河北省石家庄市东权城中学2022年高三数学文联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 与的值相等的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
2. 已知复数(为虚数单位),则复数在复平面内对应的点位于( )
A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限
参考答案:
D
3. 在数列中,,则该数列中相邻两项的乘积是负数的( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
4. 已知,则等于 ( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
D
由于受条件sin2θ+cos2θ=1的制约,故m为一确定的值,于是sinθ,cosθ的值应与m的值无关,进而推知tan的值与m无关,又<θ<π,<<,∴tan>1,故选D。
5. 已知等差数列{an}满足,则数列{an}中一定为零的项是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【分析】
将已知条件转化为的形式,由此判断出一定为零的项.
【详解】设公差为,由得,∴,
故选:A.
【点睛】本小题主要考查等差数列的基本量计算,属于基础题.
6. 已知集合,,则A∩B等于
A. B. C. D.
参考答案:
C
7. 若复数是纯虚数,则实数的值为
A. 或 B. C. D. 或
参考答案:
C
略
8. 为得到函数y=sin(x+)的图象,可将函数.Y=sin x的图象向左平移m个单位长度,或向右平移n个单位长度(m,n均为正数),则Im-nI的最小值是
A B c. D.
参考答案:
B【知识点】函数的图象与性质C4
由条件可得m=2k1π+,n=2k2π+(k1、k2∈N),则|m-n|=|2(k1-k2)π-|,
易知(k1-k2)=1时,|m-n|min=.
【思路点拨】依题意得m=2k1π+ ,n=2k2π+(k1、k2∈N),于是有|m-n|=|2(k1-k2)π-|,从而可求得|m-n|的最小值.
9. 某程序框图如图所示,若,则该程序运行后,输出的的值为( )
(A) 33 ( B) 31 ( C)29 ( D) 27
参考答案:
B
略
10. 已知集合,则
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
【知识点】交集的运算.A1
A 解析:因为,所以
,故选A。
【思路点拨】直接利用交集的定义即可.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图所示,放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动,点B恰好经过原点.设顶点P(x,y)的轨迹方程是y=f(x),则对函数y=f(x)有下列判断:
①若-2≤x≤2,则函数y=f(x)是偶函数;
②对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x-2);
③函数y=f(x)在区间[2,3]上单调递减;
④函数y=f(x)在区间[4,6]上是减函数.
其中判断正确的序号是________.(写出所有正确结论的序号)
参考答案:
①②④
当﹣2≤x≤﹣1,P的轨迹是以A为圆心,半径为1的圆,
当﹣1≤x≤1时,P的轨迹是以B为圆心,半径为的圆,
当1≤x≤2时,P的轨迹是以C为圆心,半径为1的圆,
当3≤x≤4时,P的轨迹是以A为圆心,半径为1的圆,
∴函数的周期是4.
因此最终构成图象如下:
①根据图象的对称性可知函数y=f(x)是偶函数,∴①正确.
②由图象即分析可知函数的周期是4.∴②正确.
③函数y=f(x)在区间[2,3]上单调递增,∴③错误.
④函数y=f(x)在区间[4,6]上是减函数,由函数的图象即可判断是真命题、∴④正确.
故答案为:①②④.
12. 设集合,,则 ▲ .
参考答案:
13. 方程的解为_____________.
参考答案:
14. 的展开式中,的系数为__ ____.
参考答案:
160
15. 若直线(,)被圆截得的弦长为4,则的最小值为
参考答案:
略
16. 若实数满足:表示的区域的面积为 的取值范围是
参考答案:
,
17. (5分)(2015?陕西一模)的展开式中的常数项等于 .
参考答案:
﹣160
【考点】: 二项式系数的性质.
【专题】: 二项式定理.
【分析】: 在二项展开式的通项公式中,令x的幂指数等于0,求出r的值,即可求得常数项.
解:的展开式中的通项公式为Tr+1=?26﹣r?(﹣1)r?x3﹣r,
令3﹣r=0,求得r=3,
故展开式中的常数项等于﹣23?=﹣160,
故答案为:160.
【点评】: 本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,二项式系数的性质,属于中档题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,四棱台中,底面,平面平面为的中点.
(1)证明:;
(2)若,且,求二面角的正弦值.
参考答案:
(1)证明:连接,
∵为四棱台,四边形四边形,
∴,由得,,
又∵底面,∴四边形为直角梯形,可求得,
又为的中点,所以,
又∵平面平面,平面平面,
∴平面平面,
∴;
(2)解:
在中,,利用余弦定理可求得,或,由于,所以,从而,知,
如图,以为原点建立空间直角坐标系,,
由于平面,所以平面的法向量为,
设平面的法向量为,,,
设,所以,
,
∴,
即二面角的正弦值为.
19. 已知△ABC中,AB=AC,D为△ABC外接圆劣弧AC上的点(不与点A,C重合),延长BD至E,延长AD交BC的延长线于F
(1)求证:∠CDF=∠EDF;
(2)求证:AB?AC?DF=AD?FC?FB.
参考答案:
考点:与圆有关的比例线段.
专题:推理和证明.
分析:(I)根据A,B,C,D 四点共圆,可得∠ABC=∠CDF,AB=AC可得∠ABC=∠ACB,从而得解.
(II)证明△BAD∽△FAB,可得AB2=AD?AF,因为AB=AC,所以AB?AC=AD?AF,再根据割线定理即可得到结论.
解答: 证明:(I)∵A,B,C,D 四点共圆,∴∠ABC=∠CDF
又AB=AC∴∠ABC=∠ACB,
且∠ADB=∠ACB,∴∠ADB=∠CDF,
对顶角∠EDF=∠ADB,故∠EDF=∠CDF;
(II)由(I)得∠ADB=∠ABF,
∵∠BAD=∠FAB,
∴△BAD∽△FAB,
∴=,
∴AB2=AD?AF,
∵AB=AC,
∴AB?AC=AD?AF,
∴AB?AC?DF=AD?AF?DF,
根据割线定理DF?AF=FC?FB,
∴AB?AC?DF=AD?FC?FB.
点评:本题以圆为载体,考查圆的内接四边形的性质,考查等腰三角形的性质,考查三角形的相似,属于基础题.
20. 本小题满分13分)
张先生家住H小区,他工作在C科技园区,从家开车到公司上班路上有L1,L2两条路线(如图),L1路线上有A1,A2,A3三个路口,各路口遇到红灯的概率均为;L2路线上有B1,B2两个路口,各路口遇到红灯的概率依次
为,.
(Ⅰ)若走L1路线,求最多遇到1次红灯的概率;
(Ⅱ)若走L2路线,求遇到红灯次数的数学期望;
(Ⅲ)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求,请你帮助张先生分析上述两条路线中,选择哪条上班路线更好些,并说明理由.
参考答案:
解:(Ⅰ)设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件,则
.
21. (本小题满分12分)为了迎接2011西安世园会,某校响应号召组织学生成立了“校园文艺队”。已知每位队员唱歌、跳舞至少会一项,其中会唱歌的有2人,会跳舞的有5人,现从中选2人.设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数,且.
(1)求文艺队的人数; (2)求的分布列并计算.
参考答案:
解:设既会唱歌又会跳舞的有人,则文娱队中共有人,那么只会一项的人数是人.
(1),
,即,
. 故文娱队共有5人.
(2),
的分布列为
0
1
2
P
略
22. 已知椭圆的对称轴为坐标轴,离心率,短轴长为,求椭圆的方程.
参考答案: