湖北省恩施市凉务民族中学高三数学文上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知某算法的流程图如图所示,输入的数和为自然数,若已知输出的有序数对为,则开始输入的有序数对可能为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
2. 已知等差数列{an}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项的和S10=( )
A.138 B.135 C.95 D.23
参考答案:
C
【考点】等差数列的性质;等差数列的前n项和.
【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质,及等差数列前n项和,根据a2+a4=4,a3+a5=10我们构造关于基本量(首项及公差)的方程组,解方程组求出基本量(首项及公差),进而代入前n项和公式,即可求解.
【解答】解:∵(a3+a5)﹣(a2+a4)=2d=6,
∴d=3,a1=﹣4,
∴S10=10a1+=95.
故选C
3. 若,则sina( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
4. 设是两个不同的平面,是一条直线,以下命题正确的是 ( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
参考答案:
A
5. 如果命题P:,命题Q:,那么下列结论不正确的是
A.“P或Q”为真 B.“P且Q”为假
C.“非P”为假 D.“非Q”为假
参考答案:
B
6. 已知定义域为R的奇函数f(x),当x≥0时,,恒有f(x +a)≥f(x),则实数a的取值范围是
A.[0,2] B.{0} ∪ [2, +∞)
C. [0,] D.{0} ∪ [16, +∞)
参考答案:
D
由函数性质作出图象,要恒成立,则只要使点左移个单位后到点的左侧或与重合,即,解得,选D.
7. 函数f(x)=(sinx+cosx)2 的一条对称轴的方程是( )
参考答案:
A
化简,∴将选项代入验证,当时,取得最值,故选.
8. 从1,2,3,4,5这5个数中任取两数,其中:①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;②至少有一个是奇数和两个都是奇数;③至少有一个是奇数和两个都是偶数;④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数. 上述事件中,是对立事件的是( )
A.① B.②④ C.③ D.①③
参考答案:
C
考点:互斥事件与对立事件.
专题:计算题;概率与统计.
分析:分析四组事件,①中表示的是同一个事件,②前者包含后者,④中两个事件都含有同一个事件,只有第三所包含的事件是对立事件.
解答: 解:∵在①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数中,这两个事件是同一个事件,
在②至少有一个是奇数和两个都是奇数中,至少有一个是奇数包括两个都是奇数,
在③至少有一个是奇数和两个都是偶数中,至少有一个是奇数包括有一个奇数和有两个奇数,同两个都是偶数是对立事件,
在④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数中,都包含一奇数和一个偶数的结果,
∴只有第三所包含的事件是对立事件
故选:C
点评:分清互斥事件和对立事件之间的关系,互斥事件是不可能同时发生的事件,对立事件是指一个不发生,另一个一定发生的事件.
9. 若等差数列{an}满足递推关系an+1=﹣an+n,则a5等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】8H:数列递推式.
【分析】根据数列的递推关系,结合等差数列的性质,令n=4或n=5,建立方程组进行求解即可.
【解答】解:令n=4,则a5+a4=4,令n=5,
则a6+a5=5,两式相加2a5+a4+a6=9,
∴a5=.
故选:B.
10. 已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,且,若点P在椭圆上,且满足,则该椭圆的离心率等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数,函数,则不等式的解集为_______.
参考答案:
[-2,2]
因为,,故是偶函数,
故 可画出的图像,
令
故解集为.
故答案为:.
12. 若f(x)=x2+bx+c,且f(1)=0,f(3)=0,则f(x)= .
参考答案:
x2﹣4x+3
【考点】函数的值.
【专题】计算题;函数思想;待定系数法;函数的性质及应用.
【分析】由已知条件利用待定系数法能求出f(x).
【解答】解:∵f(x)=x2+bx+c,且f(1)=0,f(3)=0,
∴,
解得b=﹣4,c=3,
∴f(x)=x2﹣4x+3.
故答案为:x2﹣4x+3.
【点评】本题考查函数解析式的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意待定系数法的合理运用.
13. 若方程在区间上有解,则所有满足条件的实数值的和为 .
参考答案:
14. 已知命题P:[0,l],,命题q:“R,x2+4x+a=0”,若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围是 ;
参考答案:
15. 函数y=的最小值是 .
参考答案:
【考点】基本不等式在最值问题中的应用;函数的最值及其几何意义.
【分析】将函数化为y=(+)+,注意运用基本不等式和二次函数的最值,同时注意最小值取得时,x的取值要一致,即可得到所求最小值.
【解答】解:函数y==
=+
=(+)+
≥2+=.
当且仅当=,即有x=0,取得等号.
则函数的最小值为.
故答案为:.
【点评】本题考查基本不等式的运用:求最值,注意求最值的条件:一正二定三等,属于中档题和易错题.
16. 已知复数(为虚数单位),则______________。
参考答案:
【知识点】复数求模.L4
因为,所以,
故答案为。
【思路点拨】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果.
17. 如图,在中,,点P是BN上一点,若则实数值为
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分13分)已知椭圆E:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率为,其长轴长与短轴长的和等于6.
(1)求椭圆E的方程;
(2)如图,设椭圆E的上、下顶点分别为A1、A2,P是椭圆上异于A1、A2的任意一点,直线PA1、PA2分别交x轴于点N、M,若直线OT与过点M、N的圆G相切,切点为T.证明:线段OT的长为定值.
参考答案:
19. (12分)如图,已知椭圆C1的中心在原点O,长轴左、右端点M、N在x轴上,椭圆C2的短轴为MN,且C1、C2的离心率都为e,直线l⊥MN,l与C1交于两点,与C2交于两点,这四点纵坐标从大到小依次为A、B、C、D.
(1)设e=,求|BC|与|AD|的比值;
(2)若存在直线l,使得BO∥AN,求椭圆离心率e的取值范围.
参考答案:
【考点】直线与椭圆的位置关系.
【分析】(1)由题意设椭圆方程,联立即可求得A和B坐标,当时,,分别用yA、yB表示A、B的纵坐标,;
(2)分类,当t=0时的l不符合题意,当t≠0时,当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等,根据斜率公式求得t,由,即可椭圆离心率e的取值范围.
【解答】解:(1)因为C1、C2的离心率相同,
故依题意可设.
设直线l:x=t(|t|<a)分别和C1、C2的方程联立,
求得.
当时,,分别用yA、yB表示A、B的纵坐标,
∴.
|BC|与|AD|的比值;
(2)t=0时的l不符合题意,t≠0时,BO∥AN,当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等,
即:,解得.
因为|t|<a,又0<e<1,
所以,解得.
∴当时,存在直线l,使得BO∥AN,即离心率e的取值范围是,
∴椭圆离心率e的取值范围.
【点评】本题考查椭圆离心率的应用,考查直线与椭圆的位置关系,考查计算能力,属于中档题.
20. 如图,某灌溉渠的横断面是等腰梯形,底宽为2 m,渠深为1.8 m,边坡的倾斜角是45°.
(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数;
(2)确定函数的定义域和值域;
(3)画出函数的图象.
参考答案:
(2)定义域为{h|0<h<1.8}.值域由二次函数A=h2+2h(0<h<1.8)求得.由函数A=h2+2h=(h+1)2-1的图象可知,在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大,
∴0<A<6.84.
故值域为{A|0<A<6.84}.
(3)函数图象如下确定.
由于A=(h+1)2-1,对称轴为直线h=-1,顶点坐标为(-1,-1),且图象过(0,0)和(-2,0)两点,又考虑到0<h<1.8,∴A=h2+2h的图象仅是抛物线的一部分,如下图所示.
点评:建立函数解析式的关键是找到自变量、对应关系和函数值.对于实际问题,函数的定义域除了使解析式有意义外,还要考虑到它的实际意义.
21. 已知函数f(x)=﹣lnx,m,n∈R.
(Ⅰ)若函数f(x)在(2,f(2))处的切线与直线x﹣y=0平行,求实数n的值;
(Ⅱ)试讨论函数f(x)在区间[1,+∞)上最大值;
(Ⅲ)若n=1时,函数f(x)恰有两个零点x1,x2(0<x1<x2),求证:x1+x2>2.
参考答案:
【考点】6E:利用导数求闭区间上函数的最值;6B:利用导数研究函数的单调性.
【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,根据f′(2)=1,求出n的值即可;
(Ⅱ)求出函数的导数,通过讨论n的范围,求出函数的单调区间,求出函数的最大值即可;
(Ⅲ)求出m=+lnx1=+lnx2,得到=ln,设t=>1,得到故x1+x2=x1(t+1)=,根据函数的单调性证明即可.
【解答】解:(Ⅰ)由f′(x)=,f′(2)=,
由于函数f(x)在(2,f(2))处的切线与直线x﹣y=0平行,
故=1,解得n=6.
(Ⅱ)f′(x)=,(x>0),
由f′(x)<0时,x>n;f′(x)>0时,x<n,
所以①当n≤1时,f(x)在[1,+∞)上单调递减,
故f(x)在[1,+∞)上的最大值为f(1)=m﹣n;
②当n>1,f(x)在[1,n)上单调递增,在(n,+∞)上单调递减,
故f(x)在[1,+∞)上的最大值为f(n)=m﹣1﹣lnn;
(Ⅲ)证明:n=1时,f(x)恰有两个零点x1,x2,(0<x1<x2),
由f(x1)=﹣lnx1=0,f(x2)=﹣lnx2=0,
得m=+lnx1=+lnx2,
故=ln,设t=>1,lnt=,x1=,
故x1+x2=x1(t+1)=,
∴x1+x2﹣2=,
记函数h(t)=﹣lnt,因h′(t)=>0,
∴h(t)在(1,+∞)递增,∵t>1,∴h(t)>h(1)=0,
又t=>1,lnt>0,故x1+x2>2成立.
22. 已知椭圆C的中心在原点,焦点在轴上,离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)、是椭圆上两点,A、B是椭圆位于直线PQ两侧的两动点,①若直线AB的斜率为,求四边形APBQ面积的最大值;②当A、B运动时,满足,试问直线AB的斜率是否为定值,请说