湖北省孝感市书院中学2022年高二数学文联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知集合，若，则实数a的取值范围是（   ） A.(3,+∞) B. [3,+∞) C.(－∞,1] D. (－∞,1) 参考答案： C 【分析】 由一元一次不等式和一元二次不等式解出集合A，B，根据B?A，可得参数a的取值范围． 【详解】集合A＝{x|x＞3或x＜1}， 集合B＝{x|x＜a}， 由B?A，可得a≤1， ∴实数的取值范围是， 故选：C． 【点睛】本题考查集合间的关系以及一元二次不等式的解法，属于基础题． 2. 设,是两条不同的直线，,是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A.  若               B. 若 C．若           D. 若 参考答案： D 3. 已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则=（   ） A.2          B.4               C.6             D.8 参考答案： D 略 4. 设 ，则 的值是（    ） A. B. -6 C. D. -3 参考答案： A 【分析】 根据分段函数的对应法则即可得到结果. 【详解】∵ ∴ 故选：A 【点睛】本题考查分段函数的对应法则，考查指数与对数的运算法则，属于中档题. 5. 编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示五个盒子中。 要求每个盒子只能放一个小球，且A不能放1，2号，B必须放在与A相邻的盒子中。则不同的放法有（     ）种   A．   42       B．   36        C．  32       D．   30  参考答案： D 6. 在极坐标系中，设曲线C1：ρ=2sinθ与C2：ρ=2cosθ的交点分别为A，B，则线段AB的垂直平分线的极坐标方程为（　　） A．ρ= B．ρ= C．θ=（ρ∈R） D．θ=（ρ∈R） 参考答案： A 【考点】简单曲线的极坐标方程． 【分析】分别求出曲线C1和C2的直角坐标方程，联立方程组求出A、B的坐标，先求出线段AB的垂直平分线的普通方程，由此能求出线段AB的垂直平分线极坐标方程． 【解答】解：∵曲线C1：ρ=2sinθ，∴ρ2=2ρsinθ， ∴曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=2y， ∵C2：ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ， ∴C2的直角坐标方程为x2+y2=2x， 联立，得，或， ∴线段AB的垂直平分线的斜率k=﹣1，AB的中点为（，）， ∴线段AB的垂直平分线的方程为：y﹣=﹣（x﹣），即x+y﹣1=0． ∴线段AB的垂直平分线极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，即． 故选：A． 7. 椭圆的一个焦点是，那么实数的值为(   )   A、 B、        C、    D、 参考答案： D 8. 棱长为的正方体内切一球，该球的半径为        A、                      B、                  C、                   D、 参考答案： A 9. 已知﹣9，a1，a2，﹣1四个实数成等差数列，﹣9，b1，b2，b3，﹣1五个实数成等比数列，则b2（a2﹣a1）=（　　） A．8 B．﹣8 C．±8 D． 参考答案： B 【考点】等差数列与等比数列的综合． 【分析】先由已知条件和等差数列以及等比数列的性质求得，再利用等比数列中的第三项与第一项同号即可求出答案． 【解答】解：由题得， 又因为b2是等比数列中的第三项，所以与第一项同号，即b2=﹣3 ∴b2（a2﹣a1）=﹣8． 故选  B． 【点评】本题是对等差数列以及等比数列性质的综合考查．在做关于等差数列以及等比数列的题目时，其常用性质一定要熟练掌握． 10. 由曲线，直线所围成的平面图形的面积为                   (  ) A． B． C． D． 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数在区间[0，π]上的最小值为______________． 参考答案： 略 12. 已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线的方程为       参考答案： 略 13. 观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为__________________． 参考答案： 略 14. 若变量满足约束条件,则的最大值和最小值分别为（　　） A．4和3 B．3和2 C． 4和2 D．2和0 参考答案： C 略 15. 经过点P(1,2)的直线，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线方程为    ． 参考答案： 4x－y－2＝0或x＝1; 16. 如图是y＝f(x)的导函数的图象，现有四种说法： (1)f(x)在(－3,1)上是增函数； (2)x＝－1是f(x)的极小值点； (3)f(x)在(2,4)上是减函数， 在(－1,2)上是增函数； (4)x＝2是f(x)的极小值点； 以上正确的序号为________． 参考答案： ② 略 17. 已知函数，则曲线在点处的切线方程_________ ． 参考答案： 3X+Y-4=0 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，曲线Γ由曲线C1：和曲线C2：组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点， （1）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程； （2）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上； （3）对于（1）中的曲线Γ，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求△CDF1面积的最大值． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题． 【分析】（1）由F2（2，0），F3（﹣6，0），可得，解出即可； （2）曲线C2的渐近线为，如图，设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），设直线l：y=，与椭圆方程联立化为2x2﹣2mx+（m2﹣a2）=0， 利用△＞0，根与系数的关系、中点坐标公式，只要证明，即可． （3）由（1）知，曲线C1：，点F4（6，0）．设直线l1的方程为x=ny+6（n＞0）．与椭圆方程联立可得（5+4n2）y2+48ny+64=0，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出． 【解答】（1）解：∵F2（2，0），F3（﹣6，0）， ∴， 解得， 则曲线Γ的方程为和． （2）证明：曲线C2的渐近线为， 如图，设直线l：y=， 则，化为2x2﹣2mx+（m2﹣a2）=0， △=4m2﹣8（m2﹣a2）＞0， 解得． 又由数形结合知． 设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）， 则x1+x2=m，x1x2=， ∴=，． ∴，即点M在直线y=﹣上． （3）由（1）知，曲线C1：，点F4（6，0）． 设直线l1的方程为x=ny+6（n＞0）． ，化为（5+4n2）y2+48ny+64=0， △=（48n）2﹣4×64×（5+4n2）＞0，化为n2＞1． 设C（x3，y3），D（x4，y4）， ∴，． ∴|y3﹣y4|==， ===， 令t=＞0，∴n2=t2+1， ∴===，当且仅当t=，即n=时等号成立． ∴n=时， =． 【点评】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 19. 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，若直线l的极坐标方程为psin（θ﹣）=2． （1）把直线l的极坐标方程化为直角坐标系方程； （2）已知P为椭圆C：上一点，求P到直线l的距离的最小值． 参考答案： 【考点】简单曲线的极坐标方程． 【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题． 【分析】（1）把直线l的极坐标方程化为直角坐标系方程即可； （2）设P（cosα，3sinα），利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离d，利用余弦函数的值域确定出最小值即可． 【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=2， 整理得：ρ（sinθcos﹣cosθsin）=ρsinθ﹣ρcosθ=2， 即ρsinθ﹣ρcosθ=4， 则直角坐标系中的方程为y﹣x=4，即x﹣y+4=0； （2）设P（cosα，3sinα）， ∴点P到直线l的距离d==≥=2﹣， 则P到直线l的距离的最小值为2﹣． 【点评】此题考查了简单曲线的极坐标方程，熟练掌握简单极坐标方程与普通方程的转化是解本题的关键． 20. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，圆的直径，是延长线上一点，，割线交圆于点,，过点作的垂线，交直线于点，交直线于点. （I）求证：; （II）求的值. 参考答案： 解法1：（I）连接，则， 即、、、四点共圆. ∴. …………………………3分 又、、、四点共圆，∴ ∴.                                   ………………………5分 ∵， ∴、、、四点共圆，                                ………………7分 ∴，又，    ………9分 .                           ………………………………………10分 解法2：（I）连接，则，又 ∴， ∵，∴. ………5分 （II）∵，， ∴∽，∴, 即,               …………7分 又∵，                     …………………9分 ∴.                            ………………………………………10分 21. 已知函数，b为实数. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）当，且恒成立时，求b的最大值. 参考答案： 解：（1）当时，，∴， 所以函数在点处的切线方程为， 即为. （2）恒成立，则恒成立， 又，令，所以， 所以在为单调递增函数. 又因为，，所以使得， 即，，，，所以. 又因为，所以， 所以，， 令，，， 所以，即，又， 所以， 因为，，所以的最大值为－1.   22. 如图，圆O的直径AB=10，弦DE⊥AB于点H， HB=2 ．    （1）求DE的长；    （2）延长ED到P，过P作圆O的切线，切点为C，若ＰＣ＝２，求ＰＤ的长. 参考答案： (1)、DE=8；（2）、PD=2