江西省赣州市南亨中学2022-2023学年高三数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设,,,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
,所以 ,选C.
2. 为了得到函数的图像,只需把函数的图像上所有的点的( )
A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的倍,横坐标不变
参考答案:
B
略
3. 已知椭圆长轴两个端点分别为A、B,椭圆上点P和A、B的连线的斜率之积为,则椭圆C的离心率为
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
B
4. 已知实数x,y满足约束条件 ,则z= +1的取值范围是( )
A.[﹣,] B.[,] C.[,] D.[,]
参考答案:
D
【分析】由约束条件作出可行域,再由z=+1的几何意义,即可行域内的动点与定点P(﹣2,﹣2)连线的斜率加1求解.
【解答】解:由约束条件作出可行域如图,
联立,解得A(4,﹣1),
联立,解得B(2,4),
z=+1的几何意义为可行域内的动点与定点P(﹣2,﹣2)连线的斜率加1.
∵,,
∴z=+1的取值范围是[].
故选:D.
5. 将函数的图形按向量平移后得到函数的图形,满足和,则向量的一个可能值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
6. “”是 “”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
考点:充分、必要条件的判定.
7.
在等差数列中,,
则为( )
(A)(B) (C) (D)
参考答案:
答案:B
8. 定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=.又函数g(x)=cos,x∈[-3,3],则函数F(x)=f(x)-g(x)的所有零点之和等于( )
参考答案:
D
f(x)=g(x)选D.
9. 命题的否定是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
【知识点】含量词的命题的否定. A3
【答案解析】B解析:命题的否定是,故选B.
【思路点拨】根据含一个量词的全称命题的否定方法写出结论.
10. 若F1、F2为双曲线C:-y2=1的左、右焦点,点P在双曲线C上∠F1PF2=60°,则P到x轴的距离为
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知圆的弦AB的中点为(-1,1),直线AB交x轴于点P,则的值为 .
参考答案:
-5
12. 如图, 为外一点, 过点作的两条切线, 切点分别为, , 过的中点作割线交于, 两点, 若, , 则 ______.
参考答案:
4
略
13. 设,一元二次方程有正数根的充要条件是=
参考答案:
3或4
本题考查了韦达定理以及充要条件的判定问题,难度一般。
因为,由韦达定理可知,4分解为1+3或者2+2,因此的取值为3或者4.
14. 将直角三角形ABC沿斜边上的高AD折成120°的二面角,已知直角边,那么下面说法正确的是 .
(1) 平面ABC⊥平面ACD (2)四面体D-ABC的体积是
(3)二面角的正切值是 (4)BC与平面ACD所成角的正弦值是
参考答案:
(3)(4)
15. 函数的增区间为____________.
参考答案:
试题分析:因为的图象开口向上,且对称轴方程是,所以在上递增,故答案为.
考点:二次函数的图象及单调性.
16. 08年泉州一中适应性练习文)某市有高中三所,A学校有学生4000人,B学校有学生2000人,C学校有学生3000人,现欲通过分层抽样的方法抽取900份试卷,调查学生对2008年奥运会关心的情况,则从A学校抽取的试卷份数应为____________________________。
参考答案:
答案:400
17. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若成等比数列,且则= 。
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数
(Ⅰ)求不等式的解集M;
(Ⅱ)当时,证明:.
参考答案:
略
19. 设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1、F2,线段OF1、OF2的中点分别为B1、B2,且△AB1B2是面积为的直角三角形.过B1作直线l交椭圆于P、Q两点.
(1) 求该椭圆的标准方程;
(2) 若,求直线l的方程;
(3) 设直线l与圆O:x2+y2=8相交于M、N两点,令|MN|的长度为t,若t∈,求△B2PQ的面积的取值范围.
参考答案:
解:(1)设所求椭圆的标准方程为,右焦点为.
因△AB1B2是直角三角形,又|AB1|=|AB2|,故∠B1AB2=90o,得c=2b…………1分
在Rt△AB1B2中,,从而.………………3分
因此所求椭圆的标准方程为: …………………………………………4分
(2)由(1)知,由题意知直线的倾斜角不为0,故可设直线的方程为:,代入椭圆方程得,…………………………6分
设P(x1, y1)、Q(x2, y2),则y1、y2是上面方程的两根,因此,
,又,所以
………………………………8分
由,得=0,即,解得;
所以满足条件的直线有两条,其方程分别为:x+2y+2=0和x–2y+2=0……………………10分
(3) 当斜率不存在时,直线,此时,………………11分
当斜率存在时,设直线,则圆心到直线的距离,
因此t=,得………………………………………13分
联立方程组:得,由韦达定理知,
,所以,
因此.
设,所以,所以…15分
综上所述:△B2PQ的面积……………………………………………16分
略
20. 设函数f(x)=1﹣e﹣x.
(Ⅰ)证明:当x>﹣1时,f(x)≥;
(Ⅱ)设当x≥0时,f(x)≤,求a的取值范围.
参考答案:
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.
【专题】综合题;压轴题.
【分析】(1)将函数f(x)的解析式代入f(x)≥整理成ex≥1+x,组成新函数g(x)=ex﹣x﹣1,然后根据其导函数判断单调性进而可求出函数g(x)的最小值g(0),进而g(x)≥g(0)可得证.
(2)先确定函数f(x)的取值范围,然后对a分a<0和a≥0两种情况进行讨论.当a<0时根据x的范围可直接得到f(x)≤不成立;当a≥0时,令h(x)=axf(x)+f(x)﹣x,然后对函数h(x)进行求导,根据导函数判断单调性并求出最值,求a的范围.
【解答】解:(1)当x>﹣1时,f(x)≥当且仅当ex≥1+x
令g(x)=ex﹣x﹣1,则g'(x)=ex﹣1
当x≥0时g'(x)≥0,g(x)在是减函数
于是g(x)在x=0处达到最小值,因而当x∈R时,g(x)≥g(0)时,即ex≥1+x
所以当x>﹣1时,f(x)≥
(2)由题意x≥0,此时f(x)≥0
当a<0时,若x>﹣,则<0,f(x)≤不成立;
当a≥0时,令h(x)=axf(x)+f(x)﹣x,则
f(x)≤当且仅当h(x)≤0
因为f(x)=1﹣e﹣x,所以h'(x)=af(x)+axf'(x)+f'(x)﹣1=af(x)﹣axf(x)+ax﹣f(x)
(i)当0≤a≤时,由(1)知x≤(x+1)f(x)
h'(x)≤af(x)﹣axf(x)+a(x+1)f(x)﹣f(x)
=(2a﹣1)f(x)≤0,
h(x)在
【点评】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式,考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想,考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力;导数常作为高考的压轴题,对考生的能力要求非常高,它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能,还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱.作为压轴题,主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题,利用导数证明不等式等,常伴随对参数的讨论,这也是难点之所在.
21. (14分)(2007?天津)设函数f(x)=﹣x(x﹣a)2(x∈R),其中a∈R.
(Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(Ⅱ)当a≠0时,求函数f(x)的极大值和极小值;
(Ⅲ)当a>3时,证明存在k∈,使得不等式f(k﹣cosx)≥f(k2﹣cos2x)对任意的x∈R恒成立.
参考答案:
考点: 函数单调性的性质.
专题: 压轴题.
分析: (Ⅰ)求出f(2)和f′(2),利用点斜式写切线方程.
(Ⅱ)求导,令f′(x)=0,再考虑f(x)的单调性,求极值即可.
(Ⅲ)有(Ⅱ)可知当a>3时f(x)为单调函数,利用单调性直接转化为k﹣cosx≤k2﹣cos2x恒成立,分离参数求解即可.
解答: 解:(Ⅰ)解:当a=1时,f(x)=﹣x(x﹣1)2=﹣x3+2x2﹣x,得f(2)=﹣2,且f'(x)=﹣3x2+4x﹣1,f'(2)=﹣5.
所以,曲线y=﹣x(x﹣1)2在点(2,﹣2)处的切线方程是y+2=﹣5(x﹣2),整理得5x+y﹣8=0.
(Ⅱ)解:f(x)=﹣x(x﹣a)2=﹣x3+2ax2﹣a2xf'(x)=﹣3x2+4ax﹣a2=﹣(3x﹣a)(x﹣a).
令f'(x)=0,解得或x=a.
由于a≠0,以下分两种情况讨论.
(1)若a>0,当x变化时,f'(x)的正负如下表:
x
(﹣∞,)
(,a)
a
(a,+∞)
f′(x)
﹣
0
+
0
﹣
因此,函数f(x)在处取得极小值,且;
函数f(x)在x=a处取得极大值f(a),且f(a)=0.
(2)若a<0,当x变化时,f'(x)的正负如下表:
x
(﹣∞,a)
a
(a,)
(,+∞)
f′(x)
﹣
0
+
0
﹣
因此,函数f(x)在x=a处取得极小值f(a),且f(a)=0;
函数f(x)在处取得极大值,且.
(Ⅲ)证明:由a>3,得,当k∈时,k﹣cosx≤1,k2﹣cos2x≤1.
由(Ⅱ)知,f(x)在(﹣∞,1]上是减函数,要使f(k﹣cosx)≥f(k2﹣cos2x),x∈R
只要k﹣cosx≤k2﹣cos2x(x∈R)
即cos2x﹣cosx≤k2﹣k(x∈R)①
设,则函数g(x)在R上的最大值为2.
要使①式恒成立,必须k2﹣k≥2,即k≥2或k≤﹣1.
所以,在区间上存在k=﹣1,使得f(k﹣cosx)≥f(k2﹣cos2x)对任意的x∈R恒成立.
点评: 本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程,函数的极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.
22. 19(本小题满分12分)
如图,四棱锥中,,连接并延长交于.
求证:;
求平面 与平面的夹角的余弦值.
参考答案: