河北省唐山市尹庄乡中学2022年高三数学文模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数，则f(x)的图象在点处的切线方程为　　 A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 先由题求出f（x）的导函数，可得出在点（0，f（0））的斜率，再根据切线公式可得结果. 【详解】∵f（x）= ， ∴f′（x）=， ∴f′（0）=-1，f（0）=1， 即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为-1， ∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=-x+1， 即x+y-1=0． 故选：B． 【点睛】本题考查了曲线的切线方程，求导和熟悉公式是解题的关键，属于基础题. 2. 设，是二次函数，若的值域是，则的值域是（    ）     A．                                        B．     C．                           D． 参考答案： C 3. 已知,满足约束条件,若的最小值为,则 （　　） A． B． C． D． 参考答案： A 略 4. 下列四个命题：①；②；③；④，其中真命题的个数是（    ）（为自然对数的底数） A．1          B．2         C．3         D．4 参考答案： B 5. 已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=l，BC=，则球O的表面积等于（   ） A．4 B．3 C．2 D． 参考答案： A 考点：空间几何体的表面积与体积 试题解析：因为 可得SC为球的直径，，故答案为：A 6. 设，若在方向上投影为，在方向上的投影为，则与的夹角等于（    ）    A、                B、               C、               D、或 参考答案： A 7. 下列说法正确的是                                                                                                                A．命题“使得 ”的否定是：“” B．aR,“<1”是“a>1”的必要不充分条件 C．“为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件 D．命题p：“”，则p是真命题 参考答案： B 8. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A.第一象限   B.第二象限   C.第三象限    D.第四象限 参考答案： B 略 9. 某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为  （      ） A．          B．        C．          D． 参考答案： D 10. 下列函数中，在其定义域是减函数的是(    ) A.    B.    C.     D. 参考答案： 【知识点】函数单调性的判断与证明．   B3 【答案解析】D  解析：A．该函数为二次函数，在其定义域上没有单调性； B．该函数为反比例函数，在其定义域上没有单调性； C．f（x）=，∴x＜0时f（x）是增函数，即在其定义域上不是减函数； D．f（x）在定义域（﹣∞，2）上，x增大时，f（x）减小，所以该函数在其定义域上是减函数． 故选D． 【思路点拨】根据二次函数的单调性，反比例函数的单调性，指数函数的单调性，含绝对值函数的单调性，对数函数的单调性及单调性的定义即可找出正确的选项． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若函数对于任意的、，当时，恒有成立，则的取值范围是： ； 参考答案： 因为当时，恒有成立，所以函数在内单调递减，令，易知函数在在内单调递减，，所以函数单调递增，所以……………………①，又由题意知函数的定义域为R，所以…………………………② 由①②知：的取值范围是。 12. 设双曲线的左、右顶点分别为,，点在双曲线上且异于,两点，为坐标原点．若直线与的斜率之积为，则双曲线的离心率为________． 参考答案： 对双曲线来说,, 13. 从某企业的某种产品中抽取1000件，测量该种产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，假设这项指标在[185,215]内，则这项指标合格，估计该企业这种产品在这项指标上的合格率为          ． 参考答案： 0.79 这种指标值在内，则这项指标合格， 由频率分布直方图得这种指标值在内的频率为， 所以估计该企业这种产品在这项指标上合格率为．   14. （本题18分） 若函数存在反函数，由函数确定数列，，由函数确定数列，，则称数列是数列的“反数列”。 （1）   若数列是函数确定数列的反数列，试求数列的前n项和； （2）   若函数确定数列的反数列为，求的通项公式； （3）   对（2）题中的，不等式对任意的正整数n恒成立，求实数的取值范围。 参考答案： （1）得，所以，---------4分 （2）得，所以------------------------8分 （3）记，得 >0，所以递增，故---14分 由已知得，，解得 ∴实数的取值范围是--------------------------------18分 15. 在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n=________时，Sn取得最大值. 参考答案： 略 16. 若实数的最大值是          。 参考答案： 7  17. 函数的最小正周期为　 　. 参考答案：       . 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分14分） 已知A、B、C是直线l上不同的三点，O是l外一点，向量满足：记y＝f(x)． （Ⅰ）求函数y＝f(x)的解析式： （Ⅱ）若对任意不等式｜a－lnx｜－ln[f '(x)－3x]＞0恒成立，求实数a的取值范围： （Ⅲ）若关于x的方程f(x)＝2x＋b在（0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围． 参考答案：  (2)∴原不等式为 得或①……4分 设 依题意知a＜g(x)或a＞h(x)在x∈上恒成立， ∴g(x)与h(x)在上都是增函数，要使不等式①成立， 当且仅当或∴，或．……8分 (3)方程f(x)＝2x＋b即为 变形为 令j， j……10分 列表写出 x，j'(x)，j(x)在[0，1]上的变化情况： x 0 (0，) (，1) 1 j'(x)   小于0 0 大于0   j(x) ln2 单调递减 取极小值 单调递增 ……12分 显然j(x)在（0，1］上的极小值也即为它的最小值． 现在比较ln2与的大小； ∴要使原方程在（0，1]上恰有两个不同的实根，必须使 即实数b的取值范围为……14分 19. （本题满分12分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，，…，后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题： (Ⅰ) 求第四小组的频率； (Ⅱ) 从成绩是分以上（包括分）的学生中选两人，求这两人的成绩在内的人数的分布列及期望. 参考答案： （Ⅰ）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：  ．…………………………….4分 (Ⅱ)设人数为， x 0 1 2 P Ex=．                        ……………………………12分 20. 已知数列的前项和为，数列满足. （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前项和 参考答案： (1) 当时，                      …………………….3分 当时， 相减得             ……………………12分   略 21. （13分）（2015?济宁一模）如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2．求证： （Ⅰ）EC⊥CD； （Ⅱ）求证：AG∥平面BDE； （Ⅲ）求：几何体EG﹣ABCD的体积． 参考答案： 【考点】： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． 【专题】： 综合题；空间位置关系与距离． 【分析】： （Ⅰ）利用面面垂直的性质，证明EC⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质证明EC⊥CD； （Ⅱ）在平面BCDG中，过G作GN⊥CE交BE于M，连DM，证明四边形ADMG为平行四边形，可得AG∥DM，即可证明AG∥平面BDE； （Ⅲ）利用分割法即可求出几何体EG﹣ABCD的体积． （Ⅰ）证明：由平面ABCD⊥平面BCEG， 平面ABCD∩平面BCEG=BC，CE⊥BC，CE平面BCEG， ∴EC⊥平面ABCD，…（3分） 又CD平面BCDA，故EC⊥CD…（4分） （Ⅱ）证明：在平面BCDG中，过G作GN⊥CE交BE于M，连DM， 则由已知知；MG=MN，MN∥BC∥DA，且， ∴MG∥AD，MG=AD，故四边形ADMG为平行四边形，∴AG∥DM…（6分） ∵DM平面BDE，AG平面BDE，∴AG∥平面BDE…（8分） （Ⅲ）解：…（10分） =…（12分） 【点评】： 本题考查面面垂直、线面平行，考查几何体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确运用面面垂直、线面平行的判定定理是关键． 22. 已知f（x）=e﹣，其中e为自然对数的底数． （1）设g（x）=（x+1）f′（x）（其中f′（x）为f（x）的导函数），判断g（x）在（﹣1，+∞）上的单调性； （2）若F（x）=ln（x+1）﹣af（x）+4无零点，试确定正数a的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理． 【分析】（1）对函数f（x）求导后知g（x），对g（x）求导后得到单调性． （2）利用导函数求得F（x）的单调性及最值，然后对a分情况讨论，利用F（x）无零点分别求得a的取值范围，再取并集即可． 【解答】解：（1）∵f（x）=e﹣， ∴f′（x）=﹣， ∴g（x）=（x+1）（﹣）， ∴g′（x）= [（x+3）﹣1]， 当x＞﹣1时，g′（x）＞0， ∴g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增． （2）由F（x）=ln（x+1）﹣af（x）+4知，F′（x）=（﹣g（x））， 由（1）知，g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，且g（﹣1）=0 可知当x∈（﹣1，+∞）时，g（x）∈（0，+∞）， 则F′（x）=（﹣g（x））有唯一零点， 设此零点为x=t，易知x∈（﹣1，t）时，F′（x）＞0，F（x）单调递增； x∈（t，+∞）时，F′（t）＜0．F（x）单调递减． 知F（x）max=F（t）=ln（t+1）﹣af（t）+4， 其中a=， 令G（x）=ln（x+1）﹣+4， 则G′（x）=， 易知f（x）＞0在（﹣1，+∞）上恒成立， ∴G′（x）＞0，G（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，且G（0）=0， ①当0＜a＜4时，g（t）=＞=g（0）， 由g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，知t＞0，则F（x）max=F（t）=G（t）＞G（0）=0， 由F（x）在（﹣1，t）上单调递增，﹣1＜e﹣4﹣1＜0＜t，