河北省衡水市杨院中学高一数学文联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如图,半径为的圆切直线于点,射线从出发绕着点顺时针方向旋转到,旋转过程中交⊙于点,记为,弓形的面积,那么的大致图象是( )
参考答案:
A
2. 若,则函数的值域是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B 解析: ,
3. 某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人,中年职工人数是老年职工人数的2倍。为了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工32人,则该样本中的老年职工人数为 ( )
(A) 9 (B) 18 (C) 27 (D) 36
参考答案:
B
4. 已知函数,则( )
A.2log23-2 B.log27-1 C.2 D.log26
参考答案:
B
因为,所以,故选B.
5. 有下列三种说法①侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱 ②底面是正多边形的棱柱是正棱柱 ③棱柱的侧面都是平行四边形.其中正确说法的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
参考答案:
C
【考点】棱柱的结构特征.
【分析】利用棱柱的定义,分别进行判断,即可得出结论.
【解答】解:①侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱,正确;
②底面是正多边形的直棱柱是正棱柱,不正确;
③棱柱的侧面都是平行四边形,正确,
故选:C.
【点评】本题考查棱柱的定义,考查学生对概念的理解,比较基础.
6. 在等差数列{an}中,其前n项和为Sn.若公差,且,则的值为( )
A. 70 B. 75 C. 80 D. 85
参考答案:
D
【分析】
先设,,根据题中条件列出方程组,求解,即可得出结果.
【详解】设,,
则,
解得,.
故选D
【点睛】本题主要考查由等差数列的性质计算偶数项的和,熟记等差数列的前项和的性质即可,属于常考题型.
7. 函数是( ).
A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
参考答案:
B
8. 如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图,斜边O′B′=2,则这个平面图形的面积是( )
A. B.1 C. D.
参考答案:
D
【考点】平面图形的直观图.
【分析】根据所给的直观图是一个等腰直角三角形且斜边长是2,得到直角三角形的直角边长,做出直观图的面积,根据平面图形的面积是直观图的2倍,得到结果.
【解答】解:∵Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图,斜边O'B'=2,
∴直角三角形的直角边长是,
∴直角三角形的面积是,
∴原平面图形的面积是1×2=2
故选D.
9. 如果函数f(x)=x2+2(a﹣1)x+2在区间(﹣∞,4]上是减函数,那么实数a的取值范围是( )
A.a≥5 B.a≤5 C.a≤﹣3 D.a≥﹣3
参考答案:
C
【考点】二次函数的性质.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】利用二次函数对称轴和区间(﹣∞,4]的关系,建立不等式进行求解即可.
【解答】解:∵函数f(x)=x2+2(a﹣1)x+2在区间(﹣∞,4]上是减少的,
∴二次函数的对称轴x≥4,
即,
∴a≤﹣3.
故选:C.
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质,要求熟练掌握二次函数对称轴和函数单调性之间的关系.
10. f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)=( )
A.3 B.1 C.-1 D.-3
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知平面向量,满足||=2,||=2,|+2|=5,则向量,夹角的余弦值为 .
参考答案:
【考点】9R:平面向量数量积的运算.
【分析】利用数量积的定义及其性质即可得出.
【解答】解:∵平面向量,满足||=2,||=2,|+2|=5,
∴5===,
化为=.
故答案为:.
12. 在△ABC中,∠C=60°,a,b,c分别为∠A、∠B、∠C的对边,则______
参考答案:
1
13. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当时,,其中.
①______;
②若f(x)的值域是R,则a的取值范围是______.
参考答案:
-1;
【分析】
①运用奇函数的定义,计算即可得到所求值;
②由的图象关于原点对称,可知二次函数的图象与轴有交点,得到,解不等式即可得到所求范围.
【详解】①由题意得:
为上的奇函数
②若的值域为且图象关于原点对称
当时,与轴有交点
解得:或 的取值范围为
故答案为;
【点睛】本题考查函数的奇偶性的运用,根据函数的值域求解参数范围,涉及到函数函数对称性和二次函数的性质的应用,属于中档题.
14. 若两条异面直线所成的角为60°,则称这对异面直线为“黄金异面直线对”,在连接正方体各顶点的所有直线中,“黄金异面直线对”共有________对.
参考答案:
24
15. 分解因式____ __________;
参考答案:
16. 已知,则 的值是_____.
参考答案:
【分析】
由sin(x+)的值,利用同角三角函数间的基本关系求出cos2(x+)的值,将所求式子的第一项中的角变形为π-(x+),第二项中的角变形为﹣(x+),分别利用诱导公式化简后,将各自的值代入即可求出值.
【详解】解:∵sin(x+)=,
=
=
=
=
故答案为:.
【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式,灵活变换角度是解本题的关键,属于基础题.
17. 已知,则= ;= .
参考答案:
﹣;
【考点】两角和与差的正弦函数;二倍角的余弦.
【专题】转化思想;综合法;三角函数的求值.
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系、诱导公式、二倍角公式、两角差的余弦公式,求得要求式子的值.
【解答】解:∵已知,∴x+为钝角,
则=sin=cos(x+)=﹣=﹣.
∴sin(2x+)=2sin(x+)cos(x+)=2××(﹣)=﹣,
cos(2x+)=2﹣1=2×﹣1=,
∴=cos=cos(2x+)cos+sin(2x+)sin
=+(﹣)×=,
故答案为:.
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、二倍角公式、两角差的余弦公式的应用,属于基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 计算:
(Ⅰ)log525+lg;
(Ⅱ).
参考答案:
【考点】对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值.
【专题】计算题;函数思想;方程思想;函数的性质及应用.
【分析】(Ⅰ)利用对数的运算法则求解即可.
(Ⅱ)利用有理指数幂的运算法则求解即可.
【解答】(本小题满分10分)
解:(Ⅰ)
=.
(Ⅱ)=
=0.
【点评】本题考查导数的运算法则以及有理指数幂的运算法则的应用,考查计算能力.
19. (本小题满分10分)
已知集合,函数的定义域构成集合B,
求 (1), (2)
参考答案:
略
20. 如图,在半径为40cm的半圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD,其中A,B在直径上,点C,D在圆周上、
(1)设AD=x,将矩形ABCD的面积y表示成x的函数,并写出其定义域;
(2)怎样截取,才能使矩形材料ABCD的面积最大?并求出最大面积.
参考答案:
【考点】数列的应用.
【分析】(1)OA=2=2,可得y=f(x)=2x,x∈(0,40).
(2)平方利用基本不等式的性质即可得出.
【解答】解:(1)AB=2OA=2=2,
∴y=f(x)=2x,x∈(0,40).
(2)y2=4x2(1600﹣x2)≤4×=16002,即y≤1600,当且仅当x=20时取等号.
∴截取AD=20时,才能使矩形材料ABCD的面积最大,最大面积为1600.
【点评】本题考查了函数的性质、矩形的面积计算公式、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
21. (12分)有3名男生,4名女生,在下列不同要求下,求不同的排列方法总数.
(1)全体排成一行,其中甲只能在中间或者两边位置.
(2)全体排成一行,其中甲不在最左边,乙不在最右边.
(3)全体排成一行,男、女各不相邻.
(4)全体排成一行,其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变.
参考答案:
略
22. 已知M={x|﹣2≤x≤5},N={x|a+1≤x≤2a﹣1},若M?N,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】18:集合的包含关系判断及应用.
【分析】利用M?N建立,不等关系即可求解,注意当N=?时,也成立.
【解答】解:①若N=?,即a+1>2a﹣1,解得a<2时,满足M?N.
②若N≠?,即a≥2时,要使M?N成立,
则,即,解得﹣3≤a≤3,此时2≤a≤3.
综上a≤3.
【点评】本题主要考查利用集合关系求参数取值问题,注意对集合N为空集时也成立,注意端点取值等号的取舍问题.