河北省邢台市广宗县第二中学2023年高三数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试,先将700个零件进行编号,001,002,……,699,700.从中抽取70个样本,下图提供随机数表的第4行到第6行,若从表中第5行第6行开始向右读取数据,则得到的第6个样本编号是( )
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A.623 B.328 C.253 D. 007
参考答案:
A
从第5行第6列开始向又读取数据,
第一个数为253,第二个数是313,第三个数是457,
下一个数是860,不符合要求,下一个数是736,不符合要求,下一个是253,重复,
第四个是007,第五个是328,第六个是623,故选A.
2. 某几何体的三视图如图2所示,则该几何体的体积是
A. B. C. D.
参考答案:
A
3. 设函数 则关于x的方程有7个不同的实数解的充要条件是
A. b<0且c>0 B.b>0且c<0 C.b<0且c=0 D. b>0且c=0
参考答案:
C
二次方程有最多有两个解
如图所示,
从而两根和-b>0且两根积c=0
4. 已知命题: “若,则”成立,那么字母x,y,z在空间所表示的几何图形不能
A.都是直线 B.都是平面 C.x,y是直线,z是平面 D.x,z是平面,y是直线
参考答案:
C
略
5. 双曲线的左焦点为,过右顶点作轴的垂线分別交两渐近线于两点,若为等边三角形,则的离心率是( )
A. B. C.2 D.
参考答案:
C
6. 在等差数列等于( )
A.9 B. 27 C.18 D.54
参考答案:
A
7. a>0,a≠1,函数f(x)=在[3,4]上是增函数,则a的取值范围是( )
A.或a>1 B.a>1 C. D.或a>1
参考答案:
A
【考点】对数函数图象与性质的综合应用.
【分析】对a分a>1与0<a<1,利用复合函数的单调性结合函数g(x)=|ax2﹣x|的图象列出符合条件的不等式组,解之即可.
【解答】解:∵a>0,a≠1,令g(x)=|ax2﹣x|作出其图象如下:
∵函数f(x)=在[3,4]上是增函数,
若a>1,则或,解得a>1;
若0<a<1,则,解得≤a<;
故选A.
8. 设函数的图像在点处切线的斜率为,则函数的部分图像为
参考答案:
B
略
9. 设全集,集合,则 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
10. 如图,正方体AC1的棱长为1,过点A作平面A1BD的垂线,垂足为点H,则以下命题中,错误的命题是 ( )
A.直线AH和BB1所成角为45°
B.AH的延长线经过点C1
C.AH垂直平面CB1D1
D.点H是的垂心
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知,则对应的的集合为 .
参考答案:
[-1,2]
12. 三棱柱的直观图和三视图(主视图和俯视图是正方形,左视图是等腰直角三角形)如图所永,则这个三棱柱的全面积等于_____________
参考答案:
13. 若函数,且在实数上有三个不同的零点,则实数__________.
参考答案:
14. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为5,双曲线的左顶点为,若双曲线一条渐近线与直线垂直,则实数 .
参考答案:
考点:抛物线双曲线的几何性质及有关概念的综合运用.
15. 的展开式中,的系数是______ (用数字作答).
参考答案:
84
本题主要考查对二项展开式的通项公式以及计算能力,难度一般.
因为的展开式中的系数即为的展开式中的系数,而的展开式中的第r+1项为,当,是含的项,其系数为,即原展开式中的系数为84.
16. 如图,在四面体ABCD中,E,F分别为AB,CD的中点,过EF任作一个平面分别与直线BC,AD相交于点G,H,则下列结论正确的是 .
①对于任意的平面,都有直线GF,EH,BD相交于同一点;
②存在一个平面,使得点在线段BC上,点H在线段AD的
延长线上;
③对于任意的平面,都有;
④对于任意的平面,当G,H在线段BC,AD上时,几何体AC-EGFH的体积是一个定值.
参考答案:
③④
17. 已知函数,若函数的最小正周期是,且当时,则关于的方程的解集为________________________.
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知等差数列{an}的前n项的和为,,.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设,记数列bn的前n项和Tn,求使得恒成立时m的最小正整数.
参考答案:
(1) (2)1
【分析】
(1)先设设等差数列的公差为,由,列出方程组求出首项和公差即可;
(2)由(1)先求出,再由裂项相消法求数列的前项和即可.
【详解】解:(1)设等差数列的公差为,因为,,
所以 解得
所以数列的通项公式为.
(2)由(1)可知
∴
,
∴,∴,∴的最小正整数为1
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式,以及裂项相消法求数列前项和的问题,熟记公式即可,属于基础题型.
19. (本小题满分12分)
已知函数(其中).
(Ⅰ)若为的极值点,求的值;
(Ⅱ) 在(Ⅰ)的条件下,解不等式.
参考答案:
(Ⅰ)因为
因为为的极值点,所以由,解得
检验,当时,,当时,,当时,.
所以为的极值点,故. ……………4分
(Ⅱ) 当时,不等式,
整理得,
即或
令,,,
当时,;当时,,
所以在单调递减,在单调递增,所以,即,
所以在上单调递增,而;
故;,
所以原不等式的解集为. ……………12分
20. (本小题满分14分)
已知抛物线上一点到其焦点F的距离为4;椭圆的离心率,且过抛物线的焦点F.
(I)求抛物线和椭圆的标准方程;
(II)过点F的直线交抛物线于A、B两不同点,交轴于点N,已知,求证:为定值.
(III)直线交椭圆于P,Q两不同点,P,Q在x轴的射影分别为,,
,若点S满足:,
证明:点S在椭圆上.
参考答案:
所以
,所以 (*)……………………5分
由得:
得: ……………………………………7分
所以
将(*)代入上式,得…………………9分
(Ⅲ)设
所以,则
由得
(1)…………………………………11分
,(2) (3)
(1)+(2)+(3)得:
即满足椭圆的方程
命题得证………………………………………………………14分
21. 如图,四棱锥中,底面为平行四边形,,是棱的中点,且.
(1)求证:;(2)如果是棱上一点,若,求的值
参考答案:
(1)见解析;(2)
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定G5 G7
解析:(1)证明:连接AC.
∵在△ABC中,
AB=AC=2,BC=2,
∴BC2=AB2+AC2,
∴AB⊥AC.
∵AB∥CD,
∴AC⊥CD.
又∵PA⊥底面ABCD,
∴PA⊥CD.
∵AC∩PA=A,
∴CD⊥平面PAC.
(2)解:∵点M是线段PD的中点,
∴点P,M到底面ABCD的距离之比为2:1,
S△BNC:S△ANC=,
∴==×==,
∴=.
【思路点拨】(1)连接AC.在△ABC中,BC2=AB2+AC2,AB⊥AC.由AB∥CD,可得AC⊥CD. 利用线面垂直的性质可得PA⊥CD.即可证明.(2)由于点M是线段PD的中点,可得点P,M到底面ABCD的距离之比为2:1,而S△BNC:S△ANC=,即可得出体积之比.
22. 在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C1的极坐标方程为,直线l的极坐标方程为.
(1)写出曲线C1与直线l的直角坐标方程;
(2)设Q为曲线C1上一动点,求Q点到直线l距离的最小值.
参考答案:
(1)C1:3x2+y2=3,l:x+y=4. ……………………………………………………………4分
(2)法一:设Q(cos θ,sin θ),则点Q到直线l的距离
d= ==≥=当且仅当θ+=2kπ+,即θ=2kπ+ (k∈Z)时,Q点到直线l距离的最小值为.…………10分
法二:设Q(x,y),直线l:x+y=c与椭圆方程联立,利用直线与椭圆相切求出c,则Q点到直线l距离的最小值为两平行直线间的距离.