河北省保定市第四职业中学高二数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设M是△ABC内一点,且,∠BAC=30°,定义f(M)=(m,n,p),其中m、n、p分别是△MBC,△MCA,△MAB的面积,若f(M)=(,x,y),则的最小值是………………………………………………………………………………………( )
A、8 B、9 C、16 D、18
参考答案:
D
2. 某班一共有52名同学,现将该班学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知7号、33号、46号同学在样本中,那么样本中还有一位同学的编号应是( )
A.13 B.19 C.20 D.51
参考答案:
C
略
3. 分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道.要求4名水暖工都分配出去,并每名水暖工只去一个居民家,且每个居民家都要有人去检查,那么分配的方案共有( )
A.A种 B.AA种
C.CA种 D.CCA种
参考答案:
C
【考点】计数原理的应用.
【分析】根据题意,分析可得,必有2名水暖工去同一居民家检查;分两步进行,①先从4名水暖工中抽取2人,②再将这2人当做一个元素,与其他2人,共3个元素,分别分配到3个不同的居民家里,由分步计数原理,计算可得答案.
【解答】解:根据题意,分配4名水暖工去3个不同的居民家里,要求4名水暖工都分配出去,且每个居民家都要有人去检查;
则必有2名水暖工去同一居民家检查,
即要先从4名水暖工中抽取2人,有C42种方法,
再将这2人当做一个元素,与其他2人,共3个元素,分别分配到3个不同的居民家里,有A33种情况,
由分步计数原理,可得共C42A33种不同分配方案,
故选C.
4. 用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n﹣1=2n﹣1(n∈N+)”的过程中,第二步n=k时等式成立,则当n=k+1时,应得到( )
A.1+2+22+…+2k﹣2+2k﹣1=2k+1﹣1
B.1+2+22+…+2k+2k+1=2k﹣1+2k+1
C.1+2+22+…+2k﹣1+2k+1=2k+1﹣1
D.1+2+22+…+2k﹣1+2k=2k+1﹣1
参考答案:
D
【考点】RG:数学归纳法.
【分析】把n=k+1代入等式即可.
【解答】解:当n=k+1时,等式左边为1+2+22+…+2k,等式右边为2k+1﹣1,
故选D.
5. 设双曲线的中心为点,若有且只有一对相较于点、所成的角为的直线和,使,其中、和、分别是这对直线与双曲线的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
6. 已知点(3,4)在椭圆上,则以点为顶点的椭圆的内接矩形的面积是 ( )
A、12 B、24 C、48 D、与的值有关
参考答案:
C
略
7. 已知为异面直线,平面,平面.直线满足则 ( )
A.,且 B.,且
C.与相交,且交线垂直于 D.与相交,且交线平行于
参考答案:
D
8. 下列函数中,既是偶函数,且在区间内是单调递增的函数是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
9. 下列命题中的说法正确的是( )
A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1”
B.“x=﹣1”是“x2+5x﹣6=0”的必要不充分条件
C.命题“?x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是:“?x∈R,均有x2+x+1>0”
D.命题“在△ABC中,若A>B,则sinA>sinB”的逆否命题为真命题
参考答案:
D
【考点】命题的真假判断与应用;四种命题;必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【专题】对应思想;定义法;简易逻辑.
【分析】A.根据否命题的定义进行判断.
B.根据充分条件和必要条件的定义进行判断.
C.根据逆命题的定义进行判断.
D.根据逆否命题的真假性关系进行判断.
【解答】解:A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2≠1,则x≠1”,故A错误,
B.由x2+5x﹣6=0得x=1或x=﹣6,即“x=﹣1”是“x2+5x﹣6=0”既不充分也不必要条件,故B错误,
C.命题“?x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是:“?x∈R,均有x2+x+1≤0﹣5,故C错误,
D.若A>B,则a>b,由正弦定理得sinA>sinB,即命题“在△ABC中,若A>B,则sinA>sinB”的为真命题.则命题的逆否命题也成立,故D正确
故选:D.
【点评】本题主要考查命题的真假判断,涉及四种命题的关系以及充分条件和必要条件的判断,含有量词的命题的否定,比较基础.
10. 用反证法证明命题“若,则且”时,下列假设的结论正确的是( )
A.或 B.且
C.或 D.且
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知命题“?x∈R,sinx﹣2a≥0”是真命题,则a的取值范围是 .
参考答案:
【考点】2H:全称命题.
【分析】命题“?x∈R,sinx﹣2a≥0”是真命题,可得a≤.
【解答】解:命题“?x∈R,sinx﹣2a≥0”是真命题,∴a≤=﹣.
则a的取值范围是.
故答案为:.
12. 将一个容量为M的样本分成3组,已知第一组的频数为10,第二,三组的频率分别为0.35和0.45,则M= .
参考答案:
50
13. 若lgx+lgy=1,则的最小值为____.
参考答案:
2
略
14. 在中,角的对边分别为,若成等差数列,,的面积为,则
参考答案:
15. 若命题“,使”是假命题,则实数的取值范围为 ▲
参考答案:
16. 设x,y满足约束条件:;则z=x﹣2y的取值范围为 .
参考答案:
[﹣3,3]
【考点】简单线性规划.
【分析】先作出不等式组表示的平面区域,由z=x﹣2y可得,y=,则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距,截距越大,z越小,结合函数的图形可求z的最大与最小值,从而可求z的范围
【解答】解:作出不等式组表示的平面区域
由z=x﹣2y可得,y=,则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距,截距越大,z越小
结合函数的图形可知,当直线x﹣2y﹣z=0平移到B时,截距最大,z最小;当直线x﹣2y﹣z=0平移到A时,截距最小,z最大
由可得B(1,2),由可得A(3,0)
∴Zmax=3,Zmin=﹣3
则z=x﹣2y∈[﹣3,3]
故答案为:[﹣3,3]
【点评】平面区域的范围问题是线性规划问题中一类重要题型,在解题时,关键是正确地画出平面区域,分析表达式的几何意义,然后结合数形结合的思想,分析图形,找出满足条件的点的坐标,即可求出答案.
17. 平面四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥CD,将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上,则该球的表面积 .
参考答案:
3π
【考点】球的体积和表面积.
【分析】由题意,BC的中点就是球心,求出球的半径,即可得到球的表面积.
【解答】解:由题意,四面体A﹣BCD顶点在同一个球面上,△BCD和△ABC都是直角三角形,
所以BC的中点就是球心,所以BC=,球的半径为:
所以球的表面积为: =3π.
故答案为:3π.
【点评】本题是基础题,考查四面体的外接球的表面积的求法,找出外接球的球心,是解题的关键,考查计算能力,空间想象能力.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (10分)已知函数.
(1)求f(x)的极大值;
(2)若f(x)在[k,2]上的最大值为28,求k的取值范围。
参考答案:
(1)由已知f(x)的定义域为R,---1’----2’
------3’
x
(-∞,-3)
-3
(-3,1)
1
(1,+∞)
f’(x)
+
0
-
0
+
f(x)
单调递增↗
28
单调递减↘
-4
单调递增↗
-----4’
∴当x=-3时,f(x)有极大值f(-3)=28------5’
(2)由(1)可知f(x)在[1,2]为增函数,在[-3,1]为减函数,(-∞,-3)为增函数,且f(2)=3,f(-3)=28,--------8’ 故所求k的取值范围为k≤-3,即.-----10’
19. 已知函数f(x)=(x﹣1)2﹣.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)有两个零点x1,x2,证明x1+x2>2.
参考答案:
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性.
【分析】(Ⅰ)求出导函数,求出极值点,判断导函数的符号,推出函数的单调性即可.
(Ⅱ)不妨设x1<x2,推出0<x1<1,x2>1.2﹣x2<1,利用函数f(x)在(﹣∞,1)上单调递减,得到x1>2﹣x2,转化为:0=f(x1)<f(2﹣x2).求出,构造函数设g(x)=xe2﹣x﹣(2﹣x)ex,再利用形式的导数,求出函数的最值,转化求解即可.
【解答】(本小题满分12分)
解:(Ⅰ),…
f'(x)=0?x=1,当x∈(﹣∞,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.
所以函数f(x)在(﹣∞,1)上单调递增.…
(Ⅱ)证明:,f(0)=1,不妨设x1<x2,
又由(Ⅰ)可知0<x1<1,x2>1.2﹣x2<1,
又函数f(x)在(﹣∞,1)上单调递减,
所以x1+x2>2?x1>2﹣x2等价于f(x1)<f(2﹣x2),
即0=f(x1)<f(2﹣x2).…
又,而,
所以,…
设g(x)=xe2﹣x﹣(2﹣x)ex,则g'(x)=(1﹣x)(e2﹣x﹣ex).…
当x∈(1,+∞)时g'(x)>0,而g(1)=0,故当x>1时,g(x)>0.
而恒成立,
所以当x>1时,,
故x1+x2>2.…
20. 已知函数f(x)=sin+2sin2(x﹣) (x∈R).
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求函数f(x)的递增区间.
参考答案:
【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.
【分析】(Ⅰ)利用差角三角函数,结合辅助角公式,化简函数,即可求函数f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)由已知,即可求函数f(x)的递增区间.
【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=sin+1﹣cos
=2[]+1
=2sin+1
=2sin(2x﹣)+1.
∴T==π.…(6分)
(Ⅱ)由已知
得:
所以函数f(x)的递增区间为…(12分)
【点评】本题考查三角函数的图象与性质,考查学生的计算能力,属于中档题.
21. (本小题满分10分).若函数在处取得极值.
(1)求的值;
(2)求函数单调区间及极值
参考答案:
解:(1),由,得.
(2).
.
由,得x=1或x=2.
①当时;
②当时或. www.k@s@5@