河北省秦皇岛市杨黄岭中学高三数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为( )
A. B. C. D.3
参考答案:
A
考点: 由三视图求面积、体积.
专题: 计算题;空间位置关系与距离.
分析: 根据几何体的三视图,得出该几何体是三棱柱与三棱锥的组合体,结合图中的数据,求出它的体积.
解答: 解:根据几何体的三视图,得;
该几何体是下部为直三棱柱,上部为直三棱锥的组合体;
如图所示:
∴该几何体的体积是
V几何体=V三棱柱+V三棱锥
=×2×1×1+××2×1×1
=.
故选:A.
点评: 本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题,是基础题目.
2. 定义在R上的函数 满足 是偶函数, ,
且 ,则“ ”是“ ”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
C
略
3. 设双曲线的右焦点为,点M,N在双曲线C上,O是坐标原点,若四边行为平行四边形,且四边形OFMN的面积为bc,则双曲线C的离心率为( )
A. B.2 C. D.
参考答案:
C
设,因为OFMN为平行四边形,所以,因为OFMN的面积为bc,所以,选C.
4. 命题“”的否定是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
5. 抛物线的准线与双曲线的两渐近线围成的三角形的面积为
A. B. C. 2 D.
参考答案:
D
抛物线的准线为,双曲线的两渐近线为和,令,分别解得,所以三角形的低为,高为3,所以三角形的面积为,选D.
6. 某几何体的三视图如右图(其中侧视图中的圆弧是半圆),则该几何体的表面积为( )
A . B .
C . D .
参考答案:
A
7. 若定义在R上的偶函数满足且时,则方程的零点个数是( ) ks5u
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 多于4个
参考答案:
C
8. 等差数列中,,则该数列的前5项和为( )
A.32 B. 20 C.16 D.10
参考答案:
D
略
9. (5分)已知集合A={x||x|<1},B={x|2x>1},则A∩B=( )
A. (﹣1,0) B. (﹣1,1) C. (0,) D. (0,1)
参考答案:
D
【考点】: 交集及其运算.
【专题】: 集合.
【分析】: 利用绝对值不等式性质求出集合A,利用指数函数的性质求出集合B,再由交集定义能求出A∩B.
解:∵集合A={x||x|<1}={x|﹣1<x<1},
B={x|2x>1}={x|x>0},
∴A∩B={x|0<x<1}=(0,1).
故选:D.
【点评】: 本题考查交集的求法,是基础题,解题时要注意绝对值不等式性质、指数函数的性质的合理运用.
【题文】(5分)复数(i是虚数单位)的虚部是( )
A. 1 B. i C. D. i
【答案】C
【解析】
【考点】: 复数代数形式的乘除运算.
【分析】: 直接利用复数代数形式的乘除运算化简后得答案.
解:∵=,
∴复数(i是虚数单位)的虚部是.
故选:C.
【点评】: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.
10. 已知,若对任意的,不等式恒成立,则的最大值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知x,y满足,则x+y的最大值为 .
参考答案:
2
考点:简单线性规划.
专题:不等式的解法及应用.
分析:作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求x+y的最大值.
解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分).
设z=x+y得y=﹣x+z,
平移直线y=﹣x+z,
由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时,直线y=﹣x+z的截距最大,
此时z最大.
由,解得,即B(1,1),
代入目标函数z=x+y得z=1+1=2.
即目标函数z=x+y的最大值为2.
故答案为:2.
点评:本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键.
12. (平面几何选讲) 已知C点在圆O直径BE的延长线上,CA切圆O于A点, DC是∠ACB的平分线交AE于点F,交AB于D点. =_______.
参考答案:
略
13. 已知函数f(x)=2x2+m的图象与函数g(x)=ln|x|的图象有四个交点,则实数m的取值范围为 ▲ .
参考答案:
(-∞,--ln2)
14. 在△ABC中,点D是线段BC上任意一点,M是线段AD的中点,若存在实数和,使得,则 .
参考答案:
;
15. 如图正方形ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,则AD1与B1C所成
的角为 ;三棱锥B1—ABC的体积为 。
参考答案:
16. 已知:。若同时满足条件
①<0或<0②,则m的取值范围是
参考答案:
(-4,-2)
略
17. 若向量,满足,则__________.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)
如图,直四棱柱 ,底面ABCD为梯形,
.
(1) 若 ,E为 的中点,在侧面 内是否存在点F,
使EF 平面 ?若存在,请确定点F的位置;若不存在,请说明理由.
(2)若点K为 的中点,平面 与平面ACK所成锐二面角为 ,求的长.
参考答案:
【知识点】空间直角坐标系的应用;空间向量解决线面位置关系. G9 G10
(1)不存在满足条件得点F,理由:见解析;(2)(2)或.
解析:(1)以B为原点,BC,BA, 分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,1,0),B(0,0,0),C(2,0,0),(2,2,2).
若存在这样的点F,则可设F(0,y,z),其中.---2分
,
∵EF⊥平面, ∴,
则即,---4分
与矛盾,所以不存在满足条件得点F.----- 6分
(2)设,则K(0,0,k),
设平面ACK的法向量,则,取,同样可得平面
的一个法向量. -------8分
由题意得,即,----10分
解得:或(负值舍去),即的长为或.—12分
【思路点拨】(1)以B为原点,BC,BA, 分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,若存在这样的点F,则可设F(0,y,z),其中.由得不存在满足条件得点F;(2)设,则K(0,0,k),,用k表示
平面ACK的法向量与平面的一个法向量的坐标,则这两个法向量夹角余弦的绝对值为得k值.
19. 已知向量,设函数.
(I)求函数f(x)的最小正周期;
(II)在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,且
,求sinA的值.
参考答案:
略
20. 已知a>0,函数f(x)=xlnx-ax+1+a(x-1)2,。
(1)求g(x)的单调区间;
(2)讨论f(x)零点的个数.
参考答案:
21. (13分)已知抛物线C:,定点M(0,5),直线与轴交于点F,O为原点,若以OM为直径的圆恰好过与抛物线C的交点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点M作直线交抛物线C于A,B两点,连AF,BF延长交抛物线分别于,求证: 抛物线C分别过两点的切线的交点Q在一条定直线上运动.
参考答案:
(1)直线与轴的交点为抛物线C的焦点,又以为直径的圆恰好过直线抛物线的交点,,
所以抛物线C的方程为
(2)由题意知直线AB的斜率一定存在,设直线AB的方程为,
又设,
共线,,
,,同理可求
,过点的切线的斜率为,切线方程为:,
同理得过点的切线方程为:,联立得:
由
,即点Q在定直线上运动.
22. (本小题满分12分)
已知函数,数列满足
(Ⅰ)求证:数列是等差数列
(Ⅱ)记,求。
参考答案:
解:(Ⅰ)
所以数列是以1为首项,3为公差的等差数列6分
(Ⅱ)
12分
略