河北省衡水市深州榆科中学高三数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在直三棱柱A1B1C1-ABC中,∠BAC=,AB=AC=AA1=1.已知G与E分别为A1B1和CC1的中点,D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点).若GD⊥EF,则线段DF的长度的取值范围为
A.[,1) B.[,2) C.[1,) D.[,)
参考答案:
A
解:建立直角坐标系,以A为坐标原点,AB为x轴,AC为y轴,AA1为z轴,则F(t1,0,0)(0<t1<1),E(0,1,),G(,0,1),D(0,t2,0)(0<t2<1).所以=(t1,-1,-),=(-,t2,-1).因为GD⊥EF,所以t1+2t2=1,由此推出0<t2<.又=(t1,-t2,0),
=\s\do4(12=\s\do4(22=,从而有≤<1.
2. 已知点P在双曲线C:(,)上,A,B分别为双曲线C的左、右顶点,离心率为e,若△ABP为等腰三角形,其顶角为150°,则e2=( )
A. B.2 C.3 D.
参考答案:
D
不妨设点P在第一象限,因为△ABP为等腰三角形,其顶角为150°,则P的坐标为,代入双曲线C的方程得,故选D.
3. 袋中共有5个除颜色外完全相同的小球,其中1个红球,2
个白球和2个黑球,从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
4. 已知数列{an}满足:则a20=( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
5. 已知复数z=1+i,则( )
A.2i B.—2i C.2 D.—2
参考答案:
A
6. 设等差数列的前项和为、是方程的两个根,
A. B.5 C. D.-5
参考答案:
A
因为、是方程的两个根,所以。又,选A.
7. 已知,则曲线在点处的切线在轴上的截距为( )
A.1 B. C. D.
参考答案:
8. 设则的大小关系是
A. B. C. D.
参考答案:
C
9. 若直线与直线的倾斜角相等,则实数
A. B.1 C. D.2
参考答案:
B
由题意可得两直线平行,.
10. 已知=( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. .如果的展开式中项的系数与项的系数之和为40,则的值等于 .
参考答案:
4
略
12. 已知向量,满足,,,则向量与向量的夹角为 .
参考答案:
略
13. 已知是圆的切线,切点为,.是圆的直径,与圆交于点,,则圆的半径 .
参考答案:
略
14. 如图,已知幂函数的图象过点,则图中阴影部分的面积等于 .
参考答案:
15. 若为等差数列,是其前项和,且,则的值为_______.
参考答案:
略
16.
已知的展开式中,二项式系数和为,各项系数和为,则 .
参考答案:
答案:2
17. 甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子构成,其空间结构为正四面体,碳原子位于该正四面体的中心,四个氢原子分别位于该正四面体的四个顶点上,若将碳原子和氢原子均视为一个点(体积忽略不计),设碳原子与每个氢原子的距离都是a,则该正四面体的体积为 _________ .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在中,角对边分别是,满足.
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)求的最大值,并求取得最大值时角的大小.
参考答案:
略
19. 已知集合A={x|2-a≤x≤2+a},B={x|x2-5x+4≥0},
(1)当a=3时,求A∩B,A∪(?UB);
(2)若A∩B=?,求实数a的取值范围.
参考答案:
略
20. 根据统计,某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y(百千克)与某种液体肥料每亩使用量x(千克)之间的对应数据的散点图,如图所示.
(1)依据数据的散点图可以看出,可用线性回归模型拟合y与x的关系,请计算相关系数r并加以说明(若,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合);
(2)求y关于x的回归方程,并预测液体肥料每亩使用量为12千克时,西红柿亩产量的增加量y约为多少?
附:相关系数公式,
参考数据:,.
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
,
参考答案:
(1)0.95;(2),6.1百千克.
【分析】
(1)直接利用相关系数的公式求相关系数,再根据相关系数的大小判断可用线性回归模型拟合与的关系.(2)利用最小二乘法求回归方程,再利用回归方程预测得解.
【详解】(1)由已知数据可得,.
所以,
,
,
所以相关系数.
因为,所以可用线性回归模型拟合与的关系.
(2).
那么.
所以回归方程为.
当时,,
即当液体肥料每亩使用量为12千克时,西红柿亩产量的增加量约为6.1百千克.
【点睛】本题主要考查相关系数和回归方程的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
21. 已知点(1,2)是函数的图象上一点,数列的前n项和.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)将数列前2013项中的第3项,第6项,…,第3k项删去,求数列前2013项中剩余项的和.
参考答案:
解:(Ⅰ)把点(1,2)代入函数,得.……………………(1分)
…………………………………………(2分)
当时,…………………………………(3分)
当时,
……………………………………………(5分)
经验证可知时,也适合上式,
.…………………………………………………………(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知数列为等比数列,公比为2,故其第3项,第6项,…,第2013项也为等比数列,首项公比为其第671项………………………………………………………………(8分)
∴此数列的和为……………………(10分)
又数列的前2013项和为
…………………………………(11分)
∴所求剩余项的和为…(12分)
略
22. 数列是公差不小0的等差数列a1、a3,是函数的零点,数列的前n项和为,且
(1)求数列,的通项公式;
(2)记,求数列的前n项和Sn。
参考答案:
略