湖北省孝感市孝南区陡岗中学2023年高二数学文模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知动点M的坐标满足,则动点M的轨迹方程是
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.以上都不对
参考答案:
A
略
2. 若是两个非零向量,且,则与的夹角为( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
参考答案:
A
【分析】
画出图像:根据计算夹角为,再通过夹角公式计算与的夹角.
【详解】
形成一个等边三角形,如图形成一个菱形.
与的夹角为30°
故答案选A
【点睛】本题考查了向量的加减和夹角,通过图形可以简化运算.
3. 设含有个元素的集合的全部子集数为,其中由个元素组成的子集数为,则的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B 解析:含有个元素的集合的全部子集数为,由个元素组成的子集数为,
4. 某校为了提倡素质教育,丰富学生们的课外活动分别成立绘画,象棋和篮球兴趣小组,现有甲,乙,丙、丁四名同学报名参加,每人仅参加一个兴趣小组,每个兴趣小组至少有一人报名,则不同的报名方法有( )
A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 72种
参考答案:
C
试题分析:由题意可知,从4人中任选2人作为一个整体,共有种,再把这个整体与其他3人进行全排列,对应3个活动小组,有种情况,所以共有种不同的报名方法,故选C.
考点:排列、组合中的分组、分配问题.
5. 在区间内不是增函数的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
6. 200辆汽车经过某一雷达地区,时速频率分布直方图如图所示,则时速超过60km/h的汽车数量为 ( )
A.65辆 B.76辆 C.88辆 D.95辆
参考答案:
B
7. 如图是2007年在广州举行的全国少数民族运动会上,七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为( )
A.84,4.84 B.84,1.6 C.85,1.6 D.85,4
参考答案:
C
【考点】茎叶图;极差、方差与标准差.
【专题】压轴题;图表型.
【分析】根据所给的茎叶图,看出七个数据,根据分数处理方法,去掉一个最高分93和一个最低分79后,把剩下的五个数字求出平均数和方差.
【解答】解:由茎叶图知,去掉一个最高分93和一个最低分79后,
所剩数据84,84,86,84,87的平均数为 ;
方差为 .
故选C.
【点评】茎叶图、平均数和方差属于统计部分的基础知识,也是高考的新增内容,考生应引起足够的重视,确保稳拿这部分的分数.
8. 曲线在点处的切线斜率为
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
9. 阅读如图所示的程序框图,则输出的数据为( )
A. 21 B. 58 C. 141 D. 318
参考答案:
C
经过第一次循环得到的结果为,;
经过第二次循环得到的结果为,;
经过第三次循环得到的结果为,;
经过第四次循环得到的结果为,;
经过第五次循环得到的结果为,,此时输出结果.
故选C.
10. 在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0,若直线y=kx+2上至少存在一点,使得以该点为圆心,半径为1的圆与圆C有公共点,则k的最小值是( )
A. B. C.D.
参考答案:
A
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】化圆C的方程为(x﹣4)2+y2=1,求出圆心与半径,由题意,只需(x﹣4)2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可.
【解答】解:∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0,整理得:(x﹣4)2+y2=1,即圆C是以(4,0)为圆心,1为半径的圆;
又直线y=kx+2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,
∴只需圆C′:(x﹣4)2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可.
设圆心C(4,0)到直线y=kx+2的距离为d,
则d=≤2,即3k2≤﹣4k,
∴﹣≤k≤0.
∴k的最小值是.
故选A.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若为的各位数字之和,如,,则.记,,,……,,,则 .
参考答案:
11
分析:根据所给出的定义逐个求出,归纳得到一般性的规律后可得所求.
详解:由题意得
,故;
,故;
,故;
,故;
,故;
,故;
……
∴当时,.
∴ .
12. 在底面是正方形的长方体中,,则异面直线与所成角的余弦值为 .
参考答案:
13. 设(x,y)在映射f下的象是(,则(-4,2)在映射f下的原象是
参考答案:
(-1,-3)
14. 已知点P,点Q (4,1,0),若,且则 ▲ .
参考答案:
略
15. 函数的定义域是__________.
参考答案:
【分析】
根据解析式,列出不等式组,求解,即可得出结果.
【详解】因为,
求其定义域只需,即,
所以.
故答案为
【点睛】本题主要考查求具体函数解析式,只需使解析式有意义即可,属于常考题型.
16. 已知的最大值是 .
参考答案:
2-4 w.w.w
17. 已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的最小正周期为π,则该函数图象( )
A. 关于直线x=对称 B. 关于点(,0)对称
C. 关于点(,0)对称 D. 关于直线x=对称
参考答案:
B
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 等比数列的前n项和,已知对任意的,点均在函数的图像上.
(1)求r的值.
(2)当b=2时,记,求数列的前n项和.
参考答案:
略
19. 已知抛物线y2=4x,直线l过定点P(2,1),斜率为k,当k为何值时,直线l与抛物线:只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点.
参考答案:
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】设出直线方程代入抛物线方程整理可得k2x2+(﹣4k2+2k﹣4)x+4k2﹣4k+1=0(*)
(1)直线与抛物线只有一个公共点?(*)只有一个根
(2)直线与抛物线有2个公共点?(*)有两个根
(3)直线与抛物线没有一个公共点?(*)没有根
【解答】解:由题意可设直线方程为:y=k(x﹣2)+1,
代入抛物线方程整理可得k2x2+(﹣4k2+2k﹣4)x+4k2﹣4k+1=0(*)
(1)直线与抛物线只有一个公共点等价于(*)只有一个根
①k=0时,y=1符合题意;
②k≠0时,△=(﹣4k2+2k﹣4)2﹣4k2(4k2﹣4k+1)=0,整理,得2k2﹣k+1=0,无解,
综上可得,k=0;
(2)由(1)得2k2﹣k+1>0且k≠0,∴k≠0;
(3)由(1)得2k2﹣k+1<0,无解.
20. (本小题满分12分)
在等差数列和正项等比数列 中, , 的前8项和
(I)求 和 ;
(II)令 ,求
参考答案:
21. (本小题满分12分)若命题:“,关于的不等式都成立”为真命题,求的取值范围。
参考答案:
解:
当 ………2分
当不等式成立; ………4分
当时,不等式为,对不等式不恒成立; ………6分
当时,有 解得 ks5u…10分
综上所述,的取值范围为 ………12分
22. 已知函数y=x3-3x2.
(1)求函数的极小值;
(2)求函数的递增区间.
参考答案:
解:(1) ∵ y=x3-3x2, ∴ =3x2-6x,…………………………(3分)
当时,;当时,. …………………………………(6分)
∴ 当x=2时,函数有极小值-4. …………………………………………………(8分)
(2)由=3x2-6x >0,解得x<0或x>2, …………………………………………(11分)
∴ 递增区间是,. ………………………………………………(12分)
略