x)=log3.
(Ⅰ)求函数f(x)的定义域;
(Ⅱ)判断函数f(x)的奇偶性;
(Ⅲ)当x∈[﹣,]时,函数g(x)=f(x),求函数g(x)的值域.
参考答案:
【答案】
【解析】
【考点】对数函数图象与性质的综合应用.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】(Ⅰ)根据对数式的真数部分大于0,构造关于x的不等式,解不等式可得函数f(x)的定义域;
(II)根据函数的定义域关于原点对称,且f(﹣x)=﹣f(x),结合函数奇偶性的定义,可得结论;
(III)当x∈[﹣,]时,先求出真数部分的取值范围,进而可得函数g(x)的值域.
【解答】解:(I)要使函数f(x)=log3的解析式有意义,
自变量x须满足:>0,
解得x∈(﹣1,1),
故函数f(x)的定义域为(﹣1,1),
(II)由(I)得函数的定义域关于原点对称,
且f(﹣x)=log3=log3()﹣1=﹣log3=﹣f(x).
故函数f(x)为奇函数,
(III)当x∈[﹣,]时,
令u=,则u′=﹣<0,
故u=在[﹣,]上为减函数,
则u∈[,3],
又∵g(x)=f(x)=log3u为增函数,
故g(x)∈[﹣1,1],
故函数g(x)的值域为[﹣1,1].
【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质,函数的定义域,值域,奇偶性,解分式不等式,是函数图象和性质的综合应用,难度中档.
20. 已知R为实数集,集合A={x|log2x≥1},B={x|x﹣a>4}.
(Ⅰ)若a=2,求A∩(?RB);
(Ⅱ)若A∪B=B,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】集合的包含关系判断及应用;交、并、补集的混合运算.
【专题】计算题;集合思想;综合法;集合.
【分析】(Ⅰ)若a=2,求出A,?RB,即可求A∩(?RB);
(Ⅱ)若A∪B=B,则A?B,即可求实数a的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)∵log2x≥1,∴x≥2,即A=[2,+∞),
∵a=2,∴B={x|x>6},∴?RB=(﹣∞,6],
∴A∩(?RB)=[2,6];
(Ⅱ)∵A∪B=B,∴A?B,
∵A=[2,+∞),B={x|x>a+4},
∴a+4<2,
∴a<﹣2.
【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于基础题.
21. 如图,△ABC中,AC=BC=AB,四边形ABED是边长为a的正方形,平面ABED⊥平面ABC,若G、F分别是EC、BD的中点.
(1)求证:GF∥平面ABC;
(2)求BD与平面EBC所成角的大小;
(3)求几何体EFBC的体积.
参考答案:
(1)证明:如图
连接EA交BD于F,
∵F是正方形ABED对角线BD的中点,
∴F是EA的中点,
∴FG∥AC.
又FG?平面ABC,AC?平面ABC,
∴FG∥平面ABC.
(2)解析:
∵平面ABED⊥平面ABC,
BE⊥AB,∴BE⊥平面ABC.
∴BE⊥AC.
又∵AC=BC=AB,
∴BC⊥AC,
又∵BE∩BC=B,
∴AC⊥平面EBC.
由(1)知,FG∥AC,
∴FG⊥平面EBC,
∴∠FBG就是线BD与平面EBC所成的角.
又BF=BD=,FG=AC=,sin ∠FBG==.
∴∠FBG=30°.
(3)解析:VEFBC=VFEBC=S△EBC·FG=··a···=.
22. (13分) 如图,已知直线,直线以及上一点。求圆心在上且与直线相切于点P的圆的方程。
参考答案:
圆:
略