湖北省宜昌市枝江第四高级中学高二数学文模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数有( )
A.极大值,极小值 B.极大值,极小值
C.极大值,无极小值 D.极小值,无极大值
参考答案:
C
2. 直线y=kx+3与圆(x-2)2+(y-3)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2 ,则k的取值范围是( )
参考答案:
B
略
3. 与圆及圆都外切的动圆的圆心在( )
A、一个圆上 B、一个椭圆上 C、 双曲线的一支上 D、 一条抛物线上
参考答案:
C
4. (原创)设a<0,b<0,则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
5. 命题“x∈Z,使x2+2x+m≤0”的否定是( )
A.x∈Z,使x2+2x+m>0 B.不存在x∈Z,使x2+2x+m>0
C.x∈Z,使x2+2x+m≤0 D.x∈Z,使x2+2x+m>0
参考答案:
D
略
6. 已知椭圆C:的右焦点为F,直线L:x=2,点A∈l,线段AF交C于点B,若=3,则||= ( ).
A. B.2 C. D.3
参考答案:
B
略
7. 下列求导运算正确的是
A. B.
C. D.
参考答案:
B
8. 执行图所示的程序框图,若输入的值为,则输出的的值为
A.2 B.-2 C. D.
参考答案:
B
9. 数列{an}的通项公式是an=,其前n项和Sn=,则项数n=
A.13 B.10 C.9 D.6
参考答案:
D
略
10. 在四面体ABCD中,已知棱AC的长为,其余各棱长都为1,则二面角A﹣BD﹣C的余弦值为( )
A.﹣ B.﹣ C.﹣ D.﹣
参考答案:
B
【考点】二面角的平面角及求法.
【专题】空间角.
【分析】先找二面角A﹣BD﹣C的平面角,根据已知条件,取BD中点E,连接AE,CE,则∠AEC是二面角A﹣BD﹣C的平面角,并且根据已知边的长度得,所以由余弦定理即可求cos∠AEC.
【解答】解:如图,取BD中点E,连接AE,CE,则由已知条件知:AE⊥BD,CE⊥BD;
∴∠AEC是二面角A﹣BD﹣C的平面角,并且AE=CE=,AC=;
∴在△ACE中由余弦定理得:cos∠AEC=.
故选B.
【点评】考查二面角及二面角的平面角的定义,以及找二面角平面角的方法,余弦定理.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设不等式组所表示的平面区域是一个三角形,则此平面区域面积的最大值 .
参考答案:
4;
略
12. 若三角形的内切圆半径为r,三边的长分别为a,b,c,则三角形的面积S=r(a+b+c),根据类比思想,若四面体的内切球半径为R,四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4,则此四面体的体积V=________.
参考答案:
V=R(S1+S2+S3+S4)
略
13. 把二进制数转化为十进制数为
参考答案:
3
14. 设常数.若的二项展开式中项的系数为,则 .
参考答案:
15. 已知椭圆的离心率,分别是椭圆的左、右顶点,点P是椭圆上的一点,直线PA、PB的倾斜角分别为α、β满足tanα+tanβ=1,则直线PA的斜率为 .
参考答案:
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】由椭圆的离心率e====,求得a=2b,椭圆方程为:,整理得: =﹣,则tanα=,tanβ=,tanα?tanβ=?==﹣,由tanα+tanβ=1,tanα,tanβ是方程x2﹣x﹣=0的两个根,x=,则tanα=,即可求得直线PA的斜率.
【解答】解:由题意可知:A(﹣a,0),B(a,0),P(x,y),
椭圆的离心率e====,
整理得:a=2b,
∴椭圆方程为:,
∴y2=,则=﹣,
直线PA、PB的倾斜角分别为α、β,
∴kPA=tanα=,kPB=tanβ=,
∴tanα?tanβ=?==﹣,
直线PA、PB的倾斜角分别为α、β满足tanα+tanβ=1,
∴tanα,tanβ是方程x2﹣x﹣=0的两个根,
解得:x=,
∴直线PA的斜率kPA=tanα=,
故答案为:.
16. 若圆C的半径为1,其圆心与点(0,1)关于直线对称,则圆C的标准方程为__________.
参考答案:
解:关于的对称点为,则圆心为半径为,
故标准方程为.
17. 命题“,”的否定是 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知集合A为使函数的定义域为R的a的取值范围,
集合(a为常数,).
若是的必要条件,试求实数a的取值范围.
参考答案:
因为函数的定义域为R,所以
解得, …………3分
由,得,
∴,
即 ……………………6分
∵是的必要条件,.
∴, 解得.
即所求实数a的取值范围是.………………………………10分
19. 如图所示,在四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,侧面SDC⊥底面ABCD,且AB=2,SC=SD=.
(1)求证:平面SAD⊥平面SBC;
(2)若BC=2,求点A到平面SBD的距离h的值.
参考答案:
【考点】点、线、面间的距离计算;平面与平面垂直的判定.
【分析】(1)证明:AD⊥SC,SA⊥SC,可得SC⊥平面SAD,即可证明平面SAD⊥平面SBC;
(2)利用等体积方法求点A到平面SBD的距离h的值.
【解答】(1)证明:侧面SDC⊥底面ABCD,有AD⊥SC,AD⊥SD
故△ADS为Rt△,有SD2+AD2=SA2
且AD=BC,SD=,故2+BC2=SA2
即BC2=SA2﹣2
连接AC,易得AC2=BC2+AB2=BC2+4
即BC2=AC2﹣4
那么SA2﹣2=AC2﹣4,整理后有AC2=SA2+2
又SC=,故AC2=SA2+SC2
所以△ASC为Rt△,有SA⊥SC
所以SC⊥平面SAD,那么平面SBC⊥平面SAD;
(2)解:由题意,BC⊥SC,SB=,DB=2,
∴DB2=SD2+SB2,∴SB⊥SD,
∴S△SBD==.
由等体积可得,∴h=,
即点A到平面SBD的距离h的值为.
20. 如图,梯形ABCD的底边AB在y轴上,原点O为AB的中点,
M为CD的中点.
(1)求点M的轨迹方程;
(2)过M作AB的垂线,垂足为N,若存在正常数,使,且P点到A、B 的距离和为定值,求点P的轨迹E的方程;
(3)过的直线与轨迹E交于P、Q两点,求面积的最大值.
参考答案:
解:(Ⅰ)设点M的坐标为M(x, y)(x≠0),则
又由AC⊥BD有,即,
∴x2+y2=1(x≠0).
(Ⅱ)设P(x, y),则,代入M的轨迹方程有
即,∴P的轨迹为椭圆(除去长轴的两个端点).
要P到A、B的距离之和为定值,则以A、B为焦点,故.
∴ 从而所求P的轨迹方程为9x2+y2=1(x≠0)
(Ⅲ)易知l的斜率存在,设方程为 联立9x2+y2=1,有
设P(x1, y1), Q(x2, y2),则
令,则且
,
所以当,即也即时,面积取最大值,最大值为.
略
21. 如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=,BC=1,PA=2,E为PD的中点.
(Ⅰ)求直线AC与PB所成角的余弦值;
(Ⅱ)在侧面PAB内找一点N,使NE⊥面PAC,
并求出N点到AB和AP的距离。
参考答案:
解:方法一、(1)设AC∩BD=O,连OE,则OE//PB,
∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角.
在△AOE中,AO=1,OE=
∴
即AC与PB所成角的余弦值为.
(2)在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F,则.
连PF,则在Rt△ADF中
设N为PF的中点,连NE,则NE//DF,
∵DF⊥AC,DF⊥PA,∴DF⊥面PAC,从而NE⊥面PAC.
∴N点到AB的距离,N点到AP的距离
方法二、(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系,
则A、B、C、D、P、E的坐标为A(0,0,0)、
B(,0,0)、C(,1,0)、D(0,1,0)、
P(0,0,2)、E(0,,1),
从而
设的夹角为θ,则
∴AC与PB所成角的余弦值为.
(Ⅱ)由于N点在侧面PAB内,故可设N点坐标为(x,O,z),则,由NE⊥面PAC可得,
∴
即N点的坐标为,从而N点到AB、AP的距离分别为1,
略
22. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生,将其成绩(均为整数)分成六段[40,50),[50,60)…[90,100]后画出如下部分频率分布直方图. 观察图形的信息,回答下列问题:
(1)求第四小组的频率;
(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分;
(3)为了了解学生学习情况决定在第1、2、6组中用分层抽样抽取6位学生进行谈话,求第2组应该抽取多少位学生.
参考答案:
(1)0.3 (2)0.75 71 (3) 3