河北省邯郸市杨宋固乡杨宋固中学高三数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设函数,曲线在点处的切线方程为,则曲线在点处切线的斜率为
A. B. C. D.
参考答案:
A
2. 已知平行四边形ABCD的对角线分别为AC,BD,且,点F是BD上靠近D的四等分点,则
A. B.
C. D.
参考答案:
C
3. 两个正数a、b的等差中项是,一个等比中项是的离心率e等于 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
4. 一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均为半径是的圆,则这个几何体的表面积是
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
5. 已知复数z1=3+ai,z2=a﹣3i(i为虚数单位),若z1?z2是实数,则实数a的值为( )
A.0 B.±3 C.3 D.﹣3
参考答案:
B
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】直接把z1,z2代入z1?z2,再利用复数代数形式的乘法运算化简,由已知条件得虚部等于0,求解即可得答案.
【解答】解:由z1=3+ai,z2=a﹣3i,
得z1?z2=(3+ai)(a﹣3i)=6a+(a2﹣9)i,
∵z1?z2是实数,
∴a2﹣9=0,解得a=±3.
故选:B.
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.
6. 已知点P在以F1,F2为焦点的椭圆上,若,,则该椭圆的离心率为
A. B. C. D.
参考答案:
D
解:由,可知△为直角三角形,
又,可得,
联立,解得:,.
由,得,即.
.
故选:.
7. 等比数列满足,且,则当时,( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
8. 已知函数的最大值为M,最小值为m,则的值为( )
参考答案:
【知识点】函数的值域.B1
【答案解析】C 解析:根据题意,对于函数,
有,
所以当x=﹣1时,y取最大值,当x=﹣3或1时y取最小值m=2∴
故选C.
【思路点拨】函数问题定义域优先,本题要先确定好自变量的取值范围;然后通过函数的单调性分别确定出m与n即可.
9. 已知 cos(α-)=,则sin(+α)的值等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】两角和与差的正弦函数;两角和与差的余弦函数.
【分析】由已知利用诱导公式即可计算得解.
【解答】解:∵,可得:cos(﹣α)=﹣,
∴sin[﹣(﹣α)]=sin(+α)=﹣.
故选:D.
10. 已知集合,则
A.(1,3) B.(1,3] C.[-1,2) D.(-1,2)
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在等差数列{an}中,若a2+a5=,则数列{an}的前6项的和S6= .
参考答案:
2
【考点】等差数列的前n项和.
【分析】由已知结合等差数列的性质求得a1+a6,再由等差数列的前n项和公式求得S6.
【解答】解:在等差数列{an}中,∵,
∴S6==.
故答案为:2.
12. 设,则 .
参考答案:
0
13. 设为实常数,是定义在R上的奇函数,当时,, 若对一切成立,则的取值范围为________.
参考答案:
略
14. 在中,A=300,AB=4, BC=2 则的面积为_________.
参考答案:
15. 函数为奇函数,则实数a=__________.
参考答案:
1
【分析】
根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解,再验证定义域是否关于原点对称即可.
【详解】函数为奇函数
即
则,即
,则:
则:
当时,,则定义域为:且
此时定义域不关于原点对称,为非奇非偶函数,不满足题意
当时,,满足题意
本题正确结果:
【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求解函数解析式,根据条件建立方程关系是解决本题的关键,易错点是忽略定义域关于原点对称的前提,造成求解错误.
16. 在正三角形ABC中,D是BC上的点,AB=3,BD=1,则=___
参考答案:
.
17. 已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n﹣1(n∈N*),则a1= ;数列{an}的通项公式为an= .
参考答案:
2,.
【考点】8H:数列递推式.
【分析】本题直接利用数列前n项和与数列通项的关系,可得到本题结论
【解答】解:∵Sn=n2+2n﹣1,
当n=1时,a1=1+2﹣1=2,
当n≥2时,
∴an=Sn﹣Sn﹣1=n2+2n﹣1﹣[(n﹣1)2+2(n﹣1)﹣1]=2n+1,
∵当n=1时,a1=﹣2+1=3≠2,
∴an=,
故答案为:2,=.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分10分)
选修4—1:几何证明选讲
如图,AB是⊙O的一条切线,切点为B,ADE、CFD都是⊙O的割线,AC=AB。
(1)证明:AC2=AD·AE
(2)证明:FG∥AC
参考答案:
(Ⅰ)∵是⊙的一条切线,
∴.又∵,∴ …… 5分
(Ⅱ)∵,∴,又∵,
∴∽ ∴.
又∵四边形是⊙的内接四边形,
∴ ∴
∴. …… 10分
19. (本小题满分13分)
设的内角的对边分别为,.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若,求.
参考答案:
(Ⅰ)解:因为,
所以.
由余弦定理得,,
因此,. …………6分
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,所以
,
故或,
因此,或. …………13分
20. 已知函数f(x)=ln(2x+a)﹣e2x﹣1.
(1)若函数f(x)在x=处取得极值,求f(x)的单调区间;
(2)当a≤1时,f(x)<0,求x的取值范围.
参考答案:
【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.
【分析】(1)求出f′(x),得到f′()=0,解出a,利用导数的正负,即可求f(x)的单调区间;
(2)由于a≤1,所以ln(2x+a)≤ln(2x+1),所以f(x)≤ln(2x+1)﹣e2x﹣1,利用对任意x,ln(2x+1)﹣e2x﹣1<0,即可求得a的取值范围.
【解答】解:(1)f′(x)=﹣2e2x﹣1,由已知得 f′()=0,即:﹣1=0,
所以a=0,…(1分)
所以f(x)=ln2x﹣e2x﹣1,函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=﹣2e2x﹣1,…(2分)
由于f′(x) 在(0,+∞)上为减函数,而f′()=0,所以当x∈(0,)时,f′(x)>0;
当x∈(,+∞)时,f′(x)<0,
所以f(x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,+∞).
(2)由于a≤1,所以ln(2x+a)≤ln(2x+1),所以f(x)≤ln(2x+1)﹣e2x﹣1,…(6分)
令g(x)=ln(2x+1)﹣2x(x>﹣),则g′(x)=,
所以,当﹣<x<0时,g′(x)>0,当x>0时,g′(x)<0,
所以g(x)≤g(0)=0,即:ln(2x+1)≤2x …(8分)
令h(x)=e2x﹣1﹣2x,则h′(x)=2( e2x﹣1﹣1),
所以,当x时,h′(x)>0,当﹣时,h′(x)<0,
所以h(x)≥h(),即:e2x﹣1≥2x.…(10分)
所以,对任意x,ln(2x+1)﹣e2x﹣1<0,
因此,当a≤1时,对任意x>﹣,ln(2x+1)﹣e2x﹣1<0,所以x的取值范围为(﹣,+∞) …(12分)
【点评】本题考查了函数的单调性,考查导数知识的综合运用,考查学生转化问题的能力,属于中档题.
21. 如图<1>:在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=6,CE⊥AD于E点,把△DEC沿CE折到D′EC的位置,使D′A=2,如图<2>:若G,H分别为D′B,D′E的中点.
(Ⅰ)求证:GH⊥D′A;
(Ⅱ)求三棱锥C﹣D′BE的体积.
参考答案:
【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;LO:空间中直线与直线之间的位置关系.
【分析】(Ⅰ)通过证明:AD′⊥AE,AD′⊥AC,推出AD′⊥平面ABCD,推出AD′⊥BE,通过证明GH∥BE,推出GH⊥D′A;
(Ⅱ)三棱锥C﹣D′BE的体积.直接利用棱锥的体积公式求解即可.
【解答】解:(Ⅰ)证明:在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=6,CE⊥AD于E点,把△DEC沿CE折到D′EC的位置,使D′A=2,ED=4,连结BE,GH,在三角形AED′中,
可得ED′2=AE2+AD′2,可得AD′⊥AE,DC==2,
AC=2,可得AC2+AD′2=CD′2,可得AD′⊥AC,
因为AE∩AC=A,
所以AD′⊥平面ABCD,可得AD′⊥BE,G,H分别为D′B,D′E的中点,可得GH∥BE,
所以GH⊥D′A.
(Ⅱ)三棱锥C﹣D′BE的体积为V.
则V==×2=.
22. 运动健康已成为大家越来越关心的话题,某公司开发的一个类似计步数据库的公众号.手机用户可以通过关注该公众号查看自己每天行走的步数,同时也可以和好友进行运动量的PK和点赞.现从张华的好友中随机选取40人(男、女各20人),记录他们某一天行走的步数,并将数据整理如表:
步数
性别
0~2000
2001~5000
5001~8000
8001~10000
>10000
男
1
2
4
7
6
女
0
3
9
6
2
(1)若某人一天行走的步数超过8000步被评定为“积极型”,否则被评定为“懈怠型”,根据题意完成下列2×2列联表,并据此判断能否有90%的把握认为男、女的“评定类型”有差异?
积极型
懈怠型
总计
男
女
总计
(2)在张华的这40位好友中,从该天行走的步数不超过5000步的人中随机抽取2人,设抽取的女性有X人,求X=1时的概率.
参考公式与数据:
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
K2=,其中n=a+b+c+d.
参考答案:
(1)见解析(2)
【分析】
(1)先得2×2列联表,再根据列联表计算K2的观测值,并结合临界值表可得;
(2)用列举法列举出所有基本事件的种数以及X=1包含的基本事件,再根据古典概型的概率公式可得.
【详解】(1)由题意可得列联表
积极型
懈怠型
总计