湖北省宜昌市两河口中学高一数学文上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如图,四边形ABCD中,,将沿BD折起,使平面平面BCD,构成四面体ABCD,则在四面体ABCD中,下列结论正确的是( )
A. 平面平面
B. 平面平面
C. 平面平面
D. 平面平面
参考答案:
B
【分析】
由题意推出CD⊥AB,AD⊥AB,从而得到AB⊥平面ADC,又AB?平面ABC,可得平面ABC⊥平面ADC.
【详解】∵在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,∴BD⊥CD
又平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,CD平面BCD.
故CD⊥平面ABD,则CD⊥AB,又AD⊥AB,CD∩AD=D,∴AB⊥平面ADC,
又AB?平面ABC,∴平面ABC⊥平面ADC.
故选:B.
【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定和性质定理,考查逻辑思维能力,属于中档题.
2. (5分)设a=log2,b=log,c=()0.3,则()
A. a<c<b B. a<b<c C. b<c<a D. b<a<c
参考答案:
A
考点: 对数值大小的比较.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 利用对数的性质和运算法则求解.
解答: a=log2<log1=0,
b=log>=1,
0<c=()0.3<()0=1,
∴a<c<b.
故选:A.
点评: 本题考查对数值大小的比较,是基础题,解题时要认真审题,注意对数函数和指数函数的性质的合理运用.
3. 已知函数,若存在x1<x2,使得f(x1)=f(x2),则x1f(x2)的取值范围为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】函数的零点;函数的值域;不等关系与不等式.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】根据函数的解析式画出函数的图象,根据题意数形结合求得x1f(x2)的取值范围.
【解答】解:①当 0≤x<时,≤f(x)=x+<1.故当x=时,f(x)=.
②当≤x≤1时,≤f(x)=3x2≤3,故当x=时,f(x)=1.
若存在x1<x2,使得f(x1)=f(x2)=k,则≤x1 <≤x2 <1,
如图所示:
显然当k=f(x1)=f(x2)=时,x1f(x2)取得最小值,
此时,x1=,x2=,x1f(x2)的最小值为 =.
显然,当k=f(x1)=f(x2)趋于1时,x1f(x2)趋于最大,
此时,x1趋于,x2趋于,x1f(x2)趋于 =.
故x1f(x2)的取值范围为,
故选C.
【点评】本题考查函数的单调性,考查学生分析解决问题的能力,体现了数形结合的数学思想,属于中档题.
4. 若函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<)的图象关于直线x=对称,且当x1,x2∈(﹣,﹣),x1≠x2时,f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】正弦函数的图象.
【分析】由正弦函数的对称性可得sin(2×+φ)=±1,结合范围|φ|<,即可解得φ的值,得到函数f(x)解析式,由题意利用正弦函数的性质可得x1+x2=﹣代入函数解析式利用诱导公式即可计算求值.
【解答】解:∵sin(2×+φ)=±1,
∴φ=kπ+,k∈Z,
又∵|φ|<,
∴φ=,
∴f(x)=sin(2x+),
当x∈(﹣,﹣),2x+∈(﹣,﹣π),区间内有唯一对称轴x=﹣,
∵x1,x2∈(﹣,﹣),x1≠x2时,f(x1)=f(x2),
∴x1,x2关于x=﹣对称,即x1+x2=﹣π,
∴f(x1+x2)=.
故选C.
5. 已知是第三象限角,且,则 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
6. 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积
是( )
A.1 B.
C. D.
参考答案:
B
7. 若,则下列不等式不可能成立的是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【分析】
由不等式的基本性质逐个分析即可.
【详解】由,可得,,,,即A,B,C都成立,D不可能成立.故选D.
8. 已知,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
9. 对于函数,下列命题: ks*5u
①函数图象关于直线对称; ②函数图象关于点(,0)对称;
③函数图象可看作是把的图象向左平移个单位而得到;
④函数图象可看作是把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍
(纵坐标不变)而得到;其中正确的命题的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
参考答案:
C
略
10. 已知函数,则函数的大致图像为 ( )
A B C D
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数的值域是 ▲ 。
参考答案:
略
12. 函数的定义域是 .
参考答案:
略
13. 设扇形的周长为,面积为,则扇形的圆心角的弧度数是 ;
参考答案:
2;
略
14. 函数的最大值为____________________.
参考答案:
.
提示:设参数(),则
①
②
由①、②知,取等号条件为:
解得
∴,
即 .
15. 已知f(x)=x2+4x-6,若f(2m)>f(m+1),则实数m的取值范围是___________。
参考答案:
解析:(2m)2+4(2m)-6>(m+1)2+4(m+1)-6,∴3m2+2m-5>0,∴m∈(-∞,)∪(1,+∞)。
16. 用填空:
参考答案:
略
17. 已知且与的夹角为,则
参考答案:
1
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分12分)已知函数的图像关于直线对称,且图像上相邻两个最高点的距离为.
(1)求和的值;
(2)若,求的值。
参考答案:
(1).=2,= ……………………6分 (2) +……………………12分
19. (本小题满分6)已知函数
,化简g(x)
参考答案:
(本小题满分6分)
解:
ks5u
略
20. 已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn,若,且成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若,求数列{bn}的前n项和Tn.
参考答案:
(1);(2)
【分析】
(1)根据为等差数列,前项和为,,且成等比数列.利用公式即可求解公差和首项,可得数列的通项公式;
(2)将的带入求解的通项公式,利用“裂项求和”即可得出.
【详解】(1)根据为等差数列,.
前项和为,且,即,…①
∵成等比数列.可得:.∴…②
由①②解得:,∴数列的通项公式为
(2)由,
即=.
那么:数列的前项和
.
【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
21. 如图,四棱锥P—ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,PD=DC=4,AD=2,E为PC的中点.
(I)求证:AD⊥PC;
(II)求三棱锥P-ADE的体积;
(III)在线段AC上是否存在一点M,使得PA//平面EDM,若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由.
参考答案:
(I)因为PD⊥平面ABCD.
所以PD⊥AD.
又因为ABCD是矩形,
所以AD⊥CD.
因为
所以AD⊥平面PCD.
又因为平面PCD,
所以AD⊥PC.
(II)因为AD⊥平面PCD,VP-ADE=VA-PDE,
所以AD是三棱锥A—PDE的高.
因为E为PC的中点,且PD=DC=4,
所以
又AD=2,
所以
(IIII)取AC中点M,连结EM、DM,
因为E为PC的中点,M是AC的中点,
所以EM//PA,
又因为EM平面EDM,PA平面EDM,
所以PA//平面EDM.
所以
即在AC边上存在一点M,使得PA//平面EDM,AM的长为.
22. (本题满分12分)
已知函数,其中且.
(1) 判断的奇偶性;
(2) 判断在上的单调性,并加以证明.
参考答案:
解:(1)由于的定义域为. .………1分
, ……………3分
所以是奇函数. ………………5分