河北省邯郸市柴堡中学高二数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 下列值等于1的定积分是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
2. =7×8×n,则n=( )
A.7 B.8 C.9 D.10
参考答案:
C
【考点】排列及排列数公式.
【专题】概率与统计.
【分析】利用排列数公式求解.
【解答】解:∵=7×8×n,
∴由排列数公式得n=9.
故选:C.
【点评】本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意排列数公式的合理运用.
3. 世界杯组委会预测2018俄罗斯世界杯中,巴西队获得名次可用随机变量X表示,X的概率分布规律为,其中a为常数,则a的值为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
由题得
所以.
故答案为:C.
4. 在数列中,则的值为 ( )
A. 49 B. 50 C. 51 D.52
参考答案:
D
略
5. 设,若函数,,有大于零的极值点,则( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
A
略
6. 集合为函数的值域,集合,则等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
7. 执行右图所示的程序框图,则输出的的值是( )
A.8 B.6 C.4 D.3
参考答案:
A
略
8. 双曲线x2﹣=﹣1的渐近线方程为( )
A.y=±3x B.y=±x C.y=±x D.y=±x
参考答案:
D
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴,再确定双曲线的实轴长和虚轴长,最后确定双曲线的渐近线方程.
【解答】解:∵双曲线,
即,它的a=,b=1,焦点在y轴上,
而双曲线的渐近线方程为y=±,
∴双曲线的渐近线方程为y=±x,
故选:D.
9. 某个命题与正整数有关,若当时该命题成立,那么可推得当时该命题也成立,现已知当时该命题不成立,那么可推得( )
(A)当时,该命题不成立 (B)当时,该命题成立
(C)当时,该命题成立 (D)当时,该命题不成立
参考答案:
D
10. 在△ABC中,,则角A为()
A. 30° B. 150° C. 120° D. 60°
参考答案:
D
【分析】
利用余弦定理解出即可。
【详解】
【点睛】本题考查余弦定理的基本应用,属于基础题。
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数f(x)=x3﹣3x的单调减区间为 .
参考答案:
(﹣1,1)
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】求函数的导函数,令导函数小于零,解此不等式即可求得函数y=x3﹣3x的单调递减区间.
【解答】解:令y′=3x2﹣3<0
解得﹣1<x<1,
∴函数y=x3﹣3x的单调递减区间是(﹣1,1).
故答案为:(﹣1,1).
12. 已知i是虚数单位,则= .
参考答案:
1+2i
【考点】A5:复数代数形式的乘除运算.
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【解答】解: =,
故答案为:1+2i.
13. 已知等比数列中,,则数列的前项和为
参考答案:
14. 已知直线与函数的图象相切,则切点坐标为 。
参考答案:
15. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果s= .
参考答案:
9
【考点】循环结构.
【专题】算法和程序框图.
【分析】用列举法,通过循环过程直接得出S与n的值,得到n=3时退出循环,即可.
【解答】解:循环前,S=1,a=3,第1次判断后循环,n=2,s=4,a=5,
第2次判断并循环n=3,s=9,a=7,第3次判断退出循环,
输出S=9.
故答案为:9.
【点评】本题考查循环结构,判断框中n=3退出循环是解题的关键,考查计算能力.
16. 在计算“”时,某同学学到了如下一种方法:先改写第k项:
由此得
…………
相加,得
类比上述方法,请你计算“”,
其结果为 .
参考答案:
略
17. 复数的对应点在虚轴上,则实数的值是 .
参考答案:
0
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,PA^平面ABCD, PA=AB=2,AD=4,DBAD=120°,E,F,G,H分别为PA,PB,BC,PD的中点.
(I)求证:CH∥平面EFG;
(II)求证:平面EFG^平面PAC;
(III)求直线AC与平面EFG所成的角.
参考答案:
(I)证明:在中,
分别为的中点
,又,
;
又EF?平面,CDì平面,
\EF//平面,
同理FG//平面,
又,,
所以,平面//平面,
平面,平面.…………………………4分
(II)证明:在中,,
由余弦定理可求得,,则,
又平面,,且,平面,
,平面,且平面,
所以,平面平面. …………………………8分
(III)解:如图,取的中点,
连结交于点,连结,
在平面内过点作,垂足为,
由(II)可知,平面,
所以,就是直线与平面所成的角.
在中
,
即直线与平面所成的角为30°.…………………………12分.
略
19. 设a为实数,设函数的最大值为g(a).
(Ⅰ)设t=,求t的取值范围,并把f(x)表示为t的函数m(t);
(Ⅱ)求g(a);
(Ⅲ)试求满足的所有实数a.
参考答案:
【考点】函数最值的应用.
【分析】(I)先求定义域,再求值域.由转化.
(II)求g(a)即求函数的最大值.严格按照二次函数求最值的方法进行.
(III)要求满足的所有实数a,则必须应用g(a)的解析式,它是分段函数,必须分情况选择解析式进行求解.
【解答】解:(I)
要使有t意义,必须1+x≥0且1﹣x≥0,即﹣1≤x≤1,
∴,t≥0①
t的取值范围是.
由①得
∴m(t)=a()+t=
(II)由题意知g(a)即为函数的最大值.
注意到直线是抛物线的对称轴,
分以下几种情况讨论.
(1)当a>0时,函数y=m(t),的图象是开口向上的抛物线的一段,
由<0知m(t)在.上单调递增,
∴g(a)=m(2)=a+2
(2)当a=0时,m(t)=t,,
∴g(a)=2.
(3)当a<0时,函数y=m(t),的图象是开口向下的抛物线的一段,
若,即则
若,即则
若,即则g(a)=m(2)=a+2
综上有
(III)情形1:当a<﹣2时,
此时,
由,与a<﹣2矛盾.
情形2:当,时,
此时,
解得,与矛盾.
情形3:当,时,
此时
所以,
情形4:当时,,
此时, ,
解得矛盾.
情形5:当时,,
此时g(a)=a+2,
由解得矛盾.
情形6:当a>0时,,
此时g(a)=a+2,
由,由a>0得a=1.
综上知,满足的所有实数a为:,或a=1
20. 已知数列满足:,,.
(Ⅰ)证明数列为等比数列,并求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,数列的前项和为,求证:;
(Ⅲ)设,求的最大值.
参考答案:
证明:(Ⅰ)∵, 又,∴等比数列,且公比为, ∴,解得;
(Ⅱ),
∴当时,
(Ⅲ)
所以:
故.
略
21. (本小题满分14分)
命题:函数在上是增函数;命题:,使得 .
(1) 若命题“且”为真,求实数的取值范围;
(2) 若命题“或”为真,“且”为假,求实数的取值范围.
参考答案:
(1) (2)或
22. 已知椭圆C:的一个焦点F与抛物线的焦点重合,且截抛物线的准线所得弦长为3.
(1)求该椭圆C的方程;
(2)若过点的直线l与椭圆C相交于A,B两点,且点M恰为弦AB的中点,求直线l的方程.
参考答案:
解:(1)抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=﹣1,
∴a2﹣b2=1 ①,
又椭圆截抛物线的准线x=﹣1所得弦长为3,
∴可得上面的交点为(﹣1, ),∴ ②
由①代入②得4b4﹣9b2﹣9=0,解得b2=3或b2= (舍去),
从而a2=b2+1=4,∴该椭圆的方程为
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程可得,
3x12+4y12=12,3x22+4y22=12,
相减可得3(x1﹣x2)(x1+x2)+4(y1﹣y2)(y1+y2)=0,
由x1+x2=2,y1+y2=1,可得直线AB的斜率为,
即直线AB的方程为 ,即为3x+2y﹣4=0.