河北省邯郸市东城营乡屯庄中学2022年高二数学文月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知AB是抛物线的一条焦点弦,,则弦AB的中点C的横坐标为 ( )
A、B B、 C、2 D、
参考答案:
略
2. 已知圆C:x2+y2=4,若点P(x0,y0)在圆C外,则直线l:x0x+y0y=4与圆C的位置关系为( )
A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定
参考答案:
C
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】由条件可得得x02+y02 >4,再利用点到直线的距离公式求得圆心C(0,0)到直线l的距离d小于半径,可得结论.
【解答】解:由点P(x0,y0)在圆C:x2+y2=4外,可得x02+y02 >4,
求得圆心C(0,0)到直线l:x0x+y0y=4的距离d=<=2,
故直线和圆C相交,
故选:C.
3. 如a+b>a+b,则a,b必须满足的条件是( )
A.a>b>0 B.a<b<0
C.a>b D.a≥0,b≥0,且a≠b
参考答案:
D
【考点】72:不等式比较大小.
【分析】通过作差、利用根式的意义即可得出.
【解答】解:a+b﹣(a+b)=(a﹣b)=,
又a+b>a+b,
则a,b必须满足的条件是a,b≥0,a≠b.
故选:D.
【点评】本题考查了作差法、根式的意义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
4. 已知,且满足,那么的最小值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
考点:基本不等式的应用.
5. 圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1,则a=( )
A.﹣ B.﹣ C. D.2
参考答案:
A
【考点】圆的一般方程;点到直线的距离公式.
【分析】求出圆心坐标,代入点到直线距离方程,解得答案.
【解答】解:圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为:(1,4),
故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d==1,
解得:a=,
故选:A.
6. 设为圆周上一点,在圆周上等可能地任取一点与连接,则弦长超过半径倍的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
7. 已知,棱长都相等的正三棱锥内接于一个球,某学生画出四个过球心的平面截球
与正三棱锥所得的图形,如右图所示,则
A. 以上四个图形都是正确的 B. 只有(2)(4)是正确的
C. 只有(4)是错误的 D. 只有(1)(2)是正确的
参考答案:
C
略
8. 为定义在R上的函数的导函数,而的图象如图所示,则的单调递增区间是( )
A.(-∞,+∞) B.(-∞, -1)
C.(-1,1) D. (-∞,3)
参考答案:
D
由函数的解析式可得:
当时,,函数单调递增;
当时,,函数单调递减;
综上可得:的单调递增区间是.
本题选择D选项.
9. 在△ABC中,若,,B=120°,则a等于( )
A. B.2 C. D.
参考答案:
D
【考点】余弦定理.
【分析】由余弦定理可得 b2=a2+c2﹣2ac?cosB,即 6=a2+2﹣2a?(﹣),由此求得b的值.
【解答】解:在△ABC中,若,,B=120°,
则由余弦定理可得 b2=a2+c2﹣2ac?cosB,即 6=a2+2﹣2a?(﹣),
解得 a=,或a=﹣2(舍去),
故选:D.
【点评】本题主要考查余弦定理的应用,属于中档题.
10. 某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异,拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是( )
A. 抽签法 B. 系统抽样法 C. 分层抽样法 D. 随机数法
参考答案:
C
按照各种抽样方法的适用范围可知,应使用分层抽样.选C
考点:本题考查几种抽样方法概念、适用范围的判断,考查应用数学方法解决实际问题的能力.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数y=在区间上为减函数, 则的取值范围是_____,
参考答案:
12. 抛物线的焦点坐标为 .
参考答案:
∴焦点坐标为
13. 已知数列的前项和为,点在函数的图象上,则数列的前项和_______________.
参考答案:
略
14. 某工程由A,B,C,D四道工序组成,完成它们需用时间依次为2,5,x,4天。四道工序的先后顺序及相互关系是:A,B可以同时开工;A完成后,C可以开工;B,C完成后,D可以开工。若完成该工程共需9天,则完成工序C需要的天数最大是______
参考答案:
3
15. 若实数x,y满足则z=x+2y的最大值是
参考答案:
2
16. 如图,切圆O于点,割线经过圆心,弦于点。已知圆O的半径为3,,则 , 。
参考答案:
略
17. 观察如图中各多边形图案,每个图案均由若干个全等的正六边形组成,记第n个图案中正六边形的个数是.
由,,,…,可推出 .
参考答案:
271
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的产品,每1t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如下图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以X(单位:t≤100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.
(Ⅰ)将T表示为X的函数;
(Ⅱ)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率.
参考答案:
略
19. 已知函数f(x)=lnx.
(1)求函数g(x)=f(x+1)﹣x的最大值;
(2)若对任意x>0,不等式f(x)≤ax≤x2+1恒成立,求实数a的取值范围;
(3)若x1>x2>0,求证:>.
参考答案:
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用.
【分析】(1)先求出g(x)=ln(x﹣1)﹣x(x>﹣1),然后求导确定单调区间,极值,最值即可求.
(2)本小题转化为在x>0上恒成立,进一步转化为,然后构造函数h(x)=,利用导数研究出h(x)的最大值,再利用基础不等式可知,从而可知a的取值范围.
(3)本小题等价于.令t=,设u(t)=lnt﹣,t>1,由导数性质求出u(t)>u(1)=0,由此能够证明>.
【解答】解:(1)∵f(x)=lnx,
∴g(x)=f(x+1)﹣x=ln(x+1)﹣x,x>﹣1,
∴.
当x∈(﹣1,0)时,g′(x)>0,∴g(x)在(﹣1,0)上单调递增;
当x∈(0,+∞)时,g′(x)<0,则g(x)在(0,+∞)上单调递减,
∴g(x)在x=0处取得最大值g(0)=0.
(2)∵对任意x>0,不等式f(x)≤ax≤x2+1恒成立,
∴在x>0上恒成立,
进一步转化为,
设h(x)=,则,
当x∈(1,e)时,h′(x)>0;当x∈(e,+∞)时,h′(x)<0,
∴h(x).
要使f(x)≤ax恒成立,必须a.
另一方面,当x>0时,x+,
要使ax≤x2+1恒成立,必须a≤2,
∴满足条件的a的取值范围是[,2].
(3)当x1>x2>0时,>等价于.
令t=,设u(t)=lnt﹣,t>1
则>0,
∴u(t)在(1,+∞)上单调递增,
∴u(t)>u(1)=0,
∴>.
20. 设,函数
(1)若是函数的极值点,求的值;
(2)若函数,在处取得最大值,求的取值范围.
参考答案:
解:(1) ,因是函数的极值点
所以经验证,当是函数的极值点
(2)由题意知,
当在区间上的最大值为时,
故得,反之,当时,对任意
,而,故在区间上的最大值为。综上,
略
21. 如图,已知椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,短轴端点与椭圆的两个焦点所构成的三角形面积为1,过点D(0,2)且斜率为k的直线l交椭圆于A,B两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在定点,使?恒为定值.若存在求出这个定值;若不存在,说明理由.
参考答案:
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(1)根据椭圆的性质列方程解出a,b;
(2)联立方程组消元,得出A,B坐标的关系,代入向量的数量积公式计算即可.
【解答】解:(1)根据,
解得,
椭圆C的方程为.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程得,,
消y得(1+2k2)x2+8kx+6=0,
则x1+x2=﹣,x1x2=.
又∴y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4=﹣,
y1+y2=(kx1+2)+(kx2+2)=k(x1+x2)+4=.
∵,
∴=
=.
故?恒为定值.
【点评】本题考查了椭圆的性质,直线与椭圆的位置关系,属于中档题.
22. 如图,四棱锥—中,底面ABCD是边长为2的正方形,其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形,.
(1)求二面角——的大小
(2)求点O到平面的距离。
参考答案:
解:(1)取AB的中点E,连接EO,VE,VO,则由题可知且,
∴为二面角——的平面角,
易知
∴中由,有
,∴=
∴二面角——的大小为
(2)设点O到平面的距离为,
则由有
即,∴
故点O到平面的距离为。