江西省景德镇市第十五中学高一数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设实数满足 , 则 的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
参考答案：
D
2. △ABC中,D在AC上, ,P是BD上的点, ,则m的值（ ）
A. B. C. D.
参考答案：
A
由题意得：
则
故选
3. 已知集合A到B的映射，那么集合A中元素2在B中所对应的元素是（ ）
A．2 B．5 C．6 D．8
参考答案：
B
略
4. 下列幂函数中过点（0，0），（1，1）的偶函数是（ ）
A． B．y=x2 C．y=x﹣1 D．y=x3
参考答案：
B
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【分析】利用幂函数的性质直接判断求解．
【解答】解：在A中，y=过点（0，0），（1，1），是非奇非偶函数，故A错误；
在B中，y=x2过点（0，0），（1，1），是偶函数，故B正确；
在C中，y=x﹣1不过点（0，0），过（1，1），是奇函数，故C错误；
在D中，y=x3过点（0，0），（1，1），是奇函数，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查满足条件的幂函数的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数的性质的合理运用．
5. 已知圆圆那么这两个圆的位置关系是( )
A. 内含 B. 外离 C. 外切 D. 相交
参考答案：
C
【分析】
分别找出两圆的圆心坐标和半径R与r，利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，由d＝R+r得到两圆的位置关系为外切．
【详解】解：由圆圆
得到圆心C1（0，﹣1），圆心C2（2，﹣1），且R＝1，r，
∴两圆心间的距离d2，
故d=R+r，
∴圆C1和圆C2的位置关系是外切．
故选：C．
【点睛】此题考查了圆与圆的位置关系及其判定，以及两点间的距离公式．圆与圆位置关系的判定方法为：0≤d＜R﹣r，两圆内含；d＝R﹣r，两圆内切；R﹣r＜d＜R+r时，两圆相交；d＝R+r时，两圆外切；d＞R+r时，两圆相离（d为两圆心间的距离，R和r分别为两圆的半径）．
6. 下列四个函数中，在上为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
7. 集合= ( ）
A． B．{1} C．{0,1,2} D．{-1,0,1,2}
参考答案：
C
8. 已知，又，，则等于( )
A．0 B． C. D．或0
参考答案：
B
9. 函数y=的定义域为（ ）
A．（，+∞） B．[﹣∞，1） C．[，1） D．（，1]
参考答案：
D
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．
【解答】解：要使函数有意义，则log0.5（4x﹣3）≥0，
即0＜4x﹣3≤1，解得＜x≤1，
故函数的定义域为（，1]，
故选：D
【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．
10. 在等差数列{an}中，其前项和为Sn，且满足若，，则（ ）
A. 24 B. 32 C. 40 D. 72
参考答案：
C
【分析】
由题意结合等差数列的性质可得，，则，进一步可得的值.
【详解】∵，，
∴，，∴，
∴，故选C.
【点睛】本题主要考查等差数列的性质及其应用，属于中等题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数y=的定义域为 ．
参考答案：
{x|﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z}
【考点】H9：余弦函数的定义域和值域；33：函数的定义域及其求法．
【分析】由函数的解析式知，令被开方式2cosx﹣1≥0即可解出函数的定义域．
【解答】解：∵，
∴2cosx﹣1≥0，﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z
函数的定义域为 {x|﹣+2kπ≤x＜≤+2kπ，k∈Z}
故答案为：{x|﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z}．
12. （5分）函数f（x）=loga（x+1）﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点P，则P点的坐标是 ．
参考答案：
（0，﹣2）
考点： 对数函数的图像与性质．
专题： 计算题；函数的性质及应用．
分析： 由于函数y=logax的图象恒过定点（1，0），将y=logax的图象先向左平移1个单位，再下平移2个单位，即可得到函数f（x）的图象，进而得到定点．
解答： 由于函数y=logax的图象恒过定点（1，0），
将y=logax的图象先向左平移1个单位，再下平移2个单位，
即可得到函数f（x）=loga（x+1）﹣2（a＞0，a≠1）的图象，
则恒过定点（0，﹣2）．
故答案为：（0，﹣2）．
点评： 本题考查对数函数的图象的特征，考查函数图象的变换规律，属于基础题．
13. 在下列五个命题中，
①函数y=tan(x+)的定义域是 {x | x ≠+ k，k∈Z}；
②已知sinα =，且α∈[0，2]，则α的取值集合是{} ；
③函数的最小正周期是；
④直线是函数图象的一条对称轴；
⑤函数的最小值为.
把你认为正确的命题的序号都填在横线上 .
参考答案：
①③④⑤
14. 已知集合Ａ＝，若集合Ａ＝，则的取值范围是 。
参考答案：
15. 计算：的值是 ．
参考答案：
【考点】有理数指数幂的运算性质；有理数指数幂的化简求值．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用指数幂的运算性质即可得出．
解：原式==2﹣4=．
故答案为．
【点评】熟练掌握指数幂的运算性质是解题的关键．
16. 给定函数①，②，③，④，其中在区
间（0，1）上单调递减的函数序号是
参考答案：
略
17. 若││,││, 与的夹角为，则?的值是
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f（x）=cos2x+（m﹣2）sinx+m，x∈R，m是常数．
（1）当m=1时，求函数f（x）的值域；
（2）当时，求方程f（x）=0的解集；
（3）若函数f（x）在区间上有零点，求实数m的取值范围．
参考答案：
【考点】函数与方程的综合运用；三角函数的最值．
【专题】计算题；解题思想；方程思想；三角函数的图像与性质．
【分析】（1）当m=1时，化简函数的解析式，利用正弦函数的最值以及二次函数的最值求解即可．
（2）当时，化简f（x）=0，即，求解即可．
（3）利用换元法1+sinx=t，求出自变量的范围，判断函数的单调性，然后求解函数的最值．
【解答】解：f（x）=cos2x+（m﹣2）sinx+m=1﹣sin2x+（m﹣2）sinx+m=﹣sin2x+（m﹣2）sinx+m+1…
（1）当m=1时，
当时，，当sinx=1时，f（x）min=0
所以，当m=1时，函数f（x）的值域是；…
（2）当时，方程f（x）=0即，
即2sin2x+11sinx+5=0，解得，（sinx=﹣5已舍）…，和
所以，当时，方程f（x）=0的解集是…
（3）由f（x）=0，得﹣sin2x+（m﹣2）sinx+m+1=0，﹣sin2x+（m﹣2）sinx+m+1=0，
（1+sinx）m=sin2x+2sinx﹣1，
∵，∴1+sinx≠0，
∴…
令1+sinx=t，∵，∴
令
设=，
∴g（t1）＜g（t2），∴g（t）在上是增函数，
∴g（t）在上的值域是，
∴m∈…．
【点评】本题考查函数与方程的应用，三角函数的最值的求法，换元法的应用，考查计算能力．
19. 已知函数，且，f（0）=0
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的值域；
（3）求证：方程f（x）=lnx至少有一根在区间（1，3）．
参考答案：
【考点】函数解析式的求解及常用方法；根的存在性及根的个数判断．
【专题】综合题；转化思想；待定系数法；函数的性质及应用．
【分析】（1）根据f（1）和f（0）列方程，求出a，b；
（2）由y=，分离2x=＞0，求得值域；
（3）构造函数g（x）=f（x）﹣lnx，运用函数零点存在定理，确定函数在（1，3）存在零点．
【解答】解：（1）由已知可得，，
解得，a=1，b=﹣1，所以，；
（2）∵y=f（x）=，∴分离2x得，2x=，
由2x＞0，解得y∈（﹣1，1），
所以，函数f（x）的值域为（﹣1，1）；
（3）令g（x）=f（x）﹣lnx=﹣lnx，因为，
g（1）=f（1）﹣ln1=＞0，
g（3）=f（3）﹣ln3=﹣ln3＜0，
根据零点存在定理，函数g（x）至少有一零点在区间（1，3），
因此，方程f（x）﹣lnx=0至少有一根在区间（1，3）上．
【点评】本题主要考查了函数解析式的求法，函数值域的求法，以及方程根的存在性及根的个数判断，属于中档题．
20. （本小题满分12分）
已知正数数列{an}的前n项和为Sn，且满足；在数列{bn}中，
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）设，数列{cn}的前n项和为Tn. 若对任意，存在实数，使恒成立，求的最小值.
参考答案：
解：（1）对：当时，知 ……………………………（1分）
当时，由
①—②得：
∴
∵ ∴
即 为首项，公差为1的等差数列
∴ …………………………………………………（2分）
对：由题
∴ …………………………………………………（3分）
∴ 为首项，公比为3的等比数列
∴ 即 ………………………………（5分）
（2）由题知 …………………………………………………（6分）
……………………①
……………………②
①—② 得：
∴ …………………………………………（8分）
易知：递增，∴
又 ∴ ……………………………………（10分）
由题知： ………………………………………………（11分）
即 的最小值为 ……………………………（12分）
21. 盐化某厂决定采用以下方式对某块盐池进行开采：每天开采的量比上一天减少p%，10天后总量变为原来的一半，为了维持生态平衡，剩余总量至少要保留原来的，已知到今天为止，剩余的总量是原来的．
（1）求p%的值；
（2）到今天为止，工厂已经开采了几天？
（3）今后最多还能再开采多少天？
参考答案：
解：设总量为a，由题意得：
（1），解得．
（2）设到今天为止，工厂已经开采了天，则，
即，解得．
（3）设今后最多还能再开采n天，则，
即，即，即，故今后最多还能再开采25天．
22. （本小题满分12分）已知角的终边过点.
（1）求的值；
（2）求式子的值．
参考答案：
略