湖北省武汉市潢川县高级中学高二数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 复数等于
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
2. 依据表
P(K2≥k)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6. 635
7.879
10.828
下列选项中,哪一个样本所得的k值没有充分的证据显示“X与Y有关系”( )
A . k=6.665 B. k=3.765 C. k=2.710 D. k=2.700
参考答案:
C
3. 对实数、,定义运算“”: =,设函数.若函数的图象与轴恰有两个公共点,则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
参考答案:
D
4. 设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为
A. B. C. D.
参考答案:
D
5. 如图所示的程序框图中,当x=1时,输出的y的值是
A. 2 B. 1 C.-2 D.
参考答案:
A
6. 若点P( x,y )的坐标适合方程arcsin x = arccos y,则点P组成的图形是( )
(A)一个圆 (B)四分之三个圆 (C)半个圆 (D)四分之一个圆
参考答案:
D
7. 已知,其中是实数,是虚数单位,则=( )
A.1+2i B.1-2i C.2-i D.2+i
参考答案:
D
略
8. 下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
A,,故错误;
B,,正确;
C,,故错误;
D,,故错误.
故选B.
点睛:常用求导公式:.
9. 在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且a=+1,b=2,c=,那么角C的大小是( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
参考答案:
A
【考点】余弦定理.
【分析】利用余弦定理求出cosC的值,然后根据角的范围求出角的度数.
【解答】解:根据余弦定理得cosC===
∵C∈(0,π)
∴∠C=30°
故选A.
10. 已知定义在R上的函数,其导函数/(x)的大致图像如图所示,则下列叙述正确的是
A >> B > >
C >> D >
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知△ABC的面积为,且b=2,c=,则
参考答案:
或
12. 右边程序输出的结果是 .
参考答案:
10
13. 已知i为虚数单位,是关于x的方程(p,q为实数)的一个根,则 .
参考答案:
38
把 代入方程得 ,
所以 ,
所以 ,
所以所以p+q=38.故答案为:38.
14. 设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则=
参考答案:
-11
15. 在平面直角坐标系中,若圆上存在,两点关于点成中心对称,则直线的方程为 .
参考答案:
16. 已知若是实数,则实数的值等于__________
参考答案:
-1
17. 已知,其中n∈R,i是虚数单位,则n= .
参考答案:
1
【考点】复数相等的充要条件.
【分析】化简原式可得2=1+n+(n﹣1)i,由复数相等可得,解之即可.
【解答】解:∵,∴2=(1﹣i)(1+ni),
化简可得2=1+n+(n﹣1)i,
由复数相等可得,解得n=1,
故答案为:1
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知数列的前项和为,,满足
(1)计算、、、,并猜想的表达式;
(2)用数学归纳法证明你猜想的的表达式。(13分)
参考答案:
(1) 猜想
(2)①当时,结论显然成立
②假设时结论成立,即
由可知:
即当时结论也成立。
根据①②可知结论对任何都成立
略
19. 已知椭圆的右焦点为,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆相交于A,B两点,M,N分别为线段AF2,BF2的中点,若坐标原点O在以MN为直径的圆上,求k的值.
参考答案:
(1)由题意得 得 a=2,所以 =4,
结合,解得 =3,
所以,椭圆的方程为---------------------4分
(2) 由 消去得:(3+4k2)x2+8kx-8=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),所以---------6分
依题意知,OM⊥ON,且,
----------------9分
即(x1+1) (x2+1)+(k x1+1) (k x2+1)=0
整理得:
所以
整理得:4k2+4k+1=0 所以 --------------------------12分
20. 已知函数f(x)=x3﹣ax2,a∈R.
(1)求y=f(x)的单调区间;
(2)若曲线y=f(x)与直线y=x﹣1只有一个交点,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】(1)求出函数的导数,通过讨论a的范围,得到函数的单调区间即可;
(2)把曲线y=f(x)与直线y=x﹣1只有一个交点转化为关于x的方程ax2=x3﹣x+1只有一个实根,进一步转化为方程a=x﹣+只有一个实根.构造函数
g(x)=x﹣+,利用导数分析其单调性,并画出其图象大致形状,数形结合可得方程a=x﹣+只有一个实根时的实数a的取值范围.
【解答】解:(1)f′(x)=3x2﹣2ax=x(3x﹣2a)
当a=0时,R上y=f(x)单调递增;
当a>0时,(﹣∞,0),为y=f(x)增区间,为y=f(x)减区间;
当a<0,,(0,+∞)为y=f(x)增区间,为y=f(x)减区间;
(2)曲线y=f(x)与直线y=x﹣1只有一个交点,等价于关于x的方程ax2=x3﹣x+1只有一个实根.
显然x≠0,
∴方程a=x﹣+只有一个实根.
设函数g(x)=x﹣+,则g′(x)=1+﹣=.
设h(x)=x3+x﹣2,h′(x)=3x2+1>0,h(x)为增函数,又h(1)=0.
∴当x<0时,g′(x)>0,g(x)为增函数;
当0<x<1时,g′(x)<0,g(x)为减函数;
当x>1时,g′(x)>0,g(x)为增函数;
∴g(x)在x=1时取极小值1.
又当x趋向于0时,g(x)趋向于正无穷;当x趋向于负无穷时,g(x)趋向于负无穷;
又当x趋向于正无穷时,g(x)趋向于正无穷.
∴g(x)图象大致如图所示:
∴方程a=x﹣+只有一个实根时,实数a的取值范围为(﹣∞,1).
21. 如图所示,已知PA与⊙O相切,A为切点,PBC为割线,弦CD∥AP,AD、BC相交于E点,F为CE上一点,且∠EDF=∠ECD.
(1)求证:△DEF∽△PEA;
(2)若EB=DE=6,EF=4,求PA的长.
参考答案:
【考点】相似三角形的判定.
【分析】(1)证明∠APE=∠EDF.又结合∠DEF=∠AEP即可证明△DEF∽△PEA;
(2)利用△DEF∽△CED,求EC的长,利用相交弦定理,求EP的长,再利用切割线定理,即可求PA的长.
【解答】(本题满分为10分)
解:(1)证明:∵CD∥AP,
∴∠APE=∠ECD,
∵∠EDF=∠ECD,
∴∠APE=∠EDF.
又∵∠DEF=∠AEP,
∴△DEF∽△PEA.…
(2)∵∠EDF=∠ECD,∠CED=∠FED,
∴△DEF∽△CED,
∴DE:EC=EF:DE,即DE2=EF?EC,
∵DE=6,EF=4,于是EC=9.
∵弦AD、BC相交于点E,∴DE?EA=CE?EB. …
又由(1)知EF?EP=DE?EA,故CE?EB=EF?EP,即9×6=4×EP,
∴EP=. …
∴PB=PE﹣BE=,PC=PE+EC=,
由切割线定理得:PA2=PB?PC,即PA2=×,进而PA=.…
22. 设等差数列的前n项和为.已知与的等比中项为,且与的等差中项为1,求的通项公式.
参考答案:
解:设等差数列的首项为,公差为d.
由条件知
+=2
即解得或
或