江西省吉安市万安崇文中学高一数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数的反函数的图象过点,则的值为( )
A. B. C.或 D.
参考答案:
B
2. 设R,向量且,则( )
A. B. C. D. 10
参考答案:
C
略
3. 的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
试题分析:.
考点:诱导公式
4. (5分)已知角α的终边过点(﹣3,4),则cosα=()
A. B. C. D.
参考答案:
C
考点: 任意角的三角函数的定义.
专题: 计算题.
分析: 先计算,再利用三角函数的定义,即可求得cosα.
解答: 由题意,
∴
故选C.
点评: 本题的考点是任意角的三角函数的定义,考查三角函数定义的运用,属于基础题.
5. 若当时,均有意义,则函数的图像大致是( )
参考答案:
B
6. 为了得到函数的图像,只需把函数的图像上所有的点( )
(A)向右平移个单位长度 (B)向右平移个单位长度
(C)向左平移个单位长度 (D)向左平移个单位长度
参考答案:
B
略
7. 设,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
8. 已知奇函数,当时,则= ( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
参考答案:
D
略
9. 已知函数,则下列结论正确的是
A.是偶函数,递增区间是
B.是偶函数,递减区间是
C.是奇函数,递减区间是
D.是奇函数,递增区间是
参考答案:
C
略
10. 若函数f(x)=,则f(f(2))=( )
A.1 B. C. D.5
参考答案:
C
【考点】分段函数的应用.
【分析】直接利用分段函数的表达式,逐步求解函数值即可.
【解答】解:函数f(x)=,
则f(f(2))=f(22﹣3×2+1)=f(﹣1)==.
故选:C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 为了解学生数学答卷情况,某市教育部门在高三某次测试后抽取
了n 名同学的第Ⅱ 卷进行调查,并根据所得数据画出了样本的频
率分布直方图(如右图),已知从左到右第三小组(即[70,80)内)
的频数是50,则n=______.
参考答案:
125
12. 在中,若,则 _________.
参考答案:
【分析】
运用正弦定理实现边角转化,然后逆用二角和的正弦公式、三角形内角和定理、以及诱导公式,化简,最后求出的值.
【详解】根据正弦定理,可知,由,可得
,
,,
,所以
【点睛】本题考查了正弦定理、逆用二角和的正弦公式、诱导公式,考查了公式恒等变换能力.
13. 若,则的取值范围为________________.
参考答案:
14. (10分)在直线l:3x﹣y﹣1=0上存在一点P,使得:P点到点A(4,1)和点B(3,4)的距离之和最小.求此时的距离之和.
参考答案:
考点: 点到直线的距离公式.
专题: 直线与圆.
分析: 设点B(3,4)关于直线l:3x﹣y﹣1=0的对称点为B′(a,b),可得,解得a,b,则|PA|+|PB|取得最小值=|AB′|.
解答: 设点B(3,4)关于直线l:3x﹣y﹣1=0的对称点为B′(a,b),
则,
解得a=,b=,∴B′.
∴|PA|+|PB|取得最小值=|AB′|==.
点评: 本题考查了垂直平分线的性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系,属于基础题.
15. 下表是某厂1~4月份用水量(单位:百吨)的一组数据,
月份x
1
2
3
4
用水量y
4.5
4
3
2.5
由其散点图知,用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系,其线性回归方程是=-0.7x+a,则a=________.
参考答案:
5.25
16. 已知,动点M满足,且,则在方向上的投影的取值范围是 .
参考答案:
17. 给出下列角的范围:①(0,);②(,π);③(,);④(-,);⑤(-,).当x∈____________(填序号),函数y==2cosx.
参考答案:
④
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分16分:4+6+8)
已知函数. a为实数,且,记由所有组成的数集为E.
(1)已知,求;
(2)对任意的,恒成立,求a的取值范围;
(3)若,,判断数集E中是否存在最大的项?若存在,求出最大项;若不存在,请说明理由.
参考答案:
(1);(2);(3)见解析
解析:(1)已知,,
解得
(2)对任意的,恒成立,
函数在上是单调递减的,
所以a的取值范围是
(3)
①当时,,即,
∴数集E中的最大项为2
②当时,在单调递减,,
,,当时,,∴
∴
∴数集E中的最大项为
③当时,在单调递增,,
,,
由恒成立
∴
∴数集E中无最大项
综上可知,当时,数集E中的最大项为;当时,数集E中无最大项
19. 已知函数,x∈R .求:(1)函数f(x)的最值及此时自变量x的取值 (2)求函数f(x)的单调增区间和减区间. (3) 求函数f(x)的对称轴方程和对称中心。
参考答案:
略
20. (本小题满分16分)
因客流量临时增大,某鞋店拟用一个高为50cm(即=50cm)的平面镜自制一个竖直摆放的简易鞋镜.根据经验,一般顾客的眼睛到地面的距离(cm)在区间[140,180]内.设支架高为(0<<90)cm,=100cm,顾客可视的镜像范围为(如图所示),记的长度为().
参考答案:
(1)当=40cm时,试求关于的函数关系式和的最大值;
(2)当顾客的鞋在镜中的像满足不等关系(不计鞋长)时,称顾客可在镜中看到自己的鞋,若一般顾客都能在镜中看到自己的鞋,试求的取值范围.
(1)
即
当时,是增函数,因此时,.
(2)
对恒成立 对恒成立
,即所求的取值范围是.
21. (本小题满分12分)
已知().
(1)当时,求关于x的不等式的解集;
(2)若f(x)是偶函数,求k的值;
(3)在(2)条件下,设,若函数f(x)与g(x)的图象有公共点,求实数b的取值范围.
参考答案:
解:
(1)因为
所以原不等式的解集为 ……3分
(2)因为的定义域为且为偶函数,
所以
即
所以. ……6分
(3)有(2)可得
因为函数与的图象有公共点
所以方程有根
即
有根 ……7分
令且() ……8分
方程可化为(*)
令恒过定点
①当时,即时,(*)在上有根
(舍); ……9分
②当时,即时,(*)在上有根
因为,则(*)方程在上必有一根
故成立; ……10分
③当时,(*)在上有根
则有 ……11分
④当时,(*)在上有根
则有
综上可得:的取值范围为 ……12分
22. 已知函数f(x)是(﹣∞,+∞)上的增函数,a,b∈R.
(Ⅰ)若a+b≥0,求证:f(a)+f(b)≥f(﹣a)+f(﹣b);
(Ⅱ)判断(Ⅰ)中命题的逆命题是否成立,并证明你的结论.
参考答案:
考点: 函数单调性的性质;命题的真假判断与应用.
专题: 证明题.
分析: (I)由已知中函数f(x)是(﹣∞,+∞)上的增函数,根据a+b≥0,易得a≥﹣b,且b≥﹣a,进而根据单调性的性质和不等式的性质,即可得到答案.
(II)(I)中命题的逆命题为若f(a)+f(b)≥f(﹣a)+f(﹣b),则a+b≥0,根据正“难”则“反”的原则,我们可以用反证法判定结论的真假.
解答: 证明:(Ⅰ)因为a+b≥0,所以a≥﹣b.
由于函数f(x)是(﹣∞,+∞)上的增函数,
所以f(a)≥f(﹣b).
同理,f(b)≥f(﹣a).
两式相加,得f(a)+f(b)≥f(﹣a)+f(﹣b).…(6分)
(Ⅱ)逆命题:
若f(a)+f(b)≥f(﹣a)+f(﹣b),则a+b≥0.
用反证法证明
假设a+b<0,那么
所以f(a)+f(b)<f(﹣a)+f(﹣b).
这与f(a)+f(b)≥f(﹣a)+f(﹣b)矛盾.故只有a+b≥0,逆命题得证.
…(12分)
点评: 本题考查的知识点是函数单调性的性质,命题的真假判断与应用,其中(1)的关键是将a+b≥0,变形为a≥﹣b,且b≥﹣a,(2)的关键是根据正“难”则“反”的原则,选用反证法进行论证.