广东省梅州市双溪中学2022年高一数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若,则的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
2. 一个球与正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知球的体积为,那么该三棱柱的体积为
A. 16 B. 24 C. 48 D. 96
参考答案:
C
3. 函数的定义域为,值域为,则的最大值与最小值之差等于
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
4. 已知=(2,-1),=(-4,1),则的坐标为
参考答案:
(-6,2)
.
5. 直线与平行,则a的值等于( )
A.-1或3 B.1 C.3 D.-1
参考答案:
C
6. “”是“”的( )条件.
A、必要不充分 B、充分不必要
C、充分必要 D、既不充分也不必要
参考答案:
B
7. 过点(﹣1,3)且与直线x﹣2y+3=0平行的直线方程为( )
A.x﹣2y+7=0 B.2x+y﹣1=0 C.f(x) D.f(5x)>f(3x+4)
参考答案:
A
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.
【分析】设过点(﹣1,3)且与直线x﹣2y+3=0平行的直线方程为 x﹣2y+m=0,把点(﹣1,3)代入直线方程,求出m值即得直线l的方程.
【解答】解:设过点(﹣1,3)且与直线x﹣2y+3=0平行的直线方程为 x﹣2y+m=0,把点(﹣1,3)代入直线方程得
﹣1﹣2×3+m=0,m=7,故所求的直线方程为x﹣2y+7=0,
故选A.
8. 与向量垂直的单位向量为( )
A. B.
C.或 D.
参考答案:
C
9. 下列各项中,值等于的是( )
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
B
略
10. 若两个平面相交,则分别在这两个平面内的两条直线( )
A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 以上皆有可能
参考答案:
D
【分析】
通过图形来判断直线的位置关系即可得到结果.
【详解】若,,,位置关系如下图所示:
若,,则,可知两条直线可以平行
由图象知,与相交,可知两条直线可以相交
由图象知,与异面,可知两条直线可以异面
本题正确选项:
【点睛】本题考查空间中直线的位置关系,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 取一根长度为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断,则剪出的两段的长都不小于1米(记为事件A)的概率为
参考答案:
试题分析:记“两段的长都不小于1m”为事件A,
则只能在中间1m的绳子上剪断,剪得两段的长都不小于1m,
所以事件A发生的概率 P(A)=
考点:几何概型
12. 一个数分别加上20,50,100后得到的三个数成等比数列,其公比为 .
参考答案:
略
13. 如图是正方体的表面展开图,在这个正方体中有如下命题:①;②与是异面直线;③与成角;④与成角。其中正确命题为 .(填正确命题的序号)
参考答案:
③ (多填或少填都不给分)
略
14. 在等差数列中,已知,,则第3项 .
参考答案:
5
略
15. 关于的不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是_______.
参考答案:
略
16. 已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,),则f(9)= .
参考答案:
3
【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用.
【专题】计算题.
【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式,代入点的坐标,求出幂函数的解析式,再求f(16)的值
【解答】解:由题意令y=f(x)=xa,由于图象过点(2,),
得 =2a,a=
∴y=f(x)=
∴f(9)=3.
故答案为:3.
【点评】本题考查幂函数的单调性、奇偶性及其应用,解题的关键是熟练掌握幂函数的性质,能根据幂函数的性质求其解析式,求函数值.
17. 若二次函数满足,且,则实数的取值范围是_________.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 若cosα=,α是第四象限角,求的值.
参考答案:
考点:运用诱导公式化简求值.
专题:计算题.
分析:根据α是第四象限的角,由cosα的值,利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值,进而求出tanα的值,然后把所求的式子分子分母分别利用诱导公式化简,分子提取sinα,分母提取﹣cosα,约分后利用同角三角函数间的基本关系化为关于tanα的式子,把tanα的值代入即可求出值.
解答: 解:∵α是第四象限角,cosα=,
∴sinα=﹣=﹣=﹣,
∴tanα=﹣,
则原式=
=
=﹣tanα
=.
点评:此题考查了诱导公式,同角三角函数间的基本关系.熟练掌握公式及分子是解本题的关键.学生做题时注意α的范围.
19. (本小题满分12分)
已知 .
(1)求 的值;
(2)若a是第二象限角, 是第三象限角,求 的值.
参考答案:
20. 已知函数f(x)=
(1)在给定直角坐标系内直接画出f(x)的草图(不用列表描点),并由图象写出函数 f(x)的单调减区间;
(2)当m为何值时f(x)+m=0有三个不同的零点.
参考答案:
【考点】分段函数的应用.
【分析】(1)根据函数解析式得到函数的图象,根据图象分别找到图象上升和下降的部分,即可得到单调区间;
(2)作出直线y=﹣m,f(x)+m=0有三个不同的零点等价于函数y=﹣m和函数y=f(x)的图象恰有三个不同的交点.
【解答】解:(1)作出 f(x)的图象.如右图所示….
由图象可知该函数的单调减区间为(﹣1,1),(2,+∞)…
(2)作出直线y=﹣m,f(x)+m=0有三个不同的零点等价于函数y=﹣m和函数y=f(x)的图象恰有三个不同的交点…
由y=f(x)的图象可知,﹣m∈(﹣1,0)…
∴m∈(0,1)…
21.
(本小题满分12分)在△ABC中,已知∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,且∠C=2∠A.
(Ⅰ)若△ABC为锐角三角形,求的取值范围;
(Ⅱ)若,求b的值.
参考答案:
解析:(I)根据正弦定理有 …………2分
在△ABC为锐角三角形中 …………4分
所以 …………6分
(2)由(1)
…………8分
再由余弦定理有
即64=b2+144-18b解得b=8或b=10 …………10分
经检验 b=10 满足题意, 所以b=10…………12分
22. (本小题满分16分)设是数列的前项和,且.
(1)当,时,求;
(2)若数列为等差数列,且,.
①求;
②设,求数列的前项和.
参考答案:
(1)由题意得,,,
两式相减,得,……………………………………………………………………3分
又当时,有,即,
数列为等比数列,.………………………………………………5分
(2)①数列为等差数列,由通项公式与求和公式,
得,
, ,,,,.………10分
②由题,
(ⅰ)
(ⅱ)……………………13分
(ⅰ)式(ⅱ)式得:
,
.…………………………………………………………………………16分