湖北省武汉市任家路中学2023年高一数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. (5分)若集合M={a,b,c}中的元素是△ABC的三边长,则△ABC一定不是()
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
参考答案:
D
考点: 集合的确定性、互异性、无序性.
分析: 根据集合元素的互异性,在集合M={a,b,c}中,必有a、b、c互不相等,则△ABC不会是等腰三角形.
解答: 根据集合元素的互异性,
在集合M={a,b,c}中,必有a、b、c互不相等,
故△ABC一定不是等腰三角形;
选D.
点评: 本题较简单,注意到集合的元素特征即可.
2. 函数的图象如图所示,为了得到f(x)的图象,则只要将的图象( )
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
参考答案:
D
【分析】
先根据图象确定A的值,进而根据三角函数结果的点求出求与的值,确定函数的解析式,然后根据诱导公式将函数化为余弦函数,再平移即可得到结果.
【详解】由题意,函数的部分图象,
可得,即,所以,
再根据五点法作图,可得,求得,
故.
函数的图象向左平移个单位,可得
的图象,
则只要将的图象向右平移个单位长度可得的图象,
故选:D.
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质,以及三角函数的图象变换的应用,其中解答中熟记三角函数的图象与性质,以及三角函数的图象变换是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
3. 设向量,,则的夹角等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【分析】
利用平面向量的夹角公式求解即可.
【详解】由题得.
所以.
所以的夹角等于.
故选:
【点睛】本题主要考查平面向量的夹角公式的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.
4. (5分)△ABC中,=,DE∥BC,且与边AC相交于点E,△ABC的中线AM与DE相交于点N,设=,=,用,表达=()
A. () B. () C. () D. ()
参考答案:
D
考点: 向量加减混合运算及其几何意义.
专题: 平面向量及应用.
分析: 由平行线等分线段定理及中线的定义知,==,由此能求出结果.
解答: 如图,△ABC中,
∵==,DE∥BC,且与边AC相交于点E,
△ABC的中线AM与DE相交于点N,
∴=,==,
∵=,=,
∴=,
∴=().
故选:D.
点评: 本题考查平面向量的加法法则的应用,是基础题,解题时要注意平行线等分线段定理的灵活运用.
5. 已知两点A,B的坐标分别为(4,0)、(0,3),现将线段AB平移到CD,若点C的坐标为(6,3),则点D的坐标为( )
A.(2,5) B.(2,6) C.(6, 2) D.(3,6)
参考答案:
B
6. 已知是两条不同的直线,是两个不同的平面,且, ,那么下面命题中不正确的是( )
A.若,则; B.若,则;
C.若相交,则相交; D.若相交,则相交;
参考答案:
C
略
7. 在△ABC中,若a = 2 ,, , 则B等于 ( )
A. B.或 C. D.或
参考答案:
B
8. 已知实数依次成等比数列,则实数x的值为( )
A. 3或-3 B. 3 C. -3 D. 不确定
参考答案:
C
【分析】
根据等比中项的性质可以得到一个方程,解方程,结合等比数列的性质,可以求出实数的值.
【详解】因为实数依次成等比数列,所以有
当时,,显然不存在这样的实数,故,因此本题选C.
【点睛】本题考查了等比中项的性质,本题易出现选A的错误结果,就是没有对等比数列各项的正负性的性质有个清晰的认识.
9.
参考答案:
C
10. 已知函数y=f(x),将f(x)的图象上的每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的2倍,然后把所得的图象沿着x轴向左平移个单位,这样得到的是的图象,那么函数y=f(x)的解析式是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
【分析】利用逆向思维寻求应有的结论,注意结合函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论.
【解答】解:对函数的图象作相反的变换,利用逆向思维寻求应有的结论.
把的图象沿x轴向右平移个单位,得到解析式的图象,
再使它的图象上各点的纵坐标不变,横坐标缩小到原来的倍,就得到解析式的图象,
故函数y=f(x)的解析式是,
故选D.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知点和点,直线l:的法向量为,则=________;
参考答案:
0
12. 设全集U=R,集合,,若,则实数的取值范围是________
参考答案:
13. 函数的部分图象如图所示,则的值等于 .
参考答案:
2+2
略
14. i是虚数单位,则__________.
参考答案:
【分析】
根据复数的除法运算即得答案.
【详解】.
故答案为:.
【点睛】本题考查复数的除法运算,属于基础题.
15. 设,则 ;
参考答案:
略
16. 函数在区间[0,2]的最大值是
参考答案:
-4
略
17. 解关于的不等式.
参考答案:
解:原不等式
当时,解集为
当时,解集为
当时,解集为
当时,解集为
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知α∈(,π),sinα=.
(1)求sin(+α)的值;
(2)求cos(﹣2α)的值.
参考答案:
考点: 两角和与差的正弦函数;两角和与差的余弦函数.
专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质.
分析: (1)通过已知条件求出cosα,然后利用两角和的正弦函数求sin(+α)的值;
(2)求出cos2α,然后利用两角差的余弦函数求cos(﹣2α)的值.
解答: α∈(,π),sinα=.∴cosα=﹣=
(1)sin(+α)=sincosα+cossinα==﹣;
∴sin(+α)的值为:﹣.
(2)∵α∈(,π),sinα=.∴cos2α=1﹣2sin2α=,sin2α=2sinαcosα=﹣
∴cos(﹣2α)=coscos2α+sinsin2α==﹣.
cos(﹣2α)的值为:﹣.
点评: 本题考查两角和与差的三角函数,三角函数的基本关系式的应用,考查计算能力.
19. 已知奇函数是定义在(3,3)上的减函数,且满足不等式,求的取值范围.
参考答案:
解:由题可得: 为奇函数,
略
20. 近日,某地普降暴雨,当地一大型提坝发生了渗水现象,当发现时已有300m2的坝面渗水,经测算,坝而每平方米发生渗水现象的直接经济损失约为300元,且渗水面积以每天6m2的速度扩散.当地有关部门在发现的同时立即组织人员抢修渗水坝面,假定每位抢修人员平均每天可抢修渗水面积3 m2,该部门需支出服装补贴费为每人600元,劳务费及耗材费为每人每天300元.若安排x名人员参与抢修,需要k天完成抢修工作.
(1)写出k关于x的函数关系式;
(2)应安排多少名人员参与抢修,才能使总损失最小.(总损失=因渗水造成的直接损失+部门的各项支出费用)
参考答案:
(1)(2)应安排22名民工参与抢修,才能使总损失最小
【分析】
(1)由题意得要抢修完成必须使得抢修的面积等于渗水的面积,即可得,所以;
(2)损失包=渗水直接经济损失+抢修服装补贴费+劳务费耗材费,即可得到函数解析式,再利用基本不等式,即可得到结果.
【详解】(1)由题意,可得,所以.
(2)设总损失为元,则
当且仅当,即时,等号成立,
所以应安排22名民工参与抢修,才能使总损失最小.
【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题,以及基本不等式求最值的应用,其中解答中认真审题是关键,以及合理运用函数与不等式方程思想的有机结合,及基本不等式的应用是解答的关键,属于中档题,着重考查了分析问题和解答问题的能力.
21. 为了测试孪生孩子是否相互间有“感应”,现对若干对孪生孩子做有趣的试验活动,规定:在6到7点之间每位孩子相互独立地任意选定时刻到指定的某地点,若某对孪生孩子到达该地点前后时间差不超过15分钟,则称该对孪生孩子互为“感应孪生”,现有一对孪生孩子由甲乙两个孩子构成。
求:(1)甲乙这两个孪生孩子互为“感应孪生”的概率;
(2)甲乙互为“感应孪生”且甲比乙先到达的概率.
参考答案:
设甲乙到达时间分别为,这里,单位:分钟
(1),结合线性规划和几何概型知:
甲乙这两个孪生孩子互为“感应孪生”的概率为
(2)甲乙互为“感应孪生”且甲比乙先到达的概率。
略
22. (本小题满分12分)
某厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价定为60元.该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,但实际出厂单价不能低于51元.
(1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰降为51元?
(2)设一次订购量为x个,零件的实际出厂单价为P元,写出函数P=f(x)的表达式.
参考答案:
解:(1)设每个零件的实际出厂单价恰好降为51元时,一次订购量为个,
则,
因此,当一次订购量为个时,每个零件的实际出厂单价恰好降为51元。
(2)由题意知,当时,,
当时,,
当时,,
故
略