浙江省金华市荷叶塘中学高一数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设集合若,则实数a的值( )
(A) 1 (B) 0 (C) -1 (D)-1或0
参考答案:
C
略
2. 奇函数y=f(x)在(﹣∞,0)上为减函数,且f(2)=0,则不等式f(x)≥0的解集为( )
A.(﹣∞,﹣2]∪(0,2] B.(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞) C.(﹣∞,﹣2]∪[0,2] D.(﹣∞,﹣2]∪{0}∪[2,+∞)
参考答案:
D
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【分析】利用函数是奇函数,然后根据函数单调性的性质解不等式即可.
【解答】解:∵y=f(x)是奇函数,∴f(0)=0,
∵y=f(x)在(﹣∞,0)上单调递减,且f(2)=0,
∴y=f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(﹣2)=0,
则函数f(x)对应的图象如图:
则f(x)≥0的解为0<x≤2或x≤﹣2或x=0时,f(x)≥0,
故不等式的解集为(﹣∞,﹣2]∪{0}∪[2,+∞)
故选:D
3. 函数(且)图象一定过点( )
A. (0,1) B. (2,0) C. (1,0) D. (0,2)
参考答案:
D
【分析】
令,解得,即可得到函数恒过定点.
【详解】根据指数函数的性质,令,解得,即函数恒过定点(0,2).
故选:D.
【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质,其中解答中熟记指数函数的图象与性质是解答此类问题的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
4. 下列各组中两个函数是同一函数的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
略
5.
若存在的钝角,使得成立,则实数x的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
6. “x+y=3”是“x=1且y=2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也必要条件
参考答案:
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【解答】解:当x=0,y=3时,满足x+y=3,但x=1且y=2不成立,即充分性不成立,
若x=1且y=2,则x+y=3成立,即必要性成立,
即“x+y=3”是“x=1且y=2”的必要不充分条件,
故选:B
7. 若全集U={1,2,3,4,5,6},A={1,2},B={2,3,4},则A∩?UB( )
A.{1,2,5,6} B.{1} C.{2} D.{1,2,3,4}
参考答案:
B
【考点】交、并、补集的混合运算.
【分析】先求出CUB,由此利用交集定义能求出A∩?UB.
【解答】解:∵全集U={1,2,3,4,5,6},A={1,2},B={2,3,4},
∴CUB={1,5,6},∴A∩?UB={1}.
故选:B.
8. 下列函数中,不满足的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
项中,满足条件,但不符合题意
项中,,,,不满足条件,符合题意
项中,,满足条件,但不符合题意
项中,满足条件,但不符合题意
综上,故选
9. 设定义在区间(﹣b,b)上的函数是奇函数(a,b∈R,且a≠﹣2),则ab的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】对数函数图象与性质的综合应用;函数奇偶性的性质.
【专题】综合题.
【分析】根据定义在区间(﹣b,b)上的函数是奇函数,可确定a=2,及b的取值范围,从而可求ab的取值范围.
【解答】解:∵定义在区间(﹣b,b)上的函数是奇函数
∴f(﹣x)+f(x)=0
∴
∴
∴1﹣a2x2=1﹣4x2
∵a≠﹣2
∴a=2
∴
令,可得,∴
∵a=2,∴ab的取值范围是
故选A.
【点评】本题考查函数的性质,考查指数函数的单调性,解题的关键是确定a的值,及b的取值范围.
10. 根据有关资料,象棋状态空间复杂度的上限M约为3320,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080, 则下列各数中与 最接近的是( )(参考数据:lg3≈0.48)
A、1033 B、1053 C、1073 D、1093
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 一船以每小时的速度向东航行.船在处看到一个灯塔在北偏东行驶
小时后,船到达处,看到这个灯塔在北偏东这时船与灯塔的距离为 .
参考答案:
略
12. (5分)已知下列命题:
①函数y=2sin(x﹣)在(,)单调递增;
②当x>0且x≠1时,lgx+≥2;
③已知=(1,2),=(﹣2,﹣1),则在上的投影值为﹣;
④设f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),若f(x)>0的解集为(2,4)则f(x+1)<0的解集是(﹣∞,1)∪(3,+∞)
则其中所有正确的命题的序号是 .
参考答案:
③④
考点: 命题的真假判断与应用.
专题: 简易逻辑.
分析: 由复合函数的单调性判断①;利用基本不等式求最值判断②;由平面向量的数量积运算求出在上的投影值判断③;由补集思想结合已知求出f(x)<0的解集,再由函数的图象平移求得f(x+1)<0的解集判断④.
解答: 对于①,当x∈(,)时,x﹣∈,
∴函数y=2sin(x﹣)在(,)单调递减,.①错误;
对于②,当x>1时,lgx>0,lgx+≥2,
当0<x<1时,lgx<0,lgx+=﹣(﹣lgx+)≤﹣2.②错误;
对于③,已知=(1,2),=(﹣2,﹣1),则,
又||=,
∴在上的投影值为.③正确;
对于④,设f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),若f(x)>0的解集为(2,4)则f(x)<0的解集是(﹣∞,2)∪(4,+∞),
∴f(x+1)<0的解集是(﹣∞,1)∪(3,+∞).④正确.
∴正确的命题是③④.
故答案为:③④.
点评: 本题考查了命题的真假判断与应用,考查了三角函数的单调性,考查了向量在向量方向上的投影,是中档题.
13. 若,则的解析式为 .
参考答案:
若,设
故
故答案为:。
14. (4分)一个扇形的弧长与面积的数值都是5,这个扇形中心角的弧度数是 .
参考答案:
考点: 弧长公式.
专题: 三角函数的求值.
分析: 设这个扇形中心角的弧度数为α,半径为r.利用弧长公式、扇形的面积计算公式即可得出.
解答: 设这个扇形中心角的弧度数为α,半径为r.
∵一个扇形的弧长与面积的数值都是5,
∴5=αr,5=,
解得α=.
故答案为:.
点评: 本题考查了弧长公式、扇形的面积计算公式,属于基础题.
15. 若函数f(x)=2x+x﹣4的零点x0∈(a,b),且b﹣a=1,a,b∈N,则a+b= .
参考答案:
3
【考点】函数零点的判定定理.
【分析】利用函数的零点存在定理判断区间端点值的符号,从而确定函数零点的区间.得到a,b的值.
【解答】解:因为f(x)=2x+x﹣4,所以f(1)=2+1﹣4=﹣1<0,f(2)=4+2﹣4=2>0.
所以由函数零点存在性定理,可知函数f(x)零点必在区间(1,2)内,则a=1.b=2,
a+b=3.
故答案为:3.
16. (5分)已知f(x)是定义域在R上的奇函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2+2x,则f(﹣1)= .
参考答案:
﹣3
考点: 函数奇偶性的性质.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 由奇函数的性质得f(﹣1)=﹣f(1),利用已知的解析式即可求值.
解答: 解:因为f(x)是定义域在R上的奇函数,
所以f(﹣1)=﹣f(1),
又当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2+2x,
则f(1)=1+2=3,即f(﹣1)=﹣3,
故答案为:﹣3.
点评: 本题考查利用函数的奇偶性求函数值,以及转化思想,属于基础题.
17. 将函数的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)具有性质_____.(填入所有正确结论的序号)
①最大值为,图象关于直线对称;
②图象关于y轴对称;
③最小正周期为π;
④图象关于点对称.
参考答案:
②③④
【分析】
根据三角函数的图象变换,求得函数,再根据三角函数的图象与性质,逐项判定,即可求解,得到答案.
【详解】由题意,将函数的图象向左平移个单位长度,
得到的图象,再向上平移1个单位长度,得到函数的图象.
对于函数,由于当时,,不是最值,
故的图象不关于直线对称,故①错误;
由于函数为偶函数,故它的图象关于y轴对称,故②正确;
函数的最小正周期为,故③正确;
当时,,故函数的图象关于点对称,故④正确;
故答案为:②③④.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求的值;
(2)若,,求△ABC的面积.
参考答案:
(1)3.(2) .
【分析】
(1)可通过两角和的正弦公式将转化为,然后借助三角形内角和为以及三角函数诱导公式即可得出结果;
(2)首先由(1)即可计算出,然后借助余弦定理以及解三角形面积公式即可得出结果。
【详解】(1)因为,
所以,
即,
因为,所以,。
(2)因为,所以,即。
由余弦定理可得,
因为,所以,
解得,
因为,所以.
故的面积为。
【点睛】本题考查三角函数的相关性质,主要考查两角和的正弦公式以及解三角形相关公式的使用,两角和的正弦公式,考查化归与转化思想,考查运算能力,是中档题。
19. 在正项数列{an}中,已知a1=1,且满足an+1=2an -(n∈N*)
(Ⅰ)求a2,a3;
(Ⅱ)证明.an≥.
参考答案:
【考点】数列递推式.
【分析】(Ⅰ)利用递推公式能依次求出a2,a3.
(Ⅱ)利用数数归纳法证明:先验证当n=1时,,成立,再假设当n=k时,,由f(x)=2x﹣在(0,+∞)上是增函数,推导出,由此能证明an≥.
【解答】解:(Ⅰ)∵在正项数列{an}中,a1=1,且满足an+1=2an(n∈N*),
∴=,
=.
证明:(Ⅱ)①当n=1时,由已知,成立;
②假设当n=k时,不等式成立,即,
∵f(x)=2x﹣在(0,+∞)上是增函数,
∴≥
=()k+()k﹣
=()k+
=()k+,
∵k≥1,∴2×()k﹣3﹣3=0,
∴,
即当n=k+1时,不等式也成立.
根据①②知不等式对任何n∈N*都成立.
20. 如图,某公园摩天轮的半径为40m,圆心距地面的高度为50m,摩天轮做匀速转动,每3min转一圈,摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.
(1)已知在时刻t(min)时P距离地面的高度,(其中),求2017min时P距离地面的高度;
(2)当离地面以上时,可以看到公园的全貌,求转一圈中有多少时间可以看到公园的全貌?
参考答案:
解:(1)依题意,,则,
且,
故,
∴
∴
(2)由(1)知,
依题意,,
∴
∵,
∴转一圈中有钟时间可以看到公园全貌.
21. 分别求满足下列条件的直线方程.
(Ⅰ)过点(0,1),且平行于l1:4x+2y﹣1=0的直线;
(Ⅱ)与