湖北省恩施市巴东第一级高级中学高一数学文期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 下列各式错误的是( )
A.30.8>30.7 B.log0.50.4>log050.6
C.0.75﹣0.1<0.750.1 D.lg1.6>lg1.4
参考答案:
C
【考点】不等式比较大小.
【分析】利用对数函数和指数函数的增减性进行选择.
【解答】解:A、∵y=3x,在R上为增函数,∵0.8>0.7,∴30.8>30.7,故A正确;
B、∵y=log0.5x,在x>0上为减函数,∵0.4<0.6,∴log050.4>log050.6,故B正确;
C、∵y=0.75x,在R上为减函数,∵﹣0.1<0.1,∴0.75﹣0.1>0.750.1,故C错误;
D、∵y=lgx,在x>0上为增函数,∵1.6>1.4,∴lg1.6>lg1.4,故D正确;
故选C.
2. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的最小正周期为π,且其图象向左平移个单位后得到函数g(x)=cosωx的图象,则函数f(x)的图象( )
A.关于直线x=对称 B.关于直线x=对称
C.关于点(,0)对称 D.关于点(,0)对称
参考答案:
C
【考点】HJ:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】利用正弦函数的周期性、函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律、诱导公式,求得f(x)的解析式,再利用正弦函数的图象的对称性,得出结论.
【解答】解:∵函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的最小正周期为π,∴ =π,∴ω=2.
把其图象向左平移个单位后得到函数g(x)=cosωx=sin(2x++φ)的图象,
∴+φ=kπ+,k∈Z,∴φ=﹣,∴f(x)=sin(2x﹣).
由于当x=时,函数f(x)=0,故A不满足条件,而C满足条件;
令x=,求得函数f(x)=sin=,故B、D不满足条件,
故选:C.
3. 若向量,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
4. 在同一平面直角坐标系中,函数的图象关于 ( )
A、直线对称 B、轴对称 C、轴对称 D、直线对称
参考答案:
C
5. 函数f(x)=+lg(1+x)的定义域是( )
A.(﹣∞,﹣1) B.(1,+∞) C.(﹣1,1)∪(1,+∞) D.(﹣∞,+∞)
参考答案:
C
考点: 函数的定义域及其求法.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 根据题意,结合分式与对数函数的定义域,可得,解可得答案.
解答: 解:根据题意,使f(x)=+lg(1+x)有意义,
应满足,解可得(﹣1,1)∪(1,+∞);
故选:C.
点评: 本题考查函数的定义域,首先牢记常见的基本函数的定义域,如果涉及多个基本函数,取它们的交集即可
6. 若函数为定义域上的单调函数,且存在区间(其中),使得当时,的取值范围恰为,则称函数是上的正函数。若函数是上的正函数,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
7. 函数的图象大致是( )
参考答案:
C
8. 已知幂函数过点,令,,记数列的前n项和为Sn,则时,n的值是( )
A. 10 B. 120 C. 130 D. 140
参考答案:
B
【分析】
根据幂函数所过点求得幂函数解析式,由此求得的表达式,利用裂项求和法求得的表达式,解方程求得的值.
【详解】设幂函数为,将代入得,所以.所以,所以,故,由解得,故选B.
【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法,考查裂项求和法,考查方程的思想,属于基础题.
9. 已知偶函数在区间单调递减,则满足的取值范围是 ( )
参考答案:
C
略
10. 如图,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形, 俯视图是一个圆 ,那么这个几何体的侧面积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知集合的子集只有两个,则的值为 .
参考答案:
0或1
12. 已知函数的值域为,则的取值范围是________
参考答案:
13. 与终边相同的最小正角是_______________.
参考答案:
14. 方程的解为_________.
参考答案:
【分析】
根据特殊角的三角函数及正切函数的周期为kπ,即可得到原方程的解.
【详解】则
故答案为:
15. 不等式<1的解集为{x|x<1或x>2},那么a的值为______________.
参考答案:
16. 在等差数列{an}中,已知a1 + a19= -18,则a10 = .
参考答案:
-9
略
17. 设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2,若对任意x∈[a,a+2],不等式f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
(﹣∞,﹣5]
【考点】函数奇偶性的性质;函数单调性的性质.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】利用函数奇偶性和单调性之间的关系,解不等式即可.
【解答】解:∵当x≥0时,f(x)=x2,
∴此时函数f(x)单调递增,
∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴函数f(x)在R上单调递增,
若对任意x∈[a,a+2],不等式f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,
则x+a≥3x+1恒成立,
即a≥2x+1恒成立,
∵x∈[a,a+2],
∴(2x+1)max=2(a+2)+1=2a+5,
即a≥2a+5,
解得a≤﹣5,
即实数a的取值范围是(﹣∞,﹣5];
故答案为:(﹣∞,﹣5];
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用,以及不等式恒成立问题,综合考查函数的性质.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (12分)三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱相等,AA1⊥底面ABC,E是AA1的中点.
(Ⅰ)求证:BE⊥CB1;
(Ⅱ)在AB上找一点P,使P﹣CBE的体积等于C﹣ABE体积的.
参考答案:
考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的性质.
专题: 空间位置关系与距离.
分析: (Ⅰ)取AB的中点H,连结CH,HB1,由已知得CH⊥BE,BE⊥B1H,由此能证明BE⊥CB1.
(Ⅱ)===,根据相似三角形的关系得=,由此能求出点P在有向线段BA的三分之一处.
解答: (Ⅰ)证明:取AB的中点H,连结CH,HB1,
∵△ABC是等边三角形,∴CH⊥BE,
∵四边形AA1B1B是正方形,且E, H分别是AA1,AB的中点,
∴BE⊥B1H,
∵BE∩B1H=D,∴BE⊥平面CHB1,
∵CB1?平面CHB1,∴BE⊥CB1.
(Ⅱ)解:∵VC﹣ABE=VA﹣CBE,
∴==,
其中d1,d2分别是点P,A到BE的距离,
∵=,∴根据相似三角形的关系得=,
∴BP=,∴点P在有向线段BA的三分之一处.
点评: 本题考查异面直线垂直的证明,考查点P的位置的确定,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
19. (10分)如图:有一块半径为2的半圆形钢板,计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状,它的下底是圆的直径,上底CD的端点在圆周上.梯形的周长令为y,腰长为x
(Ⅰ)求周长y关于腰长x的函数关系式,并求其定义域;
(Ⅱ)当梯形周长最大时,求此时梯形的面积S.
参考答案:
考点: 函数解析式的求解及常用方法;函数的最值及其几何意义.
专题: 函数的性质及应用.
分析: ( I)画出图形,结合图形,求出周长y关于腰长x的函数解析式,再求出函数的定义域即可;
(Ⅱ)求出函数y的最大值,并求出此时对应的梯形的面积S.
解答: ( I)如图所示,作DE⊥AB于E,连接BD,
因为AB为直径,所以∠ADB=90°;
在Rt△ADB与Rt△AED中,∠ADB=90°=∠AED,∠BAD=∠DAE,
所以Rt△ADB∽Rt△AED;
所以=,即AE=;
又AD=x,AB=4,所以AE=;
所以CD=AB﹣2AE=4﹣2×=4﹣,
于是y=AB+BC+CD+AD=4+x+4﹣+x=﹣x2+2x+8,
由于AD>0,AE>0,CD>0,所以x>0,>0,4﹣>0,
解得0<x<2;
故所求的函数为y=﹣x2+2x+8(0<x<2);
(Ⅱ)因为y=﹣x2+2x+8=﹣(x﹣2)2+10,
又0<x<2,所以,当x=2时,y有最大值10,
此时,梯形的腰长AD=x=2,下底长AB=4,所以AE==1;
所以上底长CD=AB﹣2AE=4﹣2×1=2,高DE=;
∴梯形的面积为S=(AB+CD)?DE=×(4+2)×=3.
点评: 本题考查了函数模型的应用问题,也考查了求函数最值的问题,是综合性题目.
20. 已知函数f(x)=cos(2x﹣)+2sin(x﹣)sin(x+)
(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程及对称中心;
(2)求函数f(x)在区间[﹣,]上的值域.
参考答案:
【考点】三角函数中的恒等变换应用;三角函数的最值.
【专题】计算题.
【分析】利用两角差的余弦公式,诱导公式及二倍角正弦公式将f(x)化为一角一函数形式得出f(x)=sin(2x﹣).
将2x﹣看作整体(1)借助于正弦函数的对称轴方程及对称中心求解(2)先求出2x﹣的范围,再求出值域.
【解答】解:
=
=cos2x+sin2x+sin(2x﹣)
=cos2x+sin2x﹣cos2x
=﹣cos2x+sin2x
=sin(2x﹣).
最小正周期 T==π,
由2x﹣=kπ+,k∈Z得图象的对称轴方程 x=,k∈Z
由2x﹣=kπ,k∈Z得x=,对称中心(,0),k∈Z
(2)当x∈时,2x﹣∈[,],由正弦函数的性质得值域为[].
【点评】本题考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力,三角函数的图象和性质,整体换元的思想方法.
21. 在△ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c,已知cos2A﹣3cos(B+C)=1.
(1)求角A的大小;
(2)若△ABC的面积S=5,b=5,求sinBsinC的值.
参考答案:
(1)(2)
试题分析:(1)根据二倍角公式,三角形内角和,所以,整理为关于的二次方程,解得角的大小;(2)根据三角形的面积公式和上一问角,代入后解得边,这样就知道,然后根据余弦定理再求,最后根据证得定理分别求得和.
试题解析:(1)由cos 2A-3cos(B+C)=1,
得2cos2A+3cos A-2=0,
即(2cos A-1)(cos A+2)=0,
解得cos A=或cos A=-2(舍去).
因为0
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