河北省衡水市美术高级中学2022-2023学年高一数学文模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若集合A={6,7,8},则满足A∪B=A的集合B有( )
A.6个 B.7个 C.8个 D.9个
参考答案:
C
【考点】集合的包含关系判断及应用.
【专题】计算题.
【分析】由A∪B=A得B?A,所以只需求出A的子集的个数即可.
【解答】解:∵A∪B=A,
∴B?A,
又∵A的子集有:?、{6}、{7}、{8}、{6,7}、{6,8}、{7,8}、{6,7,8},
∴符合条件的集合B有8个.
故选C.
【点评】本题考查集合的运算,对于A∪B=A得到B?A的理解要到位,否则就会出错.
2. 设向量,,,且,则实数的值是( )
(A)5 (B)4 (C)3 (D)
参考答案:
A
略
3. 已知集合A={1,2,3,4},B={x|﹣2≤3x﹣2≤10,x∈R},则A∩B=( )
A.{1} B.{1,2,3,4} C.{1,3} D.{1,4}
参考答案:
B
【考点】交集及其运算.
【分析】先分别求出集合A,B,由此利用交集的定义能求出A∩B.
【解答】解:∵集合A={1,2,3,4},
B={x|﹣2≤3x﹣2≤10,x∈R}={x|0≤x≤4},
∴A∩B={1,2,3,4}.
故选:B.
4. 已知m,n为两条不同的直线,为两个不同的平面,给出下列命题:
①若,,则;②若,,则;③若,,则;④若,,,则.其中正确的命题是( )
A. ②③ B. ①③ C. ②④ D. ①④
参考答案:
B
【分析】
利用空间中线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定与性质即可作答.
【详解】垂直于同一条直线的两个平面互相平行,故①对;平行于同一条直线的两个平面相交或平行,故②错;若,,,则或与为异面直线或与为相交直线,故④错;若,则存在过直线的平面,平面交平面于直线,,又因为,所以,又因为平面,所以,故③对.
故选B.
【点睛】本题主要考查空间中,直线与平面平行或垂直的判定与性质,以及平面与平面平行或垂直的判定与性质,属于基础题型.
5. 完成下列抽样调查,较为合理的抽样方法依次是( )
①田传利老师从高一年级8名数学老师中抽取一名老师出月考题.
②我校高中三个年级共有2100人,其中高一800人、高二700人、高三600人,白凤库校长为了了解学生对数学的建议,拟抽取一个容量为300的样本;
③我校艺术中心有20排,每排有35个座位,在孟祥锋主任的报告中恰好坐满了同学,报告结束后,为了了解同学意见,学生处需要请20名同学进行座谈.
A.①简单随机抽样,②系统抽样,③分层抽样
B.①分层抽样,②系统抽样,③简单随机抽样
C.①系统抽样,②简单随机抽样,③分层抽样
D.①简单随机抽样,②分层抽样,③系统抽样
参考答案:
D
【考点】收集数据的方法.
【分析】观察所给的3组数据,根据3组数据的特点,把所用的抽样选出来,即可得出结论.
【解答】解;观察所给的四组数据,
①个体没有差异且总数不多可用随机抽样法,简单随机抽样;
②个体有了明显了差异,所以选用分层抽样法,分层抽样;
③中,总体数量较多且编号有序,适合于系统抽样.
故选D.
6. (5分)关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围为()
A. m> B. m= C. m< D. m<﹣
参考答案:
C
考点: 函数的零点与方程根的关系.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 由题意可得,△=9﹣4m>0,由此求得m的范围.
解答: ∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根,∴△=9﹣4m>0,求得 m<,
故选:C.
点评: 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系,二次函数的性质,属于基础题.
7. 函数的零点所在的一个区间是
A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)
参考答案:
C
8. (5分)已知直线l过圆x2+(y﹣3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是()
A. x+y﹣2=0 B. x﹣y+2=0 C. x+y﹣3=0 D. x﹣y+3=0
参考答案:
D
考点: 直线与圆的位置关系.
专题: 直线与圆.
分析: 由题意可得所求直线l经过点(0,3),斜率为1,再利用点斜式求直线l的方程.
解答: 由题意可得所求直线l经过点(0,3),斜率为1,
故l的方程是 y﹣3=x﹣0,即x﹣y+3=0,
故选:D.
点评: 本题主要考查用点斜式求直线的方程,两条直线垂直的性质,属于基础题.
9. (4分)已知△ABC中,a=10,,A=45°,则B等于 ()
A. 60° B. 120° C. 30° D. 60°或120°
参考答案:
考点: 正弦定理.
专题: 计算题;解三角形.
分析: 直接利用正弦定理求出B的三角函数值,然后求出角的大小.
解答: 因为△ABC中,a=10,,A=45°,
由正弦定理可知,sinB===,
所以B=60°或120°.
故选D.
点评: 本题考查正弦定理的应用,注意特殊角的三角函数值的求法.
10. 若全集,则集合的真子集共有( )
A.个 B.个 C.个 D.个
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. (5分)已知集合A={﹣2,﹣1,0,1},集合B={x|x2﹣1≤0,x∈R},则A∩B= .
参考答案:
{﹣1,0,1}
考点: 交集及其运算.
专题: 集合.
分析: 求解一元二次不等式化简集合B,然后直接利用交集的运算求解.
解答: ∵A={﹣2,﹣1,0,1},
B={x|x2﹣1≤0,x∈R}={x|﹣1≤x≤1},
则A∩B={﹣1,0,1}.
故答案为:{﹣1,0,1}.
点评: 本题考查交集及其运算,考查了一元二次不等式的解法,是基础的计算题.
12. 如果函数f(x)=x2+(m-1)x+1在区间上为减函数,则m的取值范围________
参考答案:
13. 频率分布直方图中各小长方形的面积总和为____________.
参考答案:
1
略
14. 已知直线1和相交于点,则过点、的直线方程为__________.
参考答案:
2x+3y-1=0
略
15. 已知集合,,则A∪B=______.
参考答案:
【分析】
先分别求得集合A与集合B,根据集合并集运算,即可求解.
【详解】因为集合,即
,即
所以
故答案为:
【点睛】本题考查并集的求法,属于基础题.
16. 若直线与直线互相垂直,那么的值等于 。
参考答案:
17. 下面有五个命题:
①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是;
②终边在y轴上的角的集合是{α|α=,k∈Z};
③在同一坐标系中,函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点;
④把函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位得到y=3sin2x的图象;
⑤函数y=sin(x-)在[0,]上是减函数.
其中真命题的序号是 .
参考答案:
① ④
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知
参考答案:
证明:
19. (14分)某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过4吨时每吨为1.80元,当用水超过4吨时,超过部分每吨3.00元,某月甲、乙两户共交水费y元,已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x,3x(吨).
(1)求y关于x的函数;
(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.
(精确到0.1)
参考答案:
考点: 分段函数的应用.
专题: 转化思想.
分析: (1)由题意知:x≥0,令;.将x取值范围分三段,求对应函数解析式可得答案.
(2)在分段函数各定义域上讨论函数值对应的x的值.
解答: (1)由题意知,
则当时,
y=(5x+3x)×1.8=14.4x
当时,
当时,=24x﹣9.6
即得
(2)由于y=f(x)在各段区间上均单增,
当x∈时,y≤f()<26.4
当x∈时,y≤f()<26.4
当x∈时,令24x﹣9.6=26.4,得x=1.5
所以甲户用水量为5x=7.5吨,付费S1=4×1.8+3.5×3=17.70元
乙户用水量为3x=4.5吨,
付费S2=8.7元
点评: 本题是分段函数的简单应用题,关键是列出函数解析式,找对自变量的分段区间.
20. (16分)某休闲农庄有一块长方形鱼塘ABCD,AB=50米,BC=25米,为了便于游客休闲散步,该农庄决定在鱼塘内建三条如图所示的观光走廊OE、EF和OF,考虑到整体规划,要求O是AB的中点,点E在边BC上,点F在边AD上,且∠EOF=90°.
(1)设∠BOE=α,试将△OEF的周长l表示成α的函数关系式,并求出此函数的定义域;
(2)经核算,三条走廊每米建设费用均为4000元,试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用.
参考答案:
考点: 函数模型的选择与应用;函数解析式的求解及常用方法.
专题: 应用题;函数的性质及应用.
分析: (1)要将△OEF的周长l表示成α的函数关系式,需把△OEF的三边分别用含有α的关系式来表示,而OE,
OF,分别可以在Rt△OBE,Rt△OAF中求解,利用勾股定理可求EF,从而可求.
(2)要求铺路总费用最低,只要求△OEF的周长l的最小值即可.由(1)得l=,α∈[,],
利用换元,设sinα+cosα=t,则sinαcosα=,从而转化为求函数在闭区间上的最小值.
解答: (1)∵在Rt△BOE中,OB=25,∠B=90°,∠BOE=α,
∴OE=
在Rt△AOF中,OA=25,∠A=90°,∠AFO=α,
∴OF=.
又∠EOF=90°,
∴EF==,
∴l=OE+OF+EF=.
当点F在点D时,这时角α最小,此时α=;
当点E在C点时,这时角α最大,求得此时α=.
故此函数的定义域为[,];
(2)由题意知,要求铺路总费用最低,只要求△OEF的周长l的最小值即可.
由(1)得,l=,α∈[,],
设sinα+cosα=t,则sinαcosα=,
∴l==
由t=sinα+cosα=sin(α+),
又≤α+≤,得,
∴,
从而当α=,即BE=25时,lmin=50(+1),
所以当BE=AF=25米时,铺路总费用最低,最低总费用为200000(+1)元.
点评: 本题主要考查了借助于三角函数解三角形在实际问题中的应用,考查了利用数学知识解决实际问题的能力,及推理运算的能力.
21. 已知,求的最大值。
参考答案:
解:
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分
∵,∴ 。。。。。。。。。。。。。。。。7分
则当,即时,函数有最大值。。。。。。。。。。。。。。。。9分。
22. (10分)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={x|x2﹣3x+2=0},B={x|1≤x≤5,x∈Z},C={x|2<x<9,x∈Z}
(1)求A∪(B∩C);
(2)求(?UB)∪(?UC)
参考答案:
考点: 交、并、补集的混合运算.
专题: 计算题.
分析