河北省邢台市清河中学高一数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若数集A = {x|2a + 1≤x≤3a-5 },B = {x|3≤x≤22 },则能使成立的所有a的集合是( )A. {a|1≤a≤9} B. {a|6≤a≤9} C. {a|a≤9} D.
参考答案:
C
略
2. 已知g(x)=1-2x,f[g(x)]=,则f()=( )A.1 B.3 C.15 D.30
参考答案:
C
略
3. 半径为R的半圆面卷成一个无底圆锥,则该圆锥的体积为( )
A.πR3 B.πR3 C.πR3 D.πR3
参考答案:
A
4. 如果函数在区间上是减少的,那么实数的取值
范围是( ▲ )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
C
略
5. 已知向量,满足||=,||=1,且对任意实数x,不等式|+x|≥|+|恒成立,设与的夹角为θ,则tan2θ=( )
A. B.C. D.
参考答案:
D
【考点】数量积表示两个向量的夹角.
【分析】由题意,当()时,对于任意实数x,不等式|+x|≥|+|恒成立,此时tanθ=,由此能求出tan2θ.
【解答】解:由平面向量加法的几何意义,只有当()时,对于任意实数x,不等式|+x|≥|+|恒成立,如图所示,
设或,
斜边大于直角边恒成立,
则不等式|+x|≥|+|恒成立,
∵向量,满足||=,||=1,
∴tanθ=﹣2,
∴tan2θ=.
故选:D.
另:将不等式|+x|≥|+|两边平方得到不等式|+x|2≥|+|2,展开整理得得,恒成立,
所以判别式,解得cosθ=,sinθ=,所以tanθ=﹣2,tan2θ=;
故选D.
6. 若,,则,2,,中最大一个是 ( )
A. B.2 C. D.
参考答案:
A
略
7. 函数的最小正周期是
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
8. 甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,其中a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a﹣b|≤1,就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
考点: 古典概型及其概率计算公式.
专题: 新定义.
分析: 本题是一个古典概型,试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏,其中满足条件的满足|a﹣b|≤1的情形包括6种,列举出所有结果,根据计数原理得到共有的事件数,根据古典概型概率公式得到结果.
解答: 解:由题意知本题是一个古典概型,
∵试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏,共有6×6=36种猜字结果,
其中满足|a﹣b|≤1的有如下情形:
①若a=1,则b=1,2;②若a=2,则b=1,2,3;
③若a=3,则b=2,3,4;④若a=4,则b=3,4,5;
⑤若a=5,则b=4,5,6;⑥若a=6,则b=5,6,
总共16种,
∴他们“心有灵犀”的概率为.
故选D.
点评: 本题是古典概型问题,属于高考新增内容,解本题的关键是准确的分类,得到他们“心有灵犀”的各种情形.
9. 设偶函数满足,则( )
A B C D
参考答案:
B
10. 若点P在角的终边上,且|OP|=2,则点P的坐标是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 是第二象限角,为其终边上一点,且,则的值为 .
参考答案:
由题意得,
∵是第二象限角,
∴,
∴,解得.
∴.
答案:
12. 设点A(2,0),B(4,2),点P在直线AB上,且||=2||,则点P的坐标为____________.
参考答案:
(3,1)或(1,-1)
13. (4分)圆心为(1,1)且与直线x﹣y=4相切的圆的方程是 .
参考答案:
(x﹣1)2+(y﹣1)2=8
考点: 直线与圆的位置关系.
专题: 计算题;直线与圆.
分析: 根据题意,求出点(1,1)与直线x﹣y=4的距离等于2,即为所求圆的半径,结合圆的标准方程形式即可得到本题答案.
解答: 解:设圆的方程是(x﹣1)2+(y﹣1)2=r2
∵直线x﹣y=4与圆相切
∴圆的半径r==2
因此,所求圆的方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=8
故答案为:(x﹣1)2+(y﹣1)2=8
点评: 本题求一个已知圆心且与已知直线相切的圆方程,着重考查了点到直线的距离公式、圆的标准方程和直线与圆的位置关系等知识,属于基础题.
14. 已知向量的夹角为,,则___________.
参考答案:
试题分析: ,,所以,提醒:.
考点:平面向量数量积的应用之一:求模.
15. 若关于x的不等式<0的解集为,则实数a的取值范围为
参考答案:
16. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M和N分别为BC、C1C
的中点,那么异面直线MN与AC所成的角等于_________。
参考答案:
60
略
17. 已知定义在R上的函数f(x)恒满足,且f(x)在[1,+∞)为单调减函数,则当 时,f(x)取得最大值;若不等式成立,则m的取值范围是 .
参考答案:
1,(0,2)
由可知,存在对称轴,又在单调递减,则在单调递增,所以,取到最大值;
由对称性可知,,
所以,得,即的范围为。
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分12分)已知函数
(1)当时,求函数的最大值和最小值;
(2)求实数的取值范围,使在区间上是单调减函数
参考答案:
19. 已知函数f(x)=x+﹣4,g(x)=kx+3.
(1)当a=k=1时,求函数y=f(x)+g(x)的单调递增与单调递减区间;
(2)当a∈[3,4]时,函数f(x)在区间[1,m]上的最大值为f(m),试求实数m的取值范围;
(3)当a∈[1,2]时,若不等式|f(x1)|﹣|f(x2)|<g(x1)﹣g(x2)对任意x1,x2∈[2,4](x1<x2)恒成立,求实数k的取值范围.
参考答案:
【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.
【分析】(1)将a=k=1代入函数,求出函数y=f(x)+g(x)的导数,从而求出函数的单调区间即可;
(2)解不等式f(m)≥f(1)即可;
(3)不等式等价于F(x)=|f(x)|﹣g(x)在[2,4]上递增,显然F(x)为分段函数,结合单调性对每一段函数分析讨论即可.
【解答】解:(1)a=k=1时,y=f(x)+g(x)=2x+﹣1,
y′=2﹣=,
令y′>0,解得:x>1或x<﹣1,令y′<0,解得:﹣1<x<1且x≠0,
故函数在(﹣∞,﹣1)递增,在(﹣1,0),(0,1)递减,在(1,+∞)递增;
(2)∵a∈[3,4],
∴y=f(x)在(1,)上递减,在(,+∞)上递增,
又∵f(x)在区间[1,m]上的最大值为f(m),
∴f(m)≥f(1),解得(m﹣1)(m﹣a)≥0,
∴m≥amax,即m≥4;
(3)∵|f(x1)|﹣|f(x2)|<g(x1)﹣g(x2),
∴|f(x1)|﹣g(x1)<|f(x2)|﹣g(x2)恒成立,
令F(x)=|f(x)|﹣g(x),则F(x)在[2,4]上递增.
对于F(x)=,
(i)当x∈[2,2+]时,F(x)=(﹣1﹣k)x﹣+1,
①当k=﹣1时,F(x)=﹣+1在[2,2+]上递增,所以k=﹣1符合;
②当k<﹣1时,F(x)=(﹣1﹣k)x﹣+1在[2,2+]上递增,所以k<﹣1符合;
③当k>﹣1时,只需≥2+,即≥(+)max=2+,
所以﹣1<k≤6﹣4,从而k≤6﹣4;
(ii)当x∈(2+,4]时,F(x)=(1﹣k)x+﹣7,
①当k=1时,F(x)=﹣7在(2+,4]上递减,所以k=1不符合;
②当k>1时,F(x)=(1﹣k)x+﹣7在(2+,4]上递减,所以k>1不符合;
③当k<1时,只需≤2+,即≤(+)min=1+,
所以k<2﹣2,
综上可知:k≤6﹣4.
20. 已知函数(,且).
(1)写出函数的定义域,判断奇偶性,并证明;
(2)解不等式.
参考答案:
(1)由题设可得,解得,故函数定义域为
从而:
故为奇函数. …………6分 (
2)由题设可得,即:
当时∴为上的减函数 ∴,解得:
当时 ∴为上的增函数∴,
解得: …12分
21. 已知,圆C:x2+y2﹣8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0.
(1)当a为何值时,直线l与圆C相切;
(2)当直线l与圆C相交于A、B两点,且AB=时,求直线l的方程.
参考答案:
见解析
【考点】直线与圆的位置关系;直线与圆相交的性质.
【专题】计算题;综合题.
【分析】把圆的方程化为标准方程后,找出圆心坐标与圆的半径r,
(1)当直线l与圆相切时,圆心到直线的距离d等于圆的半径r,利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d,让d等于圆的半径r,列出关于a的方程,求出方程的解即可得到a的值;
(2)联立圆C和直线l的方程,消去y后,得到关于x的一元二次方程,然后利用韦达定理表示出AB的长度,列出关于a的方程,求出方程的解即可得到a的值.
【解答】解:将圆C的方程x2+y2﹣8y+12=0配方得标准方程为x2+(y﹣4)2=4,
则此圆的圆心为(0,4),半径为2.
(1)若直线l与圆C相切,则有.解得.
(2)联立方程并消去y,
得(a2+1)x2+4(a2+2a)x+4(a2+4a+3)=0.
设此方程的两根分别为x1、x2,
所以x1+x2=﹣,x1x2=
则AB===2
两边平方并代入解得:a=﹣7或a=﹣1,
∴直线l的方程是7x﹣y+14=0和x﹣y+2=0.
【点评】此题考查学生掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径,灵活运用韦达定理及两点间的距离公式化简求值,是一道综合题.
22. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足.
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)记,求{bn}的前n项和Tn.
参考答案:
解:(Ⅰ)设等差数列的公差为,则
,解得
故.
(Ⅱ)
当时,,
当时,,
所以,。