湖北省十堰市上津镇中学高三数学文下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若,则满足等式的实数的取值范围是
A. B. C. D.
参考答案:
A
2. 平面四边形中,,,将其沿对角线折成四面体,使平面平面,若四面体顶点在同一个球面上,则该球的体积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
3. 已知点M的极坐标为(),下列所给出的四个坐标中不能表示点M的坐标的是( ).
A. () B. () C. () D. ()
参考答案:
C
略
4. 若函数与都在区间上单调递减,则的最大值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
5. 下列四个图中,函数的图象可能是 ( )
参考答案:
C
6. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,已知该几何体的各个面中有个面是矩形,体积为,则
A. B.
C. D.
参考答案:
D
7. 设函数的定义域为,且是奇函数,是偶函数,则下列结论中正确的是
A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. 是奇函数 D. 是奇函数
参考答案:
C
设,则,∵是奇函数,是偶函数,∴,为奇函数,选C.
8. 不等式的解集为 ( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
【解】:∵ ∴ 即, ,
∴ 故选A;
【点评】:此题重点考察绝对值不等式的解法;
【突破】:准确进行不等式的转化去掉绝对值符号为解题的关键,可用公式法,平方法,特值验证淘汰法;
9. 定义域为的函数,满足,,则不等式的解集为(▲)
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
10. 在抛物线上取横坐标为,的两点,经过两点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与该抛物线和圆相切,则抛物线的顶点坐标是
A. (-2,-9) B. (0,-5) C. (2,-9) D. (1,-6)
参考答案:
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若条件:,条件:,则是的__________.(填充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件或 既不充分也不必要条件)
参考答案:
必要不充分
略
12. 在△ABC中,已知,则角A的值为
参考答案:
13. 已知定义在R上的偶函数f(x),满足f(x+4)=f(x)+f(2),且0≤x≤2时,f(x)=,若函数g(x)=f(x)﹣a|x|(a≠0),在区间[﹣3,3]上至多有9个零点,则a= .
参考答案:
【考点】根的存在性及根的个数判断.
【分析】利用f(x)的周期与对称性得出f(x)在(2,3)上的解析式,由g(x)的零点个数可得y=ax与f(x)在(2,3)上的图象相切,根据斜率的几何意义列方程组解出a.
【解答】解:f(2)=﹣4×22+12×2﹣8=0,
∴f(x+4)=f(x),
∴f(x)的周期为4.
作出f(x)在[﹣3,3]上的函数图象,如图所示:
令g(x)=0得f(x)=a|x|,
∴当x>0时,y=ax与y=f(x)在(2,3)上的函数图象相切,
∵1<x<2时,f(x)=﹣4x2+12x﹣8,且f(x)是偶函数,
∴当﹣2<x<﹣1时,f(x)=﹣4x2﹣12x﹣8,
又f(x)周期为4,则当2<x<3时,f(x)=﹣4(x﹣4)2﹣12(x﹣4)﹣8=﹣4x2+20x﹣24,
设y=ax与y=f(x)在(2,3)上的切点坐标为(x0,y0),
则,解得x0=,a=20﹣8.
故答案为:.
14. 在平面上“等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值”,类比猜想为:
;
参考答案:
正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值
解:由平面中关于点到线的距离的性质,根据平面上关于线的性质类比为空间中关于面的性质,我们可以推断在空间几何中有:正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值
15. (x-)展开式中x的系数是 (用数字作答)
参考答案:
10
16. 设复数为虚数单位),若为纯虚数,则的值为 .
参考答案:
1
17. 如图是一个组合几何体的三视图,则该几何体的体积
是 ▲ .
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 2014年“五一节”期间,高速公路车辆较多,交警部门通过路面监控装置抽样调查某一山区路段汽车行驶速度,采用的方法是:按到达监控点先后顺序,每隔50辆抽取一辆,总共抽取120辆,分别记下其行车速度,将行车速度(km/h)分成七段[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95)后得到如图所示的频率分布直方图,据图解答下列问题:
(Ⅰ)求a的值,并说明交警部门采用的是什么抽样方法?
(Ⅱ)求这120辆车行驶速度的众数和中位数的估计值(精确到0.1);
(Ⅲ)若该路段的车速达到或超过90km/h即视为超速行驶,试根据样本估计该路段车辆超速行驶的概率.
参考答案:
【考点】古典概型及其概率计算公式;收集数据的方法;众数、中位数、平均数.
【专题】计算题;概率与统计.
分析;(I)根据频率分布直方图中所有矩形的面积和为1求得a值,根据相同抽样方法的特征判断其抽样方法;
(II)根据众数是最高矩形底边中点的横坐标求众数;根据中位数是从左数小矩形面积和为0.5的矩形底边上点的横坐标求中位数;
(III)利用直方图求出样本中车速在[90,95)频数,利用个数比求超速车辆的概率.
解:(I)由频率分布直方图知:(a+0.05+0.04+0.02+0.02+0.005+0.005)×5=1,
∴a=0.06,
该抽样方法是系统抽样;
(II)根据众数是最高矩形底边中点的横坐标,∴众数为77.5;
∵前三个小矩形的面积和为0.005×5+0.020×5+0.040×5=0.325,
第四个小矩形的面积为0.06×5=0.3,
∴中位数在第四组,设中位数为75+x,则0.325+0.06×x=0.5?x≈2.9,
∴数据的中位数为77.9;
(III)样本中车速在[90,95)有0.005×5×120=3(辆),
∴估计该路段车辆超速的概率P==.
【点评】本题考查了由样本估计总体的思想,考查了由频率分布直方图求数据特征数众数、中位数,考查了古典概型的概率计算,是概率统计的常见题型,解答要细心.
19. (12分)设函数f(x)=2sin(2ωx+)﹣4cos2ωx+3(0<ω<2),且y=f(x)的图象的一条对称轴为x=.
(1)求ω的值并求f(x)的最小值;
(2)△ABC中,a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,且a=1,S△ABC=,f(A)=2,求△ABC的周长.
参考答案:
【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.
【分析】(1)运用二倍角余弦公式和两角和的正弦公式,化简f(x),再由正弦函数的对称轴方程和最值,求得ω的值并求f(x)的最小值;
(2)由f(A)=2,求得A;再由三角形的余弦定理和面积公式,求得b,c的关系,即可得到所求三角形的周长.
【解答】解:(1)函数f(x)=2sin(2ωx+)﹣4cos2ωx+3(0<ω<2)
=2(sin2ωx+cos2ωx)﹣2(1+cos2ωx)+3
=sin2ωx+cos2ωx+1=1+2sin(2ωx+),
由y=f(x)的图象的一条对称轴为x=,
可得2ω?+=kπ+,k∈Z,
即ω=3k+1,k∈Z,
由0<ω<2,可得ω=1;
当2x+=2kπ﹣,k∈Z,即x=kπ﹣,k∈Z,
f(x)=1+2sin(2x+)取得最小值1﹣2=﹣1;
(2)由f(A)=1+2sin(2A+)=2,
可得sin(2A+)=,
由A为三角形的内角,可得2A+∈(,),
即有2A+=,解得A=,
由a=1,S△ABC=,
可得bcsinA=,即为bc=1,①
由a2=b2+c2﹣2bccosA,
即为b2+c2=2②
可得b+c===2,
则△ABC的周长为a+b+c=3.
【点评】本题考查三角函数的恒等变换,正弦函数的图形和性质,考查解三角形的余弦定理和面积公式,考查化简整理的运算能力,属于中档题.
20. (12分)为了普及法律知识,达到“法在心中”的目的,某市法制办组织了一次普法知识竞赛.统计局调查队从甲、乙两单位中各随机抽取了5名职工的成绩,如下:
甲单位职工的成绩(分)
87
88
91
91
93
乙单位职工的成绩(分)
85
89
91
92
93
(1)根据表中的数据,分别求出样本中甲、乙两单位职工成绩的平均数和方差,并判断哪个单位职工对法律知识的掌握更为稳定;
(2)用简单随机抽样的方法从乙单位的5名职工中抽取2名,他们的成绩组成一个样本,求抽取的2名职工的成绩之差的绝对值至少是4分的概率.
参考答案:
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;众数、中位数、平均数.
【分析】(1)先求出甲、乙两个单位职工的考试成立的平均数,以及它们的方差,则方差小的更稳定.
(2)从乙单位抽取两名职工的分数,所有基本事件用列举法求得共10种情况,抽取的两名职工的分数差值至少是4的事件用列举法求得共有5个,由古典概型公式求得抽取的两名职工的分数之差的绝对值至少是4的概率.
【解答】解:(I),
…(2分)
,
…
∵,∴甲单位职工对法律知识的掌握更为稳定…
(II)设抽取的2名职工的成绩只差的绝对值至少是为事件A,
所有基本事件有:(85,89),(85,91),(85,92)(85,93),(89,85),
(89,91),(89,92),(89,93),(91,85),(91,89),(91,92),
(91,93),(92,85),(92,89),(92,91)(92,93),(93,85),
(93,89),(93,91),(93,92),共20个…(8分)
事件A包含的基本事件有:
(85,89),(85,91),(85,92),(85,93),(89,85),(89,93),
(91,85),(92,85),(93,85),(93,89),共10个…(10分)
∴…(12分)
【点评】本题主要考查平均数和方差的定义与求法,用列举法计算可以列举出基本事件和满足条件的事件,古典概率的计算公式.
21. 已知数列{an}满足a1=10,an﹣10≤an+1≤an+10(n∈N*).
(1)若{an}是等差数列,Sn=a1+a2+…+an,且Sn﹣10≤Sn+1≤Sn+10(n∈N*),求公差d的取值集合;
(2)若a1,a2,…,ak成的比数列,公比q是大于1的整数,且a1+a2+…+ak>2017,求正整数k的最小值;
(3)若a1,a2,…,ak成等差数列,且a1,a2,…,ak=100,求正整数k的最小值及k取最小值时公差d的值.
参考答案: