浙江省金华市花桥中学2022-2023学年高三数学文期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为( )
A.16 B.12 C. 8 D. 4
参考答案:
C
略
2. 已知函数f(x)=,关于x的方程f(x+﹣2)=a的实根个数不可能为( )
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
参考答案:
A
【考点】根的存在性及根的个数判断;分段函数的应用.
【专题】计算题;作图题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用.
【分析】由基本不等式可得x+﹣2≥0或x+﹣2≤﹣4,再作出函数f(x)=的图象,从而由图象分类讨论,从而由此分析关于x的方程f(x+﹣2)=a的实根个数.
【解答】解:由基本不等式可得,
x+﹣2≥0或x+﹣2≤﹣4;
作函数f(x)=的图象如下,
①当a>2时,x+﹣2<﹣24或0<x+﹣2<1,
故方程f(x+﹣2)=a的实根个数为4;
②当a=2时,x+﹣2=﹣24或0<x+﹣2<1或x+﹣2=2,
故方程f(x+﹣2)=a的实根个数为6;
③当1<a<2时,﹣24<x+﹣2<﹣4或0<x+﹣2<1或1<x+﹣2<2或2<x+﹣2<3,
故方程f(x+﹣2)=a的实根个数为8;
④当a=1时,x+﹣2=﹣4或0<x+﹣2<1或1=x+﹣2或x+﹣2=3,
故方程f(x+﹣2)=a的实根个数为7;
⑤当0<a<1时,﹣4<x+﹣2<0或3<x+﹣2<4,
故方程f(x+﹣2)=a的实根个数为6;
⑥当a=0时,x+﹣2=0或3<x+﹣2<4,
故方程f(x+﹣2)=a的实根个数为3;
⑦当a<0时,x+﹣2>3,
故方程f(x+﹣2)=a的实根个数为2.
故选A.
【点评】本题考查了函数的图象的作法及基本不等式的应用,同时考查了数形结合的思想应用,属于中档题.
3. 设全集U=R,,则如图中阴影部分表示的集合为
参考答案:
B
略
4. 对于任意实数,下列五个命题中:
① 若,则;② 若,则;③ 若,则;
④若则; ⑤若,则.
其中真命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
A
略
5. 在△ABC中,AB=3,AC=5,若O为△ABC的外心,则( )
A.34 B.16 C.8 D.0
参考答案:
C
6. 设,满足约束条件,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【分析】
先根据约束条件画出可行域,设z=x-y,再利用z的几何意义求最值,从而得到z的取值范围.
【详解】作出约束条件表示的可行域,如图所示,
当直线过点时,取得最大值3,故.
故选B.
【点睛】本题主要考查了线性规划问题,这类问题一般要分三步:画出可行域、求出关键点、定出最优解,属中档题.
7. 若复数(是虚数单位)为纯虚数,则( ).
A.2 B.-2 C.1 D.-1
参考答案:
B
略
8. 设变量满足约束条件:的最大值为( )
A.10 B.8 C.6 D.4
参考答案:
C
略
9. “直线l垂直于平面”的一个必要不充分条件是
A.直线l与平面内的任意一条直线垂直
B.过直线l的任意一个平面与平面垂直
C.存在平行于直线l的直线与平面垂直
D.经过直线l的某一个平面与平面垂直
参考答案:
D
10. 设向量,,定义一运算:
,已知,。点Q在的图像上运动,且满足 (其中O为坐标原点),则的最大值及最小正周期分别是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数f(x)=ax﹣xlna(0<a<1),若对于任意x∈[﹣1,1],不等式f(x)≤e﹣1恒成立,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
[,1)
【考点】函数恒成立问题.
【专题】转化思想;配方法;构造法;函数的性质及应用;导数的综合应用.
【分析】求函数的导数,判断函数的单调性,求出函数f(x)在[﹣1,1]上的最大值即可,利用构造法进行求解.
【解答】解:函数的导数f′(x)=axlna﹣lna=lna?(ax﹣1),
∵0<a<1,∴lna<0,
由f′(x)>0得lna?(ax﹣1)>0,即ax﹣1<0,则x>0,此时函数单调递增,
由f′(x)<0得lna?(ax﹣1)<0,即ax﹣1>0,则x<0,此时函数单调递减,
即当x=0时,函数取得最小值,f(0)=1,
当x=1,则f(1)=a﹣lna
当x=﹣1,则f(﹣1)=a﹣1+lna,
则f(1)﹣f(﹣1)=a﹣﹣2lna,
设g(a)=a﹣﹣2lna,
则g′(a)=1+﹣=(﹣1)2>0,
则g(a)在(0,1)上为增函数,
则g(a)<g(1)=1﹣1﹣2ln1=0,
即g(a)<0,
则f(1)﹣f(﹣1)<0,
即f(1)<f(﹣1),
即函数f(x)在x∈[﹣1,1]上的最大值为f(﹣1)=a﹣1+lna,
若对于任意x∈[﹣1,1],不等式f(x)≤e﹣1恒成立,
则f(﹣1)=a﹣1+lna≤e﹣1,
即+lna≤e﹣1,
设h(a)=+lna,
则h′(a)=﹣+=﹣()2+,
∵0<a<1,∴>1,
∴当h′(a)<h′(1)=0,
即h(a)=+lna在0<a<1上为减函数,
由+lna=e﹣1得a=.
则+lna≤e﹣1等价为h(a)≤h(),
即≤a<1,
故答案为:[,1).
【点评】本题主要考查函数恒成立问题,求函数的导数,判断函数的单调性求出函数的最值是解决本题的关键.本题的难点在于多次构造函数,多次进行进行求导,考查学生的转化和构造能力和意识.
12. 十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开,会议期间工作人员将其中的5个代表团人员(含A、B两市代表团)安排至a,b,c三家宾馆入住,规定同一个代表团人员住同一家宾馆,且每家宾馆至少有一个代表团入住,若A、B两市代表团必须安排在a宾馆入住,则不同的安排种数为( )
A. 6 B. 12 C. 16 D. 18
参考答案:
B
【分析】
按入住宾馆的代表团的个数分类讨论.
【详解】如果仅有、入住宾馆,则余下三个代表团必有2个入住同一个宾馆,此时共有安排种数,
如果有、及其余一个代表团入住宾馆,则余下两个代表团分别入住,此时共有安排种数,
综上,共有不同的安排种数为,故选B.
【点睛】本题考查排列、组合计数,注意要先分组再分配,否则容易出现重复计数的错误.
13. 焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程是________
参考答案:
略
14. 已知sin(α﹣45°)=﹣,且0°<α<90°,则cos2α的值为 .
参考答案:
【考点】二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数.
【专题】计算题;三角函数的求值.
【分析】由0°<α<90°,则﹣45°<α﹣45°<45°,求得cos(α﹣45°),再由α=(α﹣45°)+45°,求出余弦,再由二倍角的余弦公式,代入数据,即可得到.
【解答】解:由于sin(α﹣45°)=﹣,且0°<α<90°,
则﹣45°<α﹣45°<45°,
则有cos(α﹣45°)==,
则有cosα=cos(α﹣45°+45°)=cos(α﹣45°)cos45°﹣sin(α﹣45°)sin45°
==,
则cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=,
故答案为:.
【点评】本题考查三角函数的求值,考查两角和的余弦公式和二倍角的余弦公式,考查角的变换的方法,考查运算能力,属于中档题.
15. 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是___________.
参考答案:
16. .t>0,关于x的方程|x|+=的解为集合A,则A中元素个数可能为 (写出所有可能).
参考答案:
0,2,3,4
【考点】根的存在性及根的个数判断.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】化方程为,得到两个函数所对应的图象,画出图象,数形结合得答案.
【解答】解:由|x|+=,得
,
由y=,得x2+y2=t(y≥0),
又,
作出图象如图:
由图可知,当0<t<1或t时,A中元素个数为0;
当t=1时,A中元素个数为2;
当t=时,A中元素个数为3;
当1<t<时,A中元素个数为4.
故答案为:0,2,3,4.
【点评】本题考查了根的存在性及根的个数判断,考查了数形结合与分类讨论的数学思想方法,是中档题.
17. 下面是一个算法的程序框图,当输入的值为8时,则其输出的结果是 。
参考答案:
答案:2
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.
(1)求证:PA⊥BD;
(2)求证:平面BDE⊥平面PAC;
(3)当PA∥平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积.
参考答案:
(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)
试题分析:(Ⅰ)要证明线线垂直,一般转化为证明线面垂直;(Ⅱ)要证明面面垂直,一般转化为证明线面垂直、线线垂直;(Ⅲ)由即可求解.
试题解析:(I)因为,,所以平面,
又因为平面,所以.
(II)因为,为中点,所以,
由(I)知,,所以平面.
所以平面平面.
(III)因为PA∥平面BDE,平面平面,
所以PA∥DE.
因为为中点,所以,.
由(I)知,平面,所以平面.
所以三棱锥的体积.
19. 某中学高三实验班的一次数学测试成绩的茎叶图(图3)和频率分布直方图(图4)都受到不同程度的破坏,可见部分如下图所示,据此解答如下问题。
(1)求全班人数及分数在之间的频数;
(2)计算频率分布直方图中的矩形的高;
(3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生的答题情况,在抽取的试卷中,求至少有一份分数在[90,100]之间的概率。
参考答案:
18解:(1)由茎叶图可知,分数在之间的频数为2,频率为,所以全班人数为(人) (2分)
故分数在之间的频数为. (3分)
(2) 分数在之间的频数为4, 频率为 (5分)
所以频率分布直方图中的矩形的高为 (7分)
(3)用表示之间的4个分数,用表示之间的2个分数,则满足条件的所有基本事件为:,,,,共15个, (10分)
其中满足条件的基本事件有:
,,共9个 (12分)
所以至少有一份分数在[90,100]之间的概率为. (14分)
略
20. 已知:平行四边