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湖北省咸宁市通城县育才中学高一数学文月考试卷含解析 一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的 1. (5分)函数y=1﹣的图象是() A. B. C. D. 参考答案: B 考点: 函数的图象. 专题: 作图题. 分析: 把函数先向右平移一个单位,再关于x轴对称,再向上平移一个单位. 解答: 解:把 的图象向右平移一个单位得到的图象, 把的图象关于x轴对称得到的图象, 把的图象向上平移一个单位得到的图象. 故选:B. 点评: 本题考查函数图象的平移,对称,以及学生的作图能力. 2. 直线的倾斜角为( ) A. B. C. D. 参考答案: B 略 3. 一条直线经过点P1(﹣2,3),倾斜角为α=45°,则这条直线方程为( ) A.x+y+5=0 B.x﹣y﹣5=0 C.x﹣y+5=0 D.x+y﹣5=0 参考答案: C 【考点】直线的点斜式方程. 【专题】计算题. 【分析】根据倾斜角α与斜率k的关系:k=tanα求出此直线的斜率k然后再利用点斜式写出直线方程即可. 【解答】解:∵倾斜角为α=45° ∴斜率k=tan45°=1 ∵直线经过点P1(﹣2,3) ∴由点斜式可得直线方程为y﹣3=1×(x+2)即x﹣y+5=0 故选C 【点评】本题主要考察了直线的点斜式方程,属常考题,较易.解题的关键是会利用倾斜角α与斜率k的关系:k=tanα求出此直线的斜率以及正确记忆直线的点斜式方程! 4. 若弧长为4的弧所对的圆心角是2 ,则这条弧所在的圆的半径等于( ) A.8 B.4 C.2 D.1 参考答案: C 略 5. 以下四个函数中,在区间 ( – ∞,0 )上是减函数的是( ) (A)f ( x ) = arccos ( – x ) (B)g ( x ) = log 0.5 x (C)q ( x ) = – 2 – x (D)r ( x ) = – x 参考答案: D 6. 下列函数中,周期为2π的是( ) A.y=sin B.y=|sin| C.y=cos2x D.y=|sin2x| 参考答案: B 【考点】H1:三角函数的周期性及其求法. 【分析】根据函数y=Asin(ωx+φ)的周期为,函数y=|Asin(ωx+φ)|的周期为?,得出结论. 【解答】解:由于函数y=sin的最小正周期为=4π,故排除A; 根据函数y=|sin|的最小正周期为=2π,故B中的函数满足条件; 由于y=cos2x的最小正周期为=π,故排除C; 由于y=|sin2x|的最小正周期为?=,故排除D, 故选:B. 【点评】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的周期性,利用了函数y=Asin(ωx+φ)的周期为,函数y=|Asin(ωx+φ)|的周期为?,属于基础题. 7. 某程序框图如图所示,若输出的S=57,则判断框内为( ) A.k>4? B.k>5? C.k>6? D.k>7? 参考答案: A 8. 设且,则下列不等式成立的是 ( ) A. B. C. D. 参考答案: D 9. 如果数列{an}满足a1,a2-a1,a3-a2,…,,…是首项为1,公比为3的等比数列,则an等于( ) A. B. C. D. k*s*5u 参考答案: C 10. 已知函数是上的奇函数,且当时,函数的图象如右图所示,则不等式的解集是 A. B. C. D. 参考答案: D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数,在区间上任取一点,使的概率为 . 参考答案: 略 12. 在空间直角坐标系中,点A(﹣1,2,0)关于平面yOz的对称点坐标为 . 参考答案: (1,2,0) 【考点】空间中的点的坐标. 【分析】根据关于yOz平面对称,x值变为相反数,其它不变这一结论直接写结论即可. 【解答】解:根据关于坐标平面yOz对称点的坐标特点, 可得点A(﹣1,2,0)关于坐标平面yOz对称点的坐标为:(1,2,0). 故答案为:(1,2,0). 13. 已知=,=-,,,则= ▲ . 参考答案: 14. 定义一种集合运算A?B={x|x∈(A∪B),且x?(A∩B)},设M={x|﹣2<x<2},N={x|1<x<3},则M?N所表示的集合是 . 参考答案: {x|﹣2<x≤1或2≤x<3} 【考点】子集与交集、并集运算的转换. 【专题】常规题型;集合. 【分析】求出M∪N与M∩N,由新定义求M?N. 【解答】解:∵M={x|﹣2<x<2},N={x|1<x<3}, ∴M∪N={x|﹣2<x<3},M∩N={x|1<x<2}; 则M?N={x|﹣2<x≤1或2≤x<3}. 故答案为{x|﹣2<x≤1或2≤x<3}. 【点评】本题考查了集合的交集,并集运算,同时给出了新的运算,实质是补集运算的变形,同时考查了学生对新知识的接受与应用能力. 15. 在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A、B、C三点满足,则=________. 参考答案: 略 16. 已知集合,,, 则 , ; 参考答案: , 17. (5分)已知点A(a,2)到直线l:x﹣y+3=0距离为,则a= .. 参考答案: 1或﹣3 考点: 点到直线的距离公式. 专题: 直线与圆. 分析: 利用点到直线的距离公式即可得出. 解答: ∵点A(a,2)到直线l:x﹣y+3=0距离为, ∴,化为|a+1|=2,∴a+1=±2. 解得a=1或﹣3. 故答案为:1或﹣3. 点评: 本题考查了点到直线的距离公式,属于基础题. 三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 18. 已知奇函数f(x)=ax++c的图象经过点A(1,1),B(2,﹣1). (1)求函数f(x)的解析式; (2)求证:函数f(x)在(0,+∞)上为减函数; (3)若|t﹣1|≤f(x)+2对x∈[﹣2,﹣1]∪[1,2]恒成立,求实数t的范围. 参考答案: 【考点】函数奇偶性的性质;函数解析式的求解及常用方法;函数恒成立问题. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】(1)由奇函数f(x)=ax++c的图象经过点A(1,1),B(2,﹣1)构造关于a,b,c的方程,解方程可得函数f(x)的解析式; (2)求出函数的导函数,进而根据导数符号与函数单调性的关系,可证得函数f(x)在(0,+∞)上为减函数; (3)若|t﹣1|≤f(x)+2对x∈[﹣2,﹣1]∪[1,2]恒成立,则|t﹣1|≤1,解绝对值不等式可得实数t的范围. 【解答】解:(1)∵奇函数f(x)=ax++c的图象经过点A(1,1),B(2,﹣1). ∴函数f(x)=ax++c的图象经过点(﹣1,﹣1), 即, 解得: 故f(x)=﹣x+ 证明:(2)∵f′(x)=﹣1﹣, 当x∈(0,+∞)时,f′(x)<0 故函数f(x)在(0,+∞)上为减函数; 解:(3)当x∈[﹣2,﹣1]∪[1,2]时,f(x)∈[﹣1,1], 则f(x)+2∈[1,3], 若|t﹣1|≤f(x)+2对x∈[﹣2,﹣1]∪[1,2]恒成立, 则|t﹣1|≤1, 则t∈[0,2] 【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质,函数解析式的求解,函数恒成立问题,函数单调性的证明,是函数图象和性质的综合应用,难度中档. 19. 已知数列{an}前n项和为Sn,首项,且满足, (1)求数列{an}的通项公式; (2)设,求数列{bn}的前项和Tn. 参考答案: (1) (2) 【分析】 (1)时, 两式作差得即可求解;(2)求由错位相减法求和即可 【详解】(1)时,;时, 两式作差得,故 又,故 (2)由(1) 【点睛】本题考查了递推关系求通项,等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”,考查了变形推理能力与计算能力,属于中档题. 20. 已知向量=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ),0<β<α<π. (1)若|﹣|=,求证:⊥; (2)设c=(0,1),若+=c,求α,β的值. 参考答案: 【考点】9R:平面向量数量积的运算. 【分析】(1)由向量的平方即为模的平方,化简整理,结合向量垂直的条件,即可得证; (2)先求出+的坐标,根据条件即可得到,两边分别平方并相加便可得到sinβ=,进而得到sinα=,根据条件0<β<α<π即可得出α,β. 【解答】解:(1)证明:由|﹣|=,即(﹣)2=2﹣2?+2=2, 又因为2=2=||2=||2=1. 所以2﹣2?=2,即?=0, 故⊥; (2)因为+=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(0,1), 所以, 即, 两边分别平方再相加得1=2﹣2sinβ, ∴sinβ=,sinα=, 又∵0<β<α<π, ∴α=,β=. 21. 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,,底面ABC,D是线段AB的中点,E是线段A1B1上任意一点,. (1)证明:平面; (2)证明:平面. 参考答案: (1)证明见解析;(2)证明见解析. 【分析】 (1)可证:CD⊥AB,AA1⊥CD,即可证明CD⊥平面ABB1A1; (2)证明OD∥AC1,由线面平行的判定定理即可证明OD∥平面AC1E. 【详解】(1)因为,是线段的中点, 所以, 又底面,所以, 又,所以平面. (2)易知四边形为平行四边形,则为的中点, 又是线段的中点,所以, 而平面,平面,所以平面. 22. 一种药在病人血液中的量保持在以上,才有疗效;而低于,病人就有危险.现给某病人的静脉注射了这种药,如果药在血液中以每小时的比例衰减,那么应在什么时候范围再向病人的血液补充这种药?(精确到)(参考数据:,,) 参考答案: 见解析 解:设应在病人注射这种药小时后再向病人的血液补充这种药, 依题意,可得, 整理,得, ∴, ∴, 同理得, 解得:, 答:应在用药小时后及小时前再向病人的血液补充药.
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