浙江省金华市磐安县第二中学高二数学文下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若双曲线﹣=1的焦点为F1(﹣5,0),F2(5,0),则双曲线的渐近线方程为( )
A.3x±4y=0 B.4x±3y=0 C.4x±5y=0 D.5x±4y=0
参考答案:
B
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】依题意,9+b2=25,b>0,从而可求得b,于是可求该双曲线的渐近线方程.
【解答】解:∵双曲线﹣=1(b>0)的焦点为F1(﹣5,0),F2(5,0),
∴9+b2=25,又b>0,
∴b=4,
∴该双曲线的渐近线方程为y=±x,整理得:4x±3y=0.
故选:B.
2. 一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.π cm3 B.3π cm3 C.π cm3 D. π cm3
参考答案:
考点:由三视图求面积、体积.
分析:由三视图可知,此几何体为底面半径为1 cm、高为3 cm的圆柱上部去掉一个半径为1 cm的半球,据此可计算出体积.
解答:解:由三视图可知,此几何体为底面半径为1 cm、高为3 cm的圆柱上部去掉一个半径为1 cm的半球,
所以其体积为V=πr2h﹣πr3=3π﹣π=π(cm3).
故选D
点评:由三视图正确恢复原几何体是解题的关键.
3. 在的对边分别为,若成等差数列,则
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
4. 命题“若m>0,则关于x的方程x2+x-m=0有实数根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.4
参考答案:
C
略
5. 已知函数在时取得极大值,则a的取值范围是( )
A. B. (-∞,0) C. D. [0,+∞)
参考答案:
A
【分析】
先对进行求导,然后分别讨论和时的极值点情况,随后得到答案.
【详解】由得
,当时,,由,得,由,得.所以在取得极小值,不符合;当时,令,得或,为使在时取得极大值,则有,所以,所以选A.
【点睛】本题主要考查函数极值点中含参问题,意在考查学生的分析能力和计算能力,对学生的分类讨论思想要求较高,难度较大.
6. 由命题“周长为定值的长方形中,正方形的面积取得最大”可猜想:在表面积为定值的长方体中( )
A. 正方体的体积取得最大
B. 正方体的体积取得最小
C. 正方体的各棱长之和取得最大
D. 正方体的各棱长之和取得最小
参考答案:
A
【分析】
根据类比规律进行判定选择
【详解】根据平面几何与立体几何对应类比关系:周长类比表面积,长方形类比长方体,正方形类比正方体,面积类比体积,因此命题“周长为定值的长方形中,正方形的面积取得最大”,类比猜想得:在表面积为定值的长方体中,正方体的体积取得最大,故选A.
【点睛】本题考查平面几何与立体几何对应类比,考查基本分析判断能力,属基础题.
7. 如图,由曲线,直线x=0,x=2和x轴围成的封闭图形的面积为( )
(A) (B) 1(C) 2(D) 3
参考答案:
C
略
8. 设a=dx,b=dx,c=dx,则下列关系式成立的是( )
A.<< B.<< C.<< D.<<
参考答案:
C
【考点】定积分;不等关系与不等式.
【分析】利用微积分基本定理就看得出a=ln2,b=ln3,c=ln5.再利用幂函数的单调性即可得出答案.
【解答】解:∵,∴=ln2, =ln3,c==ln5.
∵,,,∴,∴,∴,∴;
∵,,,∴,∴,∴.
∴.
故选C.
9. 下列命题正确的是()
A. 命题“ ”为假命题,则命题p与命题q 都是假命题;
B. 命题“若 ,则”的逆否命题为真命题;
C. 若使得函数f(x)的导函数 ,则为函数f(x)的极值点;
D. 命题“ ,使得”的否定是:“,均有”.
参考答案:
B
【分析】
根据复合命题的真假判断A,根据四种命题的关系判断B,根据极值的定义判断C,根据命题的否定判断D.
【详解】解:对于A:命题“p∧q”为假命题,则命题p与命题q至少有一个假命题,故A错误;
对于B:由,可得,即原命题为真命题,又原命题与逆否命题同真同假,故B正确;
对于C:若x0 使得函数f(x)的导函数f’(x0)=0,如果两侧的导函数的符号相反,则x0为函数f(x)的极值点;否则,不是函数的极值点,所以C不正确;
对于D:命题“存在x0∈R,使得”的否定是:
“对任意x∈R,均有x2+x+1≥0”.故D错误,
故选:B.
【点睛】本题考查命题的真假判断与应用,着重考查原命题与其逆否命题之间的关系应用,考查命题及其否定,极值定义,属于中档题.
10. 如图,在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,P为A1D1的中点,Q为A1B1上任意一点,E,F为CD上任意两点,且EF的长为定值b,则下面的四个值中不为定值的是( )
A.点P到平面QEF的距离 B.三棱锥P﹣QEF的体积
C.直线PQ与平面PEF所成的角 D.二面角P﹣EF﹣Q的大小
参考答案:
C
【考点】点、线、面间的距离计算;直线与平面所成的角;二面角的平面角及求法.
【分析】根据线面平行的性质可以判断A答案的对错;根据等底同高的三角形面积相等及A的结论结合棱锥的体积公式,可判断B的对错;根据线面角的定义,可以判断C的对错;根据二面角的定义可以判断D的对错,进而得到答案.
【解答】解:A中,∵QEF平面也就是平面A1B1CD,既然P和平面QEF都是固定的,∴P到平面QEF的距离是定值.∴点P到平面QEF的距离为定值;
B中,∵△QEF的面积是定值.(∵EF定长,Q到EF的距离就是Q到CD的距离也为定长,即底和高都是定值),
再根据A的结论P到QEF平面的距离也是定值,∴三棱锥的高也是定值,于是体积固定.∴三棱锥P﹣QEF的体积是定值;
C中,∵Q是动点,EF也是动点,推不出定值的结论,∴就不是定值.∴直线PQ与平面PEF所成的角不是定值;
D中,∵A1B1∥CD,Q为A1B1上任意一点,E、F为CD上任意两点,∴二面角P﹣EF﹣Q的大小为定值.
故选:C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 双曲线4x2﹣y2+64=0上一点P到它的一个焦点的距离等于1,则点P到另一个焦点的距离等于 .
参考答案:
17
【考点】双曲线的定义.
【分析】首先将双曲线方程化成标准方程,从而得出参数a、b的值,然后根据双曲线的定义得出|PF1﹣PF2|=2a,根据题中的已知数据,可以求出点P到另一个焦点的距离.
【解答】解:将双曲线4x2﹣y2+64=0化成标准形式:
∴a2=64,b2=16
P到它的一个焦点的距离等于1,设PF1=1
∵|PF1﹣PF2|=2a=16
∴PF2=PF1±16=17(舍负)
故答案为:17
12. 执行如图的伪代码,输出的结果是 .
参考答案:
9
【考点】EA:伪代码.
【分析】分析程序的功能,计算S的值,根据循环条件得出程序运行后输出的I值.
【解答】解:模拟程序的运行过程,如下;
S=1,I=3,S≤300;
S=1×3=3,I=3+2=5,S≤300;
S=3×5=15,I=5+2=7,S≤300;
S=15×7=105,I=7+2=9,S≤300;
S=105×9=945>300,终止循环;
所以程序运行后输出I=9.
故答案为:9.
13. 若“,”是真命题,则实数的最大值为 .
参考答案:
4
14. 圆与圆的位置关系是_____________.
参考答案:
相交
略
15. 用秦九韶算法计算多项式f(x)=x5+2x3+3x2+x+1当x=2时的值为____________.
参考答案:
略
16. 曲线在点(0,1)处的切线方程为 。
参考答案:
,斜率k==3,所以,y-1=3x,即
17. (原创)如图所示的“赵爽弦图”中,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为2的大正方形,若直角三角形中较小的锐角,现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖,飞镖落在小正方形内的概率是______________。
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=,AB=1,AD=m,E为BC中点,且∠AEA1恰为二面角A1﹣ED﹣A的平面角.
(1)求证:平面A1DE⊥平面A1AE;
(2)求异面直线A1E、CD所成的角;
(3)设△A1DE的重心为G,问是否存在实数λ,使得=λ,且
MG⊥平面A1ED同时成立?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.
参考答案:
【考点】直线与平面垂直的判定;异面直线及其所成的角.
【专题】计算题;空间位置关系与距离.
【分析】(1)根据二面角的平面角的定义,可得二面角的棱垂直于平面角所在的平面,得线面垂直,再由线面垂直?面面垂直.
(2)建立空间直角坐标系,给出相关点与向量的坐标,根据AE⊥DE,求出m的值,再求向量夹角的余弦值.
(3)根据=λ,写出M的坐标,求出的坐标,根据条件MG⊥DE,MG⊥EA1确定是否存在λ.
【解答】解:(1)证明:∵∠AEA1为二面角A1﹣ED﹣A的平面角
∴A1E⊥ED,AE⊥ED,A1E∩AE=E,∴ED⊥平面A1AE,DE?平面A1DE,
∴平面A1DE⊥平面A1AE.
(2)如图建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),A1(0,0,),B(1,0,0),D(0,m,0),E(1,,0).
=(1,,﹣),ED=(),AE=(),
∵AE⊥ED,,即﹣1+=0?m=2,则C(1,2,0),=(﹣1,0,0)
,cos===,
∴异面直线A1E、CD所成的角为60°.
(3)依题意得:G(),=λ,∴M(0,2λ,0).
=(,1﹣2λ,),
假设存在λ满足题设条件,则,且,
即,
解得λ=,
故存在实数λ=,使得=λ,且MG⊥平面A1ED同时成立.
【点评】本题考查了利用向量坐标运算求异面直线所成的角,考查用向量法解决立体几何中的存在性问题,考查了学生的运算能力及逻辑推理能力,本题对向量的工具作用体现较好.
19. (本小题满分12分) 在锐角中,、、分别为角、、所对的边,且
(1)确定角的大小;
(2)若=,且的面积为,求的值.
参考答案:
(1)锐角三角形中,由正弦定理得,因为A锐角
又C锐角 ---------------6分
(2)三角形ABC中,由余弦定理得
即 --------8分
又由的面积得 .
即 ---------10分
由于为正, 所以---------12分
20. 在如图所示的几何体中,四边形为矩形,直线,
点P在棱DF上。
(1) 若P是棱DF的中点,
①求证:BF∥平面ACP;
②求异面直线BE与CP所成角的余弦值;
(2)若二面角的余弦值为,求的长度.
参考答案:
略
21. 已知等差数列, Ks5u
(1)求的通项公式;
(2)令,求数列的前项和;
参考答案:
(I)由