湖北省宜昌市第十二中学高一数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设,,,那么( )
A.a<b<c B. a<c<b C. b<a<c D. c<a<b
参考答案:
C
2. 如图所示,在四边形ABCD中,,,.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体,使平面平面BCD,则下列结论中正确的结论个数是( )
①;
②;
③与平面A'BD所成的角为30°;
④四面体的体积为
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
参考答案:
B
【分析】
根据题意,依次判断每个选项的正误得到答案.
【详解】,
平面平面且 平面
取的中点
∵ ∴.
又平面平面BCD,平面平面 ,
平面.
∴不垂直于.
假设 ,
∵为在平面 内的射影,∴,矛盾,
故A错误;
,平面平面,
平面,在平面内的射影为.
,
,故B正确,
为直线与平面所成的角,
,故C错误;
,故D错误.
故答案选B
【点睛】本题考查了线线垂直,线面夹角,体积的计算,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
3. 有以下四个结论 ① lg10=1;②lg(lne)=0;③若10=lgx,则x=10;
④ 若e=lnx,则x=e2,其中正确的是( )
A. ①③ B.②④ C. ①② D. ③④
参考答案:
C
4. 已知集合,,则( ).
A. B. C. D.
参考答案:
D
∵,
或,
∴,
故选.
5. 函数的部分图象是下图中的( )
参考答案:
D
6. 若实数a,b满足则的最小值是 ( )
A. 18 B. 6 C. D.
参考答案:
C
试题分析:若则,当且仅当时取等号.故选B.
7. 当≤ x ≤ 3时,函数y = x +的值域是( )
(A)[ 2,3] (B)[ 2,+ ∞ ]) (C)[ 3,+ ∞ ]) (D)( 0,+ ∞ )
参考答案:
A
8. (5分)若和g(x)都是定义在实数集R上的函数,且方程有实数解,则不可能是( ) .
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
B
9. 设α∈{ -1,,1,2,3},则使函数y=xα的定义域为R,且该函数为奇函数的α值为( )
A.1或3 B.﹣1或1 C.﹣1或3 D.﹣1、1或3
参考答案:
A
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域.
【分析】根据幂函数的性质,我们分别讨论α为﹣1, 1,2,3时,函数的定义域和奇偶性,然后分别和已知中的要求进行比照,即可得到答案.
【解答】解:当α=﹣1时,函数的定义域为{x|x≠0},不满足定义域为R;
当α=1时,函数y=xα的定义域为R且为奇函数,满足要求;
当α=函数的定义域为{x|x≥0},不满足定义域为R;
当α=2时,函数y=xα的定义域为R且为偶函数,不满足要求
当α=3时,函数y=xα的定义域为R且为奇函数,满足要求;
故选:A.
10. 在区间[1,6]上随机选取一个数a,则的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【分析】
根据几何概型概率公式直接求解可得结果.
【详解】由几何概型概率公式可知,所求概率
本题正确选项:C
【点睛】本题考查几何概型中的长度型概率问题的求解,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知角α的终边经过点P(﹣3,﹣),则sinα= .
参考答案:
﹣
考点:任意角的三角函数的定义.
专题:三角函数的求值.
分析:由条件利用任意角的三角函数的定义,求得sinα的值.
解答: 解:∵角α的终边经过点P(﹣3,﹣),则x=﹣3,y=﹣,r=|OP|=2,
∴sinα===﹣,
故答案为:﹣.
点评:本题主要考查任意角的三角函数的定义,属于基础题.
12. 点P(2,7)关于直线的对称点的坐标为 .
参考答案:
(-8,-3)
13. 三角形的两边分别为5和3,它们夹角的余弦是方程的根,则三角形的另一边长为 .
参考答案:
略
14. 已知某个数列的前4项分别为,写出该数列的一个通项公式为 。
参考答案:
15. 已知点,,向量,若,则实数的值为 .
参考答案:
16. 在1和256中间插入3个正数,使这5个数成等比数列,则公比为 。
参考答案:
略
17. 首项为3,公差为2的等差数列,前n项和为,则= 。
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2﹣1=0},A∩B=B,求实数a的值.
参考答案:
【考点】交集及其运算.
【分析】求解一元二次方程化简集合A,根据A∩B=B得到B?A,然后分B为空集、单元素集合及双元素集合讨论求解a的值.
【解答】解:由A={x|x2+4x=0}={0,﹣4},又A∩B=B,∴B?A
(1)若B=?,则x2+2(a+1)x+a2﹣1=0的判别式小于0,即4(a+1)2﹣4(a2﹣1)<0,
∴a<﹣1.
(2)若B={0},把x=0代入方程得a=±1
当a=1时,B={﹣4,0}≠{0}.
当a=﹣1时,B={0},∴a=﹣1.
(3)若B={﹣4}时,把x=﹣4代入得a=1或a=7.
当a=1时,B={0,﹣4}≠{﹣4},∴a≠1.
当a=7时,B={﹣4,﹣12}≠{﹣4},∴a≠7.
(4)若B={0,﹣4},则a=1,当a=1时,B={0,﹣4},∴a=1
综上所述:a≤﹣1或a=1.
19. (12分)已知函数f(x)=ax2+4x﹣1.
(1)当a=1时,对任意x1,x2∈R,且x1≠x2,试比较f()与的大小;
(2)对于给定的正实数a,有一个最小的负数g(a),使得x∈[g(a),0]时,﹣3≤f(x)≤3都成立,则当a为何值时,g(a)最小,并求出g(a)的最小值.
参考答案:
【考点】二次函数的性质.
【分析】(1)求出f()与的表达式,作差即可;
(2)本小题可以从a的范围入手,考虑0<a<2与a≥2两种情况,结合二次的象与性质,综合运用分类讨论思想与数形结合思想求解.
【解答】解:(1)a=1时,f(x)=x2+4x﹣1,
f()=+2(x1+x2)﹣1=++x1x2+2(x1+x2)﹣1,
==++2(x1+x2)﹣1;
故f()﹣=﹣﹣+x1x2=﹣≤0;
(2)∵f(x)=ax2+4x﹣1=a(x+)2﹣1﹣,
显然f(0)=﹣1,对称轴x=﹣<0.
①当﹣1﹣<﹣3,即0<a<2时,g(a)∈(﹣,0),且f[g(a)]=﹣3.
令ax2+4x﹣1=﹣3,解得x=,
此时g(a)取较大的根,即g(a)==,
∵0<a<2,∴g(a)>﹣1.
②当﹣1﹣≥﹣3,即a≥2时,g(a)<﹣,且f[g(a)]=3.
令ax2+4x﹣1=3,解得x=,
此时g(a)取较小的根,即g(a)==,
∵a≥2,∴g(a)=≥﹣3.当且仅当a=2时,取等号.
∵﹣3<﹣1∴当a=2时,g(a)取得最小值﹣3.
【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.
20. 已知集合,集合,集合
(1)求
(2)若,求实数的取值范围;
参考答案:
略
21. 已知函数
(1)判断函数的奇偶性并证明
判断函数的单调性并用定义证明
参考答案:
解:(1)函数的定义域是R,关于原点对称,
故函数为奇函数………………… ………………………………………………4分
(2)在R上单调递增
任取,
则
在R上单调递增且,故
同时所以所以在R上单调递增……………12分
22. (本小题满分14分)已知直线:kx-y-3k=0;圆M:
(Ⅰ)求证:直线与圆M必相交;
(Ⅱ)当圆M截所得弦最长时,求k的值。
参考答案:
解:(Ⅰ)证明:(方法1)将圆M的方程化为 …… 2分
∴圆M的圆心M(4,1),半径=2 .
又直线l的方程可化为k(x–3)–y=0,即无论k为何值,直线恒过点P(3,0). …… 4分
∴|PM|=< ,即点P在圆M的内部, …… 6分
∴直线l必与圆M相交。 …… 8分
(方法2)将圆M的方程化为 …… 2分
直线l与圆心M点的距离, …… 4分
故: …… 6分
∴即,直线l与圆必相交。 …… 8分
(Ⅱ)在圆中,直径是最长的弦; …… 10分
∴当圆M截l所得的弦最长时,直线必过圆心M(4,1) …… 12分
把M(4,1)代入直线l的方程可得:即 …… 14分
略