广东省梅州市兴宁四矿中学2022年高一数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 奇函数f(x)在(﹣∞,0)上单调递减,且f(2)=0,则不等式f(x)>0的解集是( )
A.(﹣∞,﹣2)∪(0,2) B.(﹣∞,0)∪(2,+∞) C.(﹣2,0)∪(0,2) D.(﹣2,0)∪(2,+∞)
参考答案:
A
【分析】根据奇函数的性质求出f(﹣2)=0,由条件画出函数图象示意图,结合图象即可求出不等式的解集.
【解答】解:∵f(x)为奇函数,且f(2)=0,在(﹣∞,0)是减函数,
∴f(﹣2)=﹣f(2)=0,f(x)在(0,+∞)内是减函数,
函数图象示意图,
∴不等式f(x)>0的解集为(﹣∞,﹣2)∪(0,2),
故选A.
2. 已知函数的图象恒过定点A,若点A也在函数的图象上,则为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
3. 设函数=则满足≤2的x的取值范围是( ).
A.[-1,2] B.[0,2] C.[1,+∞) D.[0,+∞)
参考答案:
D
4. 下列问题中,应采用哪种抽样方法( )
①有甲厂生产的30个篮球,其中一箱21个,另一箱9个,抽取10个入样;
②有30个篮球,其中甲厂生产的有21个,乙厂生产的有9个,抽取10个入样;
③有甲厂生产的300个篮球,抽取10个入样;
④有甲厂生产的300 个篮球,抽取50个入样.
A.分层抽样、分层抽样、抽签法、系统抽样
B.分层抽样、分层抽样、随机数法、系统抽样
C.抽签法、分层抽样、随机数法、系统抽样
D.抽签法、分层抽样、系统抽样、随机数法
参考答案:
C
【考点】简单随机抽样.
【专题】计算题;整体思想;定义法;概率与统计.
【分析】如果总体和样本容量都很大时,采用随机抽样会很麻烦,就可以使用系统抽样;如果总体是具有明显差异的几个部分组成的,则采用分层抽样;从包含有N个个体的总体中抽取样本量为n个样本,总体和样本容量都不大时,采用随机抽样.
【解答】解:总体容量较小,用抽签法;总体由差异明显的两个层次组成,需选用分层抽样;总体容量较大,样本容量较小,宜用随机数法;总体容量较大,样本容量也较大,宜用系统抽样,
故选C.
【点评】本题考查收集数据的方法,考查系统抽样,分层抽样,简单随机抽样的合理运用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.
5. 在游学活动中,同学们在杭州西湖边上看见了雷峰塔,为了估算塔高,某同学在塔的正东方向选择某点处观察塔顶,其仰角约为45°,然后沿南偏西30°方向走了大约140米来到处,在处观察塔顶其仰角约为30°,由此可以估算出雷峰塔的高度为().
A.60m B.65m C.70m D.75m
参考答案:
C
根据题意,建立数学模型,如图所示,
其中,,,
设塔高为,则,,
在中,由余弦定理得:
,即,
化简得,即,
解得,即雷峰塔的高度为.
故选.
6. 集合A={x},B={},C={},又则有 ( )
A.(a+b) A B. (a+b) B
C.(a+b) C D. (a+b) A、B、C任一个
参考答案:
B
7. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)( A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则φ=( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的图象.
【专题】三角函数的图像与性质.
【分析】结合函数的图象,由函数的最值求出A,由周期求出ω,再由求出φ的值.
【解答】解:由图可知A=2,,故ω=2,
又,
所以,
故,
又,
所以.
故选:B.
【点评】本题主要考查利用y=Asin(ωx+φ)的图象特征,由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,属于中档题.
8. 已知函数由下表给出,则等于 …………………………………… ( )
1
2
3
4
3
2
4
1
A. 3 B. 2 C.1 D.4
参考答案:
C
略
9. 已知菱形ABCD边长为2,∠B=,点P满足=λ,λ∈R,若?=﹣3,则λ的值为( )
A. B.﹣ C. D.﹣
参考答案:
A
【考点】9R:平面向量数量积的运算.
【分析】根据向量的基本定理,结合数量积的运算公式,建立方程即可得到结论.
【解答】解:由题意可得 =2×2×cos60°=2,
?=(+)?(﹣)=(+)?[(﹣)﹣]
=(+)?[(λ﹣1)?﹣]=(1﹣λ)﹣+(1﹣λ)?﹣
=(1﹣λ)?4﹣2+2(1﹣λ)﹣4=﹣6λ=﹣3,∴λ=,
故选:A.
10. 若函数f(x)=cos(2x+θ)(0<θ<π)的图象关于(π,0)对称,则函数f(x)在[﹣,]上的最小值是( )
A.﹣ B.﹣1 C.﹣ D.﹣
参考答案:
B
【考点】余弦函数的图象.
【分析】利用余弦函数的图象对称性,诱导公式,求得f(x)的解析式,再利用正弦函数的定义域和值域,求得函数f(x)在[﹣,]上的最小值.
【解答】解:∵函数f(x)=cos(2x+θ)(0<θ<π)的图象关于(π,0)对称,故有f(π)=cos(2π+θ)=0,故有θ=kπ+,k∈Z,
∴θ=,f(x)=﹣sin2x.
在[﹣,]上,2x∈[﹣,],故当2x=﹣时,f(x)取得最小值是﹣1,
故选:B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知,sin()=- sin则cos= _.
参考答案:
略
12. 函数的定义域是
参考答案:
13. (5分)已知扇形的周长为8cm,则该扇形的面积S的最大值为 cm2.
参考答案:
4
考点: 扇形面积公式.
专题: 计算题.
分析: 由扇形的周长和面积公式都和半径和弧长有关,故可设出半径和弧长,表示出周长和面积公式,根据基本不等式做出面积的最大值即可.
解答: 设扇形半径为r,弧长为l,则周长为2r+l=8,面积为s=lr,
因为8=2r+l≥2 ,
所以rl≤8,
所以s≤4
故答案为:4
点评: 本题考查扇形的周长和面积公式及利用基本不等式求最值,本题解题的关键是正确表示出扇形的面积,再利用基本不等式求解.
14. 函数的定义域是 ▲ .
参考答案:
15. 计算 = .
参考答案:
【考点】三角函数的化简求值.
【分析】将切化弦,通分,利用和与差公式换化角度相同,可得答案.
【解答】解:由﹣====.
故答案为:.
16. 函数=的值域为 .
参考答案:
17. 若函数在R上为增函数,则a取值范围为_____.
参考答案:
[1,2]
函数在上为增函数,则需,
解得,故填[1,2].
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知定义在R上的函数f(x)满足:①对任意x,y∈R,有
f(x+y)=f(x)+f(y).②当x<0时,f(x)>0且f(1)=-3 两个条件,
(1)求证:f(0)=0; (2)判断函数f(x)的奇偶性并证明;
(3) 解不等式f(2x-2)-f(x)-12.
参考答案:
略
19. 函数
(1)时,求函数的单调区间;
(2)时,求函数在上的最大值.
参考答案:
(1)时,的定义域为
因为,由,则;,则
故的减区间为,增区间为
(2)时,的定义域为
设,则
,其根判别式,
设方程的两个不等实根且,
则
,显然,且,从而
则,单调递减
则,单调递增
故在上的最大值为的较大者
设,其中
,则
在上是增函数,有
在上是增函数,有,
即
所以时,函数在上的最大值为
略
20. 已知数列{an}满足
(1)若,证明:数列{bn}是等比数列,求{an}的通项公式;
(2)求{an}的前n项和Tn.
参考答案:
(1)证明见解析,;(2).
【分析】
(1)由条件可得,即,运用等比数列的定义,即可得到结论;运用等比数列的通项公式可得所求通项。(2)数列的求和方法:错位相减法,结合等比数列的求和公式,可得所求的和。
【详解】解:(1)证明:由,得,
又,,又,
所以是首相为1,公比为2的等比数列;
,
(2)前项和,
,
两式相减可得:
化简可得
【点睛】本题考查利用辅助数列求通项公式,以及错位相减求和,考查学生的计算能力,是一道基础题。
21. 已知数列{an}满足,.
(Ⅰ)求,的值,并证明:0< an≤1;
(Ⅱ)证明:;
(Ⅲ)证明:.
参考答案:
(Ⅰ)见证明; (Ⅱ)见证明; (Ⅲ)见证明
【分析】
(I)直接代入计算得,利用得从而可证结论;
(II)证明,即可;
(III)由(II)可得,即,,应用累加法可得,从而证得结论.
【详解】解:(Ⅰ)由已知得,.
因为
所以.
所以
又因为
所以与同号.
又因为>0
所以.
(Ⅱ)因为
又因为,所以.
同理
又因为,所以
综上,
(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)可得
所以,即
所以,,,
累加可得
所以
由(Ⅱ)可得
所以,即
所以,,,
累加可得
所以
即
综上所述.
【点睛】本题考查数列递推公式,考查数列中的不等式证明.第(I)问题关键是证明数列是递减数列,第(II)问题是用作差法证明,第(III)问题是在第(II)问基础上用累加法求和(先求).
22. 围建一个面积为360m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修),其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口,,已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x,修建总费用为 (单位:元)。
(Ⅰ)将y表示为x的函数:
(Ⅱ)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用。
参考答案:
解:(1)设矩形的另一边长为a m
则-45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360
由已知xa=360,得a=,
所以y=225x+ ………………5分
(II)
………………8分
当且仅当225x