河北省衡水市故城镇中学2022-2023学年高一数学文上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 与函数y=x相等的函数是( )
A.y=()2 B.y= C.y= D.y=
参考答案:
B
【考点】判断两个函数是否为同一函数.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】本题可以通过函数的定义域、解析式、值域是否相同来判断函数是否为同一个函数,得到本题结论.
【解答】解:选项A中,x≥0,与函数y=x的定义域R不符;
选项B中,,符合题意;
选项C中,y≥0,与函数y=x的值域R不符;
选项D中,x≠0,与函数y=x的定义域R不符;
故选B.
【点评】本题考查了函数的定义,本题难度不大,属于基础题.
2. 函数且的图像恒过定点( ).
A. B. C. D.
参考答案:
C
本题主要考查对数函数的性质.
对数函数且恒过定点.
那么恒过定点,
恒过定点.
故本题正确答案为.
3. 在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据.现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( )
x
2
3
4
5
6
y
0.97
1.59
1.98
2.35
2.61
A.y=log2x B.y=2x C. D.y=2.61cosx
参考答案:
A
【考点】对数函数、指数函数与幂函数的增长差异.
【分析】根据题目中各函数的基本特征,对表中数据进行分析、判断即可.
【解答】解:对于A,函数y=log2x,是对数函数,增长速度缓慢,且在x=2时y=1,x=4时y=2,基本符合要求;
对于B,函数y=2x是指数函数,增长速度很快,且在x=2时y=4,x=4时y=16,代入值偏差较大,不符合要求;
对于C,函数y=(x2﹣1)是二次函数,且当x=2时y=1.5,x=4时y=7.5,代入值偏差较大,不符合要求;
对于D,函数y=2.61cosx是周期函数,且在[2,3]内是减函数,x=3时y<0,x=4时y<0,不符合要求.
故选:A.
4. 函数的图像为C,则以下判断中,正确的是( )
A.过点的C唯一 B.过点的C唯一
C.在长度为的闭区间上恰有一个最高点和一个最低点 D.图像C关于原点对称
参考答案:
A
5. 若,是第三象限的角,则等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【分析】
先由同角三角函数的关系求出的正弦值,再利用两角和的正弦公式,结合特殊角的三角函数求解即可.
【详解】因为,是第三象限的角,
所以,
,故选A.
6. 焦点为(0,6),且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
【考点】双曲线的简单性质.
【专题】计算题.
【分析】设所求的双曲线方程是,由 焦点(0,6)在y 轴上,知 k<0,故双曲线方程是 ,
据 c2=36 求出 k值,即得所求的双曲线方程.
【解答】解:由题意知,可设所求的双曲线方程是,∵焦点(0,6)在y 轴上,∴k<0,
所求的双曲线方程是 ,由﹣k+(﹣2k)=c2=36,∴k=﹣12,
故所求的双曲线方程是 ,
故选 B.
【点评】本题考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用.
7. ,则的大小关系是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
试题分析:因为指数函数的定义域为,值域为,故,由底数,故函数在上单调递减,故,由且底数,故,故,综上可得:,故选A.
考点:指数函数性质的应用.
8. 设奇函数在上为增函数,且,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
9. 若函数与在区间上都是减函数,则实数的取值范围是( )
A.∪ B.∪ C. D.
参考答案:
D
10. 对于函数,下列选项中正确的是( )
A.在上是递增的 B.的图像关于原点对称
C. 的最小正周期为 D. 的最大值为2
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知,则f()= .
参考答案:
1
【考点】函数的值.
【专题】计算题;转化思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】由已知条件利用函数的性质和有理数指数幂性质求解.
【解答】解:∵,
∴f()=f(2﹣1)=+3=1.
故答案为:1.
【点评】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用.
12. 对于正项数列,定义为的“蕙兰”值,现知数列的“蕙兰”值为,则数列的通项公式为= .
参考答案:
略
13. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面,则该圆锥的表面积为 。
参考答案:
3π
略
14. 若关于x的不等式的解集为(0,n),则实数n的值为 .
参考答案:
2
∵关于x的不等式的解集为,
∴是方程的解,
∴,
∴原不等式为,即,
解得,
故不等式的解集为,
∴.
15. 设,则的大小关系为 ▲ .
参考答案:
略
16. 在△ABC中,已知30°,则B等于__________.
参考答案:
15°或105°
【分析】
根据三角形正弦定理得到角,再由三角形内角和关系得到结果.
【详解】根据三角形的正弦定理得到,
故得到角,当角时,有三角形内角和为,得到,
当角时,角
故答案为
【点睛】在解与三角形有关的问题时,正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时,往往用余弦定理,而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时,往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
17. 方程sinx﹣cosx=0(x∈[0,2π])的所有解之和为 _________ .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,A,B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点,现位于A点北偏东60°,B点北偏西45°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西75°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D点需要多长时间?
参考答案:
解:在△ABD中,由正弦定理:
在△CBD中,由余弦定理:
(海里)
∴(小时)
答:该救援船到达D点需要的时间为小时
19. 已知不等式x2+mx+3≤0的解集为A=[1,n],集合B={x|x2﹣ax+a≤0}.
(1)求m﹣n的值;
(2)若A∪B=A,求a的取值范围.
参考答案:
【考点】集合的包含关系判断及应用;一元二次不等式的解法.
【分析】(1)利用韦达定理,求出m,n,即可求m﹣n的值;
(2)若A∪B=A,B?A,分类讨论求a的取值范围.
【解答】解:(1)∵不等式x2+mx+3≤0的解集为A=[1,n],
∴,∴m=﹣4,n=3,
∴m﹣n=﹣7;
(2)A∪B=A,∴B?A.
①B=?,△=a2﹣4a<0,∴0<a<4;
②B≠?,设f(x)=x2﹣ax+a,则,∴4≤a≤,
综上所述,0<a≤.
20. 设圆C满足三个条件①过原点;②圆心在y=x上;③截y轴所得的弦长为4,求圆C的方程.
参考答案:
【考点】圆的标准方程.
【专题】计算题;方程思想;数形结合法;直线与圆.
【分析】分圆心C在第一象限和第三象限两种情况,当圆心C1在第一象限时,过C1分别作出与x轴和y轴的垂线,根据角平分线的性质得到四边形OBCD为正方形,连接C1A,由题意可知圆C与y轴截得的弦长为4,根据垂径定理即可求出正方形的边长即可得到圆心C的坐标,在直角三角形ABC中,利用勾股定理即可求出AC的长即为圆的半径,由圆心和半径写出圆的方程;当圆心C在第三象限时,同理可得圆C的方程.
【解答】解:根据题意画出图形,如图所示:
当圆心C1在第一象限时,过C1作C1D垂直于x轴,C1B垂直于y轴,连接AC1,
由C1在直线y=x上,得到C1B=C1D,则四边形OBC1D为正方形,
∵与y轴截取的弦OA=4,∴OB=C1D=OD=C1B=2,即圆心C1(2,2),
在直角三角形ABC1中,根据勾股定理得:AC1=2,
则圆C1方程为:(x﹣2)2+(y﹣2)2=8;
当圆心C2在第三象限时,过C2作C2D垂直于x轴,C2B垂直于y轴,连接AC2,
由C2在直线y=x上,得到C2B=C2D,则四边形OB′C2D′为正方形,∵与y轴截取的弦OA′=4,∴OB′=C2D′,
=OD′=C2B′=2,即圆心C2(﹣2,﹣2),
在直角三角形A′B′C2中,根据勾股定理得:A′C2=2,
则圆C1方程为:(x+2)2+(y+2)2=8,
∴圆C的方程为:(x﹣2)2+(y﹣2)2=8或(x+2)2+(y+2)2=8.
【点评】本题考查了角平分线定理,垂径定理,正方形的性质及直角三角形的性质,做题时注意分两种情况,利用数形结合的思想,分别求出圆心坐标和半径,写出所有满足题意的圆的标准方程,是中档题.
21. 设函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,﹣<φ<0)的最小正周期为π.且f()=.
(1)求ω和φ的值;
(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0,π]上的图象(3)若f(x)>,求x的取值范围.
参考答案:
【考点】HK:由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;H7:余弦函数的图象;HA:余弦函数的单调性.
【解答】解:(I)周期,∴ω=2,
∵,
且,∴.
(II)知,则列表如下:
2x﹣
﹣
0
π
x
0
π
π
f(x)
1
0
﹣1
0
图象如图:
(III)∵,
∴
解得,
∴x的范围是.
22. 如图所示,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,E、F分别为PC、BD的中点,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD.
(1)求证:EF∥平面PAD;
(2)求证:平面PAB⊥平面PCD.
参考答案:
(1)连结AC,则F是AC的中点,E为PC的中点,
故在△CPA中,EF∥PA,
又∵PA?平面PAD,EF?平面PAD,
∴EF∥平面PAD.
(2)∵平面PAD⊥平面ABCD,
平面PAD∩平面ABCD=AD,
又∵CD⊥AD,∴CD⊥平面PAD,
∴CD⊥PA.
又PA=PD=AD,
∴△PAD是等腰直角三角形,且∠APD=,即PA⊥PD.
又∵CD∩PD=D,∴PA⊥平面PCD.
又∵PA?平面PAB,
∴平面PAB⊥平面PCD.