河北省衡水市同华中学2022年高三数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 有限数列A=(a1,a2,a3……an),Sn为其前n项和,定义: 为A的“四维光军和”。若有99项的数列(a1,a2,a3……a99)的“四维光军和”和1000,则有100项的数列(1,a1,a2,……a99)的“四维光军和”是( )
A.991 B.882 C.981 D.893
参考答案:
A
2. 某学校从高二甲、乙两个班中各选6名同掌参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图,其中甲班学生成绩的众数是 85,乙班学生成绩的平均分为81,则x+y的值为( )
(A)6 (B) 7
(C)8 (D)9
参考答案:
D
略
3. 抛物线的焦点为F,M足抛物线C上的点,若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为的值为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
参考答案:
【知识点】抛物线的简单性质.H7
D 解析:∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,
∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径
∵圆面积为36π,∴圆的半径为6,
又∵圆心在OF的垂直平分线上,|OF|=,
∴+=6,∴p=8,故选:D.
【思路点拨】根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径,由此可求p的值.
4. 设又记 ···则
A. B. C. D.
参考答案:
D
5. 若非零向量,的夹角为锐角θ,且=cosθ,则称被 “同余”.已知被 “同余”,则﹣在上的投影是( )
A. B. C.D.
参考答案:
A
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】根据“同余”的定义写出=cosθ,再计算数量积(﹣),从而求出在上的投影.
【解答】解:根据题意, =cosθ,其中θ为、的夹角;
∴(﹣)=﹣=﹣||?||?=﹣;
∴在上的投影为:
|﹣|cos<﹣,>=|﹣|×=.
故选:A.
6. 如图,偶函数f(x)的图象如字母M,奇函数g(x)的图象如字母N,若方程f(g(x))=0,g(f(x))=0的实根个数分别为m、n,则m+n=( )
A.12 B.18 C.16 D.14
参考答案:
B
【考点】函数奇偶性的性质.
【专题】函数思想;转化法;函数的性质及应用.
【分析】若方程f(g(x))=0,则g(x)=﹣,或g(x)=0,或g(x)=,进而可得m值;不妨仅g(x)的三个零点分别为﹣a,0,a(0<a<1),若g(f(x))=0,则f(x)=﹣a,或f(x)=0,或f(x)=a,进而得到n值
【解答】解:若方程f(g(x))=0,则g(x)=﹣,或g(x)=0,或g(x)=,
此时方程有9个解;
不妨仅g(x)的三个零点分别为﹣a,0,a(0<a<1)
若g(f(x))=0,则f(x)=﹣a,或f(x)=0,或f(x)=a,
此时方程有9个解;
即m=n=9,
∴m+n=18,
故选:B.
【点评】本题考查的知识点是数形结合思想,方程的根与函数零点之间的关系,难度中档.
7. 如图,正方形ABCD中,E为DC的中点,若=λ+μ,则λ+μ的值为( )
A. B. C.1 D.﹣1
参考答案:
A
【考点】9V:向量在几何中的应用;9H:平面向量的基本定理及其意义.
【分析】利用向量转化求解即可.
【解答】解:由题意正方形ABCD中,E为DC的中点,可知: =.
则λ+μ的值为:.
故选:A.
8. 把函数y=f(x)(x∈R)的图象上所有点向右平行移动个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到的y=sinx图象,则函数y=f(x)的解析式是( )
A.y=sin(2x﹣),x∈R B.y=sin(+),x∈R
C.y=sin(2x+),x∈R D.y=sin(2x+),x∈R
参考答案:
D
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】直接采用逆向思维,对函数的关系式进行平移和伸缩变换求出结果.
【解答】解:采用逆向思维的方法:
首先把函数y=sinx,图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍,得到y=sin2x的图象,再把图象上所有点的横标向左平移个单位,得到y=sin[2(x+)]=sin(2x+)的图象.
故选:D
9. 在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员降落在指定范围”可表示为( )
A.(¬p)∨(¬p) B.¬((¬p)∧(¬p)) C.(¬p)∧(¬p) D.¬(p∨p)
参考答案:
B
【考点】复合命题的真假.
【专题】简易逻辑.
【分析】命题“至少有一位学员降落在指定范围”可表示为p∨q,再利用复合命题的运算性质即可判断出.
【解答】解:命题“至少有一位学员降落在指定范围”可表示为p∨q,
而A.(¬p)∨(¬p)=¬(P∧q),因此不正确;
B.¬(¬p)∧(¬p)=¬(¬(p∨q))=p∨q,正确;
C.(¬p)∧(¬p)=¬(p∨q),不正确;
D.¬(p∨p),不正确.
故选:B.
【点评】本题考查了复合命题的运算性质及其判定方法,属于基础题.
10. 已知a,b,c均为单位向量,a与b的夹角为60°,则(c+a)·(c-2b)的最大值为
A. B. C.2 D.3
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 右图给出的是计算的值的一个流程图,其中判断框内应填入的条件是 。
参考答案:
略
12. 如图,已知球是棱长为的正方体的内切球,则平面截球的截面面积为
参考答案:
略
13. 如图2,是函数(其中
的部分图像,则其解析式为
参考答案:
14. 设满足约束条件:;则的取值范围为 .
参考答案:
略
15. 在等差数列{an}中,已知首项a1>0,公差d>0.若a1+a2≤10,a2+a3≥12,则﹣3a1+a5的最小值为 .
参考答案:
13
【考点】等差数列的性质.
【分析】易得a1+a2≤10,a2+a3≥12,待定系数可得﹣3a1+a5=﹣(2a1+d)+(2a1+3d),由不等式的性质可得.
【解答】解:∵在等差数列{an}中,已知首项a1>0,公差d>0,
又a1+a2≤10,a2+a3≥12,
∴2a1+d≤10,2a1+3d≤12,
∴﹣3a1+a5=﹣2a1+4d=﹣x(2a1+d)+y(2a1+3d)=2(y﹣x)a1+(3y﹣x)d,
∴2(y﹣x)=﹣2,3y﹣x=4,解得x=,y=,
∴﹣3a1+a5=﹣(2a1+d)+(2a1+3d)≤﹣×10+×12=13.
故答案为:13.
16. 在北纬450东经300有一座城市A,在北纬450东经1200有一座城市B,设地球半径为R,则A、B两地之间的距离是 。
参考答案:
略
17. 从某地高中男生中随机抽取100名 同学,将他们的体重(单位:kg)数据绘制成频率分布直方图(如图).从身高在[ 60 , 70),[70 ,80) , [80 , 90]三组内的男生中,用分层抽样的方法选取12人参加一项活动,再从这12人选两人当正负队长,则这两人身高不在同一组内的概率为
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数.(e是自然对数的底数)
(1)求f(x)的单调递减区间;
(2)记,若,试讨论g(x)在上的零点个数.(参考数据:)
参考答案:
(1).(2)见解析
【分析】
(1)求出导函数,解不等式,结合三角函数的性质可得解;
(2)求出,令,由导数的知识求得的单调性,然后通过讨论的正负确定的单调性的极值,确定其零点个数.
【详解】解:(1),定义域为.
.
由解得,解得.
∴的单调递减区间为.
(2)由已知,∴.
令,则.
∵,∴当时,;
当时,,
∴在上单调递增,在上单调递减,
即在上单调递增,在上单调递减.
∵,.
①当,即时,,∴.
∴,使得,
∴当时,;当时,,
∴在上单调递增,在上单调递减.
∵,∴.
又∵,
∴由零点存在性定理可得,此时在上仅有一个零点.
②若时,,
又∵在上单调递增,在上单调递减,又,
∴,,使得,,
且当、时,;当时,.
∴在和上单调递减,在上单调递增.
∵,∴.
∵,∴.
又∵,由零点存在性定理可得,
在和内各有一个零点,
即此时在上有两个零点.
综上所述,当时,在上仅有一个零点;
当时,在上有两个零点.
【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性、求极值等问题,考查等人转化思想、分类讨论思想的综合应用,涉及构造函数、多次求导等方法,有一定的综合性,考查学生的分析问题能力和逻辑思维能力,属于难题.
19. 已知函数f(x)=|2x+3|+|2x﹣1|.
(Ⅰ)求不等式f(x)<8的解集;
(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)≤|3m+1|有解,求实数m的取值范围.
参考答案:
【考点】绝对值不等式的解法;绝对值三角不等式.
【分析】(Ⅰ)通过讨论x的范围,得到关于x的不等式组,解出即可;(Ⅱ)求出f(x)的最小值,解关于m的不等式,解出即可.
【解答】解:(Ⅰ)不等式f(x)<8,即|2x+3|+|2x﹣1|<8,
可化为①或②或③,…
解①得﹣<x<﹣,解②得﹣≤x≤,解③得<x<,
综合得:﹣<x<,即原不等式的解集为{x|﹣<x<}.…
(Ⅱ)因为∵f(x)=|2x+3|+|2x﹣1|≥|(2x+3)﹣(2x﹣1)|=4,
当且仅当﹣≤x≤时,等号成立,即f(x)min=4,…(8分)
又不等式f(x)≤|3m+1|有解,则|3m+1|≥4,解得:m≤﹣或m≥1.…(10分)
【点评】本题考查了解绝对值不等式问题,考查分类讨论思想,是一道中档题.
20. 已知函数的最大值为0,其中。
(1)求的值;
(2)若对任意,有成立,求实数的最大值;
参考答案:
(1)f(x)定义域为(-a,+∞)
,由=0,得x=1-a>-a. …………………1分
当x变化时,,f(x)变化情况如下
x
(-a,1-a)
1-a
(1-a,+∞)
+
0
-
f(x)
增
极大值
减
因此,f(x)在 x=1-a处取得最大值,故f(1-a)=a-1=0,所以a=1. ………………5分
(2)…………7分
当k<0时,
8
,因此g(x)在(0,+∞)单调递增
从而对任意的x[0,+∞,总有g(x)≥g(0)=0,即≥在[0,+∞恒成立。
21. (本题满分18分,其中第1小题3分,第2小题7分,第3小题8分)
给出函数封闭的定义:若对于定义域内的任意一个自变量,都有函数值,
称函数在上封闭.
(1)若定义域,判断函数是否在上封闭,并说明理由;
(2)若定义域,是否存在实数,使得函数在上封闭?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.
(3)利用(2)中函数,构造一个数列,方法如下:对于给定的定义域中的,