浙江省金华市第二职业中学高一数学文期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3,4},集合B={2,3,5},那么(UA)( UB)等于( )
A. B.{4} C.{1,3} D.{2,5}
参考答案:
解析: (UA)(UB)={2,5}{1,4}=. 答案: A
2. 如图是一个正方体的平面展开图,则在正方体中,与的位置关系为 ( )
A.相交 B.平行 C.异面而且垂直 D.异面但不垂直
参考答案:
D
3. 设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.c<b<a B.c<a<b C.b<a<c D.a<c<b
参考答案:
A
4. 如图,在空间四边形ABCD中,两条对角线AC,BD互相垂直,且长度分别为4和6,平行于这两条对角线的平面与边AB,BC,CD,DA分别相交于点E,F,G,H,记四边形EFGH的面积为y,设,则( )
A. 函数值域为(0,4]
B. 函数的最大值为8
C. 函数在上单调递减
D. 函数满足
参考答案:
D
试题分析:由题可得,,所以.同理,所以,所以四边形为平行四边形.又,所以,所以平行四边形为矩形.因为,所以,所以,因为,所以,所以.所以矩形的面积.函数图象关于对称,在上单调递增,在上单调递减,可求得.所以值域是.
考点:1.空间直线的平行;2.相似三角形对应成比例;3.二次函数的性质.
5. (5分)如图所示,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,则下列说法中错误说法的个数是()
①图中所标出的向量中与相等的向量只有1个(不含本身)
②图中所标出的向量与的模相等的向量有4个(不含本身)
③的长度恰为长度的倍
④与不共线.
A. 4 B. 3 C. 1 D. 0
参考答案:
C
考点: 命题的真假判断与应用.
专题: 平面向量及应用;简易逻辑.
分析: ①利用向量相等与菱形的性质即可判断出正误;
②利用菱形的性质、模相等的定义即可判断出正误;
③利用菱形的性质、直角三角形的边角关系即可判断出正误.
④利用向量共线定理即可判断出与共线,即可判断出正误.
解答: 解:①图中所标出的向量中与相等的向量只有1个,(不含本身),正确;
②图中所标出的向量与的模相等的向量有4个,,,(不含本身),正确;
③利用菱形的性质、直角三角形的边角关系可得:的长度恰为长度的倍,正确.
④与共线,因此不正确.
因此说法中错误说法的个数是1.
故选:C.
点评: 本题考查了向量相等、菱形的性质、模相等的定义、直角三角形的边角关系、向量共线定理、简易逻辑的判定,考查了推理能力,属于基础题.
6. 在△ABC中,已知三个内角为A,B,C满足,则C=( ).
A. 90° B. 120° C. 135° D. 150°
参考答案:
B
【分析】
利用正弦定理将角度关系转换为边长关系,再利用余弦定理得到答案.
【详解】由正弦定理知,
∴,
∵,
∴,
设,
∴,
∵,
∴.
故选:B.
【点睛】本题考查了正弦定理,余弦定理,意在考查学生的计算能力.
7. 已知集合A={x|x2﹣2x﹣3<0},集合B={x|2x+1>1},则?BA=( )
A.[3,+∞) B.(3,+∞) C.(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞) D.(﹣∞,﹣1)∪(3,+∞)
参考答案:
A
【考点】补集及其运算;指数函数的单调性与特殊点;一元二次不等式的解法.
【分析】根据集合A是二次不等式的解集,集合B是指数不等式的解集,因此可求出集合A,B,根据补集的求法求得CBA.
【解答】解:A={x|x2﹣2x﹣3<0}={x|﹣1<x<3},
B={x|2x+1>1}={x|x>﹣1},
CBA=[3,+∞).
故选A.
8. 给定集合A、B,定义A※B={x|x=m-n,m∈A,n∈B}.若A={4,5,6},B={1,2,3},则集合A※B中的所有元素之和为( )
A.15 B.14 C.27 D.-14
参考答案:
A
9. 若三个实数a,b,c成等比数列,其中,,则b=( )
A. 2 B. -2 C. ±2 D. 4
参考答案:
C
【分析】
由实数a,b,c成等比数列,得,从而得解.
【详解】由实数a,b,c成等比数列,得.
所以.
故选C.
【点睛】本题主要考查了等比数列的基本性质,属于基础题.
10. 的值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
由题得原式=
=
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 含有三个实数的集合既可表示成{a,,1},又可表示成{a2,a+b,0},则a+b= .
参考答案:
﹣1
【考点】集合的表示法.
【分析】根据两个集合相等的关系,求得a,b的值,再求a+b的值.
【解答】解:由题意,0∈{a,,1}及a≠0,
可得=0,即b=0,
从而{a,0,1}={a,a2,0},
进而有a2=1,即a=﹣1或1(舍去)(集合元素的互异性),
故a+b=﹣1.
故答案为:﹣1.
12. 若函数,则= .
参考答案:
-1
13. 已知数列{an}的前n项和为,则数列{an}的通项公式an=________.
参考答案:
当时,,
当时, ,
且当时,,
据此可得:数列{an}的通项公式an=
14. 已知中,点M满足.若存在实数使得成立,则
参考答案:
3
略
15. 已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,若a,b,c满足(a+b+c)(b+c﹣a)=3bc,则A= .
参考答案:
60°
【考点】余弦定理.
【分析】已知等式左边利用平方差公式化简,再利用完全平方公式展开,再利用余弦定理表示出cosA,将得出的关系式代入求出cosA的值,由A的三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数.
【解答】解:(a+b+c)(b+c﹣a)=(b+c)2﹣a2=b2+c2﹣a2+2bc=3bc,即b2+c2﹣a2=bc,
∴cosA==,
∵∠A为三角形的内角,
∴∠A=60°.
故答案为:60°.
【点评】此题考查了余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题的关键,属于基础题.
16. 函数的图像恒过定点A,且点A在幂函数的图像上,
则 .
参考答案:
9
∵loga1=0,
∴当2x﹣3=1,即x=2时,y=4,
∴点M的坐标是P(2,4).
幂函数f(x)=xα的图象过点M(2,4),
所以4=2α,解得α=2;
所以幂函数为f(x)=x2
则f(3)=9.
故答案为:9.
17. 已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都等于6,且各顶点都在同一球面上,则此球的表面积等于 .
参考答案:
84π
【考点】球的体积和表面积.
【分析】正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心,求出球的半径即可求出球的表面积.
【解答】解:由题意可知:正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心,底面中心到顶点的距离为:2;所以外接球的半径为: =.
所以外接球的表面积为: =84π.
故答案为:84π
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知数列{an+1﹣2an}(n∈N*)是公比为2的等比数列,其中a1=1,a2=4.
(Ⅰ)证明:数列是等差数列;
(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn;
( III)记数列,证明:.
参考答案:
【考点】8K:数列与不等式的综合;8E:数列的求和.
【分析】(Ⅰ)通过等比数列的通项公式可知an+1﹣2an=2n,两端同除2n+1即得结论;
(Ⅱ)利用错位相减法计算即得结论,
(Ⅲ)利用放缩法即可证明.
【解答】解:(Ⅰ)证明:由已知得,
两端同除2n+1得:,
所以数列是以首项为,公差为的等差数列;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以,
,
则2Sn=1?21+2?22+…+n?2n,
相减得:,
所以,
即.
(Ⅲ)证明:数列cn=2n﹣2,n≥2,
∴,
∴
又∵,(n≥3),
当n=2时,,
∴<==1﹣()n﹣1,
所以原不等式得证.
19. 已知函数
(1)若对任意,不等式恒成立,求的取值范围;
(2)讨论函数零点的个数.
参考答案:
解: (1)由得,
变形为,即 -------------2分
而,
当即时,
所以. --------------6分
(2)由可得,变为
略
20. 如图,一个铝合金窗分为上、下两栏,四周框架和中间隔档的材料为铝合金,宽均为6cm,上栏与下栏的框内高度(不含铝合金部分)的比为1:2,此铝合金窗占用的墙面面积为28800 cm2.该铝合金窗的宽与高分别为acm,bcm,铝合金窗的透光面积为Scm2.
(1)试用a,b表示S;
(2)若要使S最大,则铝合金窗的宽与高分别为多少?
参考答案:
(1);(2)铝合金窗的宽为,高为时,可使透光部分的面积最大.
试题分析:(1)先根据题意分别求出上、下两栏的高和宽,然后利用矩形的面积公式将三个透光部分的面积求出相加,即可求解;(2)抓住进行化简变形,然后利用基本不等式进行求解,注意等号成立的条件,然后求出等号是的值即可.
试题解析:(1)铝合金窗宽为,高为,,
, ?
又设上栏框内高度为,则下栏框内高度为,则,
透光部分的面积
(2),
当且仅当时等号成立,此时,代入?式得,从而,
即当,时,取得最大值
铝合金窗的宽为,高为时,可使透光部分的面积最大.
考点:函数模型的选择与应用.
【方法点晴】本题主要考查了函数模型的选择与应用,其中解答中涉及到函数解析式的求解、基本不等式求最值等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及转化思想的应用,本题的解答中将实际问题转化为数学问题的能力,同时利用基本不等式求解函数的最值是解答的关键,试题比较基础,属于基础题.
21. (本题满分14分)已知函数(),将的图象向右平移两
个单位,得到函数的图象,函数与函数的图象关于直线对
称.
(Ⅰ)求函数和的解析式;
(Ⅱ)若方程在上有且仅有一个实根,求的取值范围;
(Ⅲ)设,已知对任意的恒成立,求的
取值范围.
参考答案:
解:(Ⅰ).
设的图像上一点,点关于的对称点为,
由点在的图像上,所以,
于是 即.
(Ⅱ)设,,∴.
得,即在上有且仅有一个实根.
设,对称轴.
若,则,两根为.适合题意;
若,则,两根为.适合题意.
若在内有且仅有一个实根, 则
① 或 ②
由①得 ;
由②得 无解. 综上知
(Ⅲ).
由,化简得,设,.
即对任意恒成立.
解法一:设,对称轴
则③ 或 ④
由③得, 由