河北省秦皇岛市第四中学2023年高一数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若,则 ( )
、 、3 、 、
参考答案:
D
2. 在等比数列中,已知,则等于( )
A.16 B.6 C.12 D.4
参考答案:
D
略
3. 设,则 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
4. 若正四棱锥的侧棱长为,侧面与底面所成的角是45°,则该正四棱锥的体积是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.
【分析】作出棱锥的高与斜高,得出侧面与底面所成角的平面角,利用勾股定理列方程解出底面边长,代入体积公式计算.
【解答】解:过棱锥定点S作SE⊥AD,SO⊥平面ABCD,则E为AD的中点,O为正方形ABCD的中心.
连结OE,则∠SEO为侧面SAD与底面ABCD所成角的平面角,即∠SEO=45°.
设正四棱锥的底面边长为a,则AE=OE=SO=,
∴SE==.
在Rt△SAE中,∵SA2=AE2+SE2,
∴3=,解得a=2.
∴SO=1,
∴棱锥的体积V==.
故选B.
5. 如图圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]上的图像大致为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
试题分析:如图所示,作,垂足为,当时,在中,.在中,;当时,在中,,在中,,所以当时,的图象大致为C.
考点:三角函数模型的应用,函数的图象.
【名师点睛】本题考查三角函数模型的应用,考查学生对图形的分析与认识能力.要作出函数的图象,一般要求出函数的解析式,本题中要作出点到直线的垂线段,根据的取值范围的不同,垂足的位置不同,在时,垂足在线段上,当时,垂足在射线的反向延长线上.因此在解题时一定要注意分类讨论思想的应用.
6. 已知函数f(x)=是增函数,则a的取值范围是( )
A.(1,2) B.(1,3) C.(2,3) D.[2,3)
参考答案:
D
【考点】函数单调性的性质.
【分析】根据指数函数以及一次函数的性质得到关于a的不等式组,解出即可.
【解答】解:若函数f(x)=是增函数,
则,解得:2≤a<3,
故选:D.
7. 若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,那么实数a的取值范围是( )
A.a≥3 B.a≤-3 C.a≤5 D.a≥ -3
参考答案:
B
略
8. 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为 ( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
参考答案:
A
略
9. 在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若,则△ABC的形状为
A. 正三角形 B. 等腰三角形或直角三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
参考答案:
C
【分析】
根据题目分别为角A,B,C的对边,且可知,利用边化角的方法,将式子化为,利用三角形的性质将化为,化简得,推出,从而得出△ABC的形状为直角三角形.
【详解】由题意知,
由正弦定理得
又
展开得,
又角A,B,C是三角形的内角
又
综上所述,△ABC的形状为直角三角形,故答案选C.
【点睛】本题主要考查了解三角形的相关问题,主要根据正余弦定理,利用边化角或角化边,若转化成角时,要注意的应用.
10. 已知集合,,定义集合,则中元素个数为( ).
A. B. C. D.
参考答案:
C
的取值为,,,的取值为,,,,,
的不同取值为,,,,,,
同理的不同取值为,,,,,,
当时,只能等于零,此时,多出个,
同理时,只能等于零,此时,多出个,
一共多出个,
∴中元素个数.
故选.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. “希望杯”全国数学邀请赛从1990年开始举办,当年参赛人数约10万人,到1996年参赛人数已超过60万人,如果每年的参赛人数按相同的增长率增加,那么估计1997年参赛人数至少 万人。(保留小数点后1位,≈ 1.308,≈ 1.348,≈ 1.383)
参考答案:
80.8
12. 已知,,,则 .
参考答案:
13. 已知函数f(x)对任意实数a,b,都有成立,若f(2)=4,f(3)=3,则f(36)的值为.
参考答案:
14
14. 如果函数f(x)对其定义域内的任意两个实数x1,x2都满足不等式f()<,则称函数f(x)在定义域上具有性质M,给出下列函数:
①y=;②y=x2;③y=2x;④y=log2x.其中具有性质M的是 (填上所有正确答案的序号)
参考答案:
②③
【考点】函数的值.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】由不等式f()<,可知:函数为下凸函数,画出图象即可判断出.
【解答】解:函数f(x)对其定义域内的任意两个实数x1,x2都满足不等式f()<,则称函数f(x)在定义域上具有性质M,(为下凸函数).
由函数的图象可知:②y=x2;③y=2x.其中具有性质M.
故答案为:②③.
【点评】本题考查了下凸函数的性质,考查了数形结合思想方法与推理能力,属于中档题.
15. 已知函数如果f(x0)=16,那么实数x0的值是 .
参考答案:
﹣2
【考点】函数的值.
【专题】分类讨论;转化思想;函数的性质及应用.
【分析】对x分类讨论,利用分段函数的性质即可得出.
【解答】解:当x<3时,﹣8x0=16,解得x0=﹣2,满足条件.
当x≥3时,=16,解得x0=2,不满足条件.
综上可得:x0=﹣2.
故答案为:﹣2.
【点评】本题考查了分段函数的性质,考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力,属于中档题.
16. 已知函数_______________
参考答案:
17. 已知,则=________________.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题12分)某中学组织了地理知识竞赛,从参加考试的学生中抽出60名学生,将其成绩(均为整数)分成六组[40,50),[50,60),…,[90,100],其部分频率分布直方图如图所示.观察图形,回答下列问题.
(l)求成绩在[70: 80)的频率,并补全这个频率分布直方图:
(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分;(计算时可以用组中值代替各组数据的平均值)
(3)从成绩在[40,50)和[90,100]的学生中选两人,求他们在同一分数段的概率.
参考答案:
19. 先化简再计算:
,其中x是一元二次方程的正数根.
参考答案:
20. (18)(本小题满分12分) 求过点A(3,4)与圆C:(x-2)2+(y-1)2=1相切的直线方程
参考答案:
解:设所求方程为y-4=k(x-3)
即kx-y+4-3k=0
由=1得k=
所以切线方程为4x-3y=0
当过A(3,4)向圆可作两条切线,另一条为x=3
所求切线方程为4x-3y=0或x=3
略
21. 已知函数f(x)=sin(ωx﹣)(ω>0,x∈R)的最小正周期为π.
(Ⅰ)求f();
(Ⅱ)在给定的平面直角坐标系中,画出函数y=f(x)在区间[﹣,]上的图象.
参考答案:
解:(1)依题意得,T==π,解得ω=2,所以f(x)=sin(2x﹣),
所以 f(π)=sin(2×﹣)=sin(π+)=﹣sin=﹣,
(2)画出函数在区间上的图象如图所示:
考点:正弦函数的图象.
专题:三角函数的图像与性质.
分析:(1)根据T=,求出周期,得到函数的解析式,代入值计算即可;
(2)利用五点作图法作图即可.
解答: 解:(1)依题意得,T==π,解得ω=2,所以f(x)=sin(2x﹣),
所以 f(π)=sin(2×﹣)=sin(π+)=﹣sin=﹣,
(2)画出函数在区间上的图象如图所示:
点评:本题考查了三角函数的周期性质,以及三角函数值的求法和函数图象的做法,属于基础题.
22. 如图,在平面四边形ABCD中,,,AB=1.
(1)若,求△ABC的面积;
(2)若,,求CD的长度.
参考答案:
解:(1)因为,所以,
即,
又因为,,所以,则,
所以.
(2)在中,由余弦定理得:
,
解得:,
在中,由正弦定理得:
,即,
所以,
在中,由余弦定理得:
,即 .