河南省驻马店市西平县完全中学2022-2023学年高一数学文联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. （多选题）下列化简正确的是（    ） A. B. C. D. 参考答案： AB 【分析】 利用诱导公式，及，依次分析即得解 【详解】利用诱导公式，及 A选项：，故A正确； B选项：，故B正确； C选项：，故C不正确； D选项：，故D不正确 故选：AB 【点睛】本题考查了诱导公式和同角三角函数关系的应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题. 2. 已知幂函数y=f（x）的图象过（4，2）点，则=（　　） 　 A． B． C． D． 参考答案： B 3. 已知直线，，则与之间的距离为（   ） A. B. C. 7 D. 参考答案： D 【分析】 化简的方程，再根据两平行直线的距离公式，求得两条平行直线间的距离. 【详解】，由于平行，故有两条平行直线间的距离公式得距离为， 故选D. 【点睛】本小题主要考查两条平行直线间的距离公式，属于基础题. 4. 函数的零点的个数为（   ） A．3            B．4               C．5                 D．6 参考答案： C 5. 从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球”中的(　　) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 参考答案： A 试题分析：结合互斥事件和对立事件的定义，即可得出结论 解：根据题意，结合互斥事件、对立事件的定义可得，事件“两球都为白球”和事件“两球都不是白球”；事件“两球都为白球”和事件“两球中恰有一白球”；不可能同时发生，故它们是互斥事件． 但这两个事件不是对立事件，因为他们的和事件不是必然事件． 故选：A 考点：互斥事件与对立事件．   6. 如果(    ). A.          B.{1，3}          C.{2，5}         D.{4} 参考答案： C 7. 已知A>0，，，函数  的部分图象如右图所示．为了得到函数的  图象，只要将的图象（   ） A．向右平移个单位长度   B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度     D．向左平移个单位长度 参考答案： B 8. （5分）设函数f（x）=，在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（） A． 1＜a＜2 B． ＜a＜2 C． 1＜a≤ D． ≤a＜2 参考答案： C 考点： 函数单调性的性质；分段函数的应用． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 若f（x）=在区间上为增函数，则每一段上均为增函数，且在x=时，前一段的函数值不大于后一段的函数值，进而构造关于a的不等式，解得实数a的取值范围 解答： 若函数f（x）=，在区间上单调递增， 则， 解得：1＜a≤， 故选：C 点评： 本题考查的知识点是函数单调性的性质，熟练掌握分段函数单调性的特征是解答的关键． 9. .某校老年、中年和青年教师的人数如下表所示。采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有32人，则该样本的老年教师人数为（  ） 类别 人数 老年教师 90 中年教师 180 青年教师 160 合计 430 A. 9 B. 10 C. 18 D. 30 参考答案： C 【分析】 根据老年教师和青年教师人数的比例列方程，解方程求得老年教师抽样的人数. 【详解】设老年教师抽取人，则，解得人.故选C. 【点睛】本小题主要考查分层抽样的概念及计算，考查阅读理解能力，属于基础题. 10. 已知直线，平面 ，下列命题中正确的是  A.，， ∥，则 B.，，，则 C.∥，， ∥，则 D.⊥，，，则 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数在[－3,2]上的最大值为4，则实数__________． 参考答案： 或－3 解：当时，，不成立． 当时，，开口向上，对称轴， 当时取得最大值，所以，解得． 当时，，开口向下，对称轴， 当时，取得最大值，所以，解得． 综上所述：或－3． 12. 在△ABC中，已知A=45°，B=105°，则的值为　　． 参考答案： 【考点】正弦定理． 【分析】由题意和内角定理求出角C，根据正弦定理求出的值． 【解答】解：在△ABC中，∵A=45°，B=105°，∴C=180°﹣A﹣B=30°， 由正弦定理得， 则==， 故答案为：． 13. 如下图，一个圆心角为270°，半径为2m的扇形工件，未搬动前如图所示， 两点触地放置，搬动时，先将扇形以为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再 使它紧贴地面滚动，当两点再次触地时停止，则圆心所经过的路线长是 __________ m．（结果保留） 参考答案： 略 14. 若，则的值为 参考答案： 5 15. 已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为_       _______． 参考答案： 16. 已知函数的定义域为 ，则函数的定义域为                       .  参考答案： 略 17. 某设备的使用年数x与所支出的维修总费用y的统计数据如下表： 使用年数x（单位：年） 2 3 4 5 6 维修费用y（单位：万元） 1.5 4.5 5.5 6.5 7.0 根据上标可得回归直线方程为=1.3x+，若该设备维修总费用超过12万元，据此模型预测该设备最多可使用　   　年． 参考答案： 9 【考点】BK：线性回归方程． 【分析】计算、，根据回归直线方程过样本中心点求出的值，写出回归直线方程， 利用回归方程求≥12时x的取值即可． 【解答】解：计算=×（2+3+4+5+6）=4， =×（1.5+4.5+5.5+6.5+7.0）=5， 又回归直线方程=1.3x+过样本中心点， ∴=﹣1.3=5﹣1.3×4=﹣0.2， ∴回归直线方程为=1.3x﹣0.2； 令=1.3x﹣0.2≥12， 解得x≥9.4≈9， ∴据此模型预测该设备最多可使用9年． 故答案为：9． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在三棱锥S﹣ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=1，BC=． （1）证明：面SBC⊥面SAC； （2）求点A到平面SCB的距离； （3）求二面角A﹣SB﹣C的平面角的正弦值． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算． 【分析】（1）利用SA⊥AB，SA⊥AC，推出SA⊥平面ABC，得到BC⊥SA，结合BC⊥AC，证明BC⊥面SAC，然后说明面SBC⊥面SAC． （2）过点A作AE⊥SC交SC于点E，推出AE为点A到平面SCB的距离，然后在RT△SAC中，求解即可． （3）过点C作CM⊥AB交AB于点M，过点M作MN⊥SB交SB于点N，说明∠CMN为所求二面角的平面角，在RT△ABC中，求解CM，在RT△SBC中，求解CN，然后求解二面角A﹣SB﹣C的平面角的正弦值． 【解答】（1）证明：∵SA⊥AB，SA⊥AC，且AB∩AC=A，∴SA⊥平面ABC， ∵BC?面ABC，∴BC⊥SA， ∵BC⊥AC，AC∩AS=A，∴BC⊥面SAC，∴面SBC⊥面SAC． （2）解：过点A作AE⊥SC交SC于点E， ∵面SBC⊥面SAC，且面SBC∩面SAC=SC， ∴AE⊥面SBC，即AE为点A到平面SCB的距离， 在RT△SAC中，，即点A到平面SCB的距离为． （3）解：过点C作CM⊥AB交AB于点M，过点M作MN⊥SB交SB于点N， ∵SA⊥平面ABC，∴面SAB⊥面ABC，∴CM⊥面SAB， ∴CM⊥SB，MN∩CM=M，∴SB⊥面CMN， ∴∠CMN为所求二面角的平面角， 在RT△ABC中，，在RT△SBC中，， 在RT△CMN中，． 即二面角A﹣SB﹣C的平面角的正弦值． 19. 已知二次函数y=f（x）最小值为0，且有f（0）=f（2）=1． （Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式； （Ⅱ）若函数y=f（x）在[0，m]上的值域是[0，1]，求m的取值范围． 参考答案： 见解析 【考点】二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法． 【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】（Ⅰ）求出函数的对称轴，结合顶点在x轴上，设出函数的表达式，从而求出即可； （Ⅱ）结合函数的图象求出m的范围即可． 【解答】解：已知二次函数y=f（x）最小值为0，且有f（0）=f（2）=1． （Ⅰ）由已知得：函数的对称轴是x=1，顶点在x轴上， 故设函数的表达式是：f（x）=a（x﹣1）2， 将（0，1）代入上式得：a=1， ∴f（x）=x2﹣2x+1； （Ⅱ）画出函数f（x）的图象，如图示： 若函数y=f（x）在[0，m]上的值域是[0，1]， 由图象得：1≤m≤2． 【点评】本题考察了二次函数的性质，求函数的表达式问题，考察数形结合思想，是一道基础题． 　 20. （14分）已知：以点为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O、B，其中O为原点， （1）求证：△OAB的面积为定值； （2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若OM=ON，求圆C的方程． 参考答案： 考点： 直线与圆的位置关系；直线的截距式方程；圆的标准方程． 分析： （1）求出半径，写出圆的方程，再解出A、B的坐标，表示出面积即可． （2）通过题意解出OC的方程，解出t 的值，直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，判断t是否符合要求，可得圆的方程． 解答： （1）∵圆C过原点O， ∴， 设圆C的方程是， 令x=0，得， 令y=0，得x1=0，x2=2t ∴， 即：△OAB的面积为定值； （2）∵OM=ON，CM=CN， ∴OC垂直平分线段MN， ∵kMN=﹣2，∴， ∴直线OC的方程是， ∴，解得：t=2或t=﹣2， 当t=2时，圆心C的坐标为（2，1），， 此时C到直线y=﹣2x+4的距离， 圆C与直线y=﹣2x+4相交于两点， 当t=﹣2时，圆心C的坐标为（﹣2，﹣1），， 此时C到直线y=﹣2x+4的距离， 圆C与直线y=﹣2x+4不相交， ∴t=﹣2不符合题意舍去， ∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5． 点评： 本题考查直线与圆的位置关系，圆的标准方程等有关知识，是中档题． 21. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过、、三点，M是直线AD上的动点，是过点且互相垂直的两条直线，其中交轴于点，交圆C于P、Q两点． （1）若，求直线的方程； （2）若是使恒成立的最小正整数，求三角形EPQ的面积的最小值． 参考答案： (1) (2) 【分析】 （1）求出圆心与半径，设方程为：，因为，则直线到圆心的距离，即可求直线 的方程. （2）设，由点在线段上，得，因为，所以. 依题意知，线段与圆至多有一个公共点，所以，由此入手求得三角形的面积的最小值 【详解】解：（1）由题意可知，圆的直径为，所以圆方程为：. 设方程为：，则，解得，， 当时，直线与轴无交点，不合，舍去． 所以，此时直线的方程为. （2）设，由点在线段上，得，即. 由，得. 依题意知，线段与圆至多有