湖北省恩施市巴东第一级高级中学2023年高一数学文模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如图,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧河选定一点C,测出AC的距离为50米,,,则A,B两点的距离为( )
A.米 B.50米 C.25米 D.米
参考答案:
A
在△ABC中,∵∠ACB=45°,∠CAB=105°
∴∠B=30°
由正弦定理可得: ,
故答案为:A.
2. 的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
.
3. 若,规定:,例如:
,则的奇偶性为 ( ▲)
A.是奇函数不是偶函数 B.是偶函数不是奇函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数
参考答案:
B
略
4. 已知是定义在R上的奇函数,当时,,那么不等式的解集是()
A. B.
C. D.
参考答案:
B
【分析】
根据奇函数的性质求出的解析式,然后分类讨论求出不等式
的解集.
【详解】因为是定义在上的奇函数,所以有,显然是不等式的解集;
当时,;
当时,,综上所述:不等式的解集是,故本题选B.
【点睛】本题考查了利用奇函数性质求解不等式解集问题,考查了分类思想,正确求出函数的解析式是解题的关键.
5. 等比数列{a}中,a=512,公比q=,用表示它的前n项之积:,则中最大的是( )
A.T B.T C.T D.T
参考答案:
C
6. 已知函数f(x)=|log3x|,若函数y=f(x)﹣m有两个不同的零点a,b,则( )
A.a+b=1 B.a+b=3m C.ab=1 D.b=am
参考答案:
C
【考点】对数函数的图象与性质.
【分析】由已知中函数f(x)=|log3x|,函数y=f(x)﹣m有两个不同的零点a,b,可得a≠b且f(a)=f(b),则log3a+log3b=0,进而根据对数的运算性质,即可得到答案
【解答】解:∵函数y=f(x)﹣m有两个不同的零点a,b,∴a≠b且f(a)=f(b),
∵f(x)=|log3x|,
∴log3a+log3b=0
即log3a+log3b=log3(ab)=0,
∴a?b=1
故选:C.
7. 已知an=2,amn=16,则m的值为( )
A.3 B.4 C.a3 D.a6
参考答案:
B
【考点】有理数指数幂的化简求值.
【专题】计算题.
【分析】根据指数幂的性质得(an)m=2m=16,解出即可.
【解答】解:∵(an)m=2m=16,
∴m=4,
故选:B.
【点评】本题考查了指数幂的化简问题,是一道基础题.
8. 已知,,则( )
A.(-1,4) B. (1,-4) C. (-1,-4) D. (1,4)
参考答案:
D
【分析】
利用公式可得到答案.
【详解】已知,,则
故选:D
【点睛】本题考查利用点的坐标求向量的坐标,属于基础题.
9. 若集合,,且,则的值为 ( )
A. B. C.0或 D.或
参考答案:
C
10. 直线当变动时,所有直线都通过定点( )
A.(0,0) B.(0,1)
C.(3,1) D.(2,1)
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数f(x﹣1)=x2﹣2x,则f(x)= .
参考答案:
x2﹣1
【考点】函数解析式的求解及常用方法.
【专题】函数思想;换元法;函数的性质及应用.
【分析】利用换元法求解即可.
【解答】解:函数f(x﹣1)=x2﹣2x,
令x﹣1=t,则x=t+1
那么f(x﹣1)=x2﹣2x转化为f(t)=(t+1)2﹣2(t+1)=t2﹣1.
所以得f(x)=x2﹣1
故答案为:x2﹣1.
【点评】本题考查了解析式的求法,利用了换元法.属于基础题.
12. 已知扇形的面积为4cm2,该扇形圆心角的弧度数是,则扇形的周长为 cm.
参考答案:
10
13. 已知(x,y)在映射f作用下的像是(x+y,xy),则(3,4)的像为 ,(1,﹣6)的原像为 .
参考答案:
(7,12), (﹣2,3)或(3,﹣2).
【考点】映射.
【分析】依据映射的概念,已知原像(x,y),求像(x+y,xy),再依据映射的概念,已知像(x+y,xy),求原像(x,y).
【解答】解:(1)由映射的定义知,x=3,y=4,
∴x+y=7,xy=12,
∴(3,4)在f作用下的像是(7,12);
(2)由x+y=1,且xy=﹣6得
解得:x=﹣2,y=3,或x=3,y=﹣2,
∴(1,﹣6)在f作用下的原像是(﹣2,3)或(3,﹣2).
故答案为:(7,12);(﹣2,3)或(3,﹣2).
14. 如果等差数列的第5项为5,第10项为-5,则此数列的第1个负数项是第 项.
参考答案:
8
15. 已知函数若,则__________.
参考答案:
∵时,,符合题意;
又∵时,,不合题,舍去;
∴.
16. 已知数列{an}满足,且当时,,则an =______.
参考答案:
【分析】
变形递推关系式,再根据叠乘法求结果.
【详解】当时,,所以,
因此当时,
所以
因为当时,,所以.
【点睛】本题考查利用叠乘法求数列通项,考查基本分析判断与求解能力,属中档题.
17. (5分)函数f(x)=sinx+2|sinx|, x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则实数k的取值范围是 .
参考答案:
(1,3)
考点: 正弦函数的图象.
专题: 三角函数的图像与性质.
分析: 根据sinx≥0和sinx<0对应的x的范围,去掉绝对值化简函数解析式,再由解析式画出函数的图象,由图象求出k的取值范围.
解答: 由题意知,,
在坐标系中画出函数图象:
由其图象可知当直线y=k,k∈(1,3)时,
与f(x)=sinx+2|sinx|,
x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点.
故答案为:(1,3).
点评: 本题的考点是正弦函数的图象应用,即根据x的范围化简函数解析式,根据正弦函数的图象画出原函数的图象,再由图象求解,考查了数形结合思想和作图能力.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 某校学生研究学习小组发现,学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化,老师讲课开始时,学生的兴趣激增;接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间,随后学生的注意力开始分散.设表示学生注意力指标.
该小组发现随时间(分钟)的变化规律(越大,表明学生的注意力越集中)如下:(且).
若上课后第5分钟时的注意力指标为140,回答下列问题:
(1)求的值.
(2)上课后第5分钟和下课前5分钟比较,哪个时间注意力更集中?并请说明理由.
(3)在一节课中,学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长?
参考答案:
()由题意得,当时,,即,
解得.
()∵,,
∴,
故上课后第分钟时比下课前分钟时注意力更集中.
()①当时,由()知,,解得;
②当时,恒成立;
③当时,,解得.
综上所述,.
故学生的注意力指标至少达到的时间能保持分钟.
19. (本题满分12分)已知函数,若时,恒成立,求实数的取值范围.
参考答案:
由题设,即的最小值大于或等于0,
而的图象为开口向上,对称轴是的抛物线,
当即时,在上单调递增,∴,此时;
当即时,在上单调递减,在上单调递增,∴,此时;
当即时,在上单调递减,∴,此时
;综上得:.
20. 如图,在直三棱柱ABC=A1B1C1中,AD⊥平面A1BC,其垂足D落在直线A1B上.
(1)求证:BC⊥A1B;
(2)若AD=,AB=BC=2,P为AC的中点,求二面角P﹣A1B﹣C的平面角的余弦值.
参考答案:
【考点】用空间向量求平面间的夹角;空间中直线与直线之间的位置关系.
【专题】空间位置关系与距离;空间角.
【分析】(Ⅰ)由已知得A1A⊥平面ABC,A1A⊥BC,AD⊥BC.由此能证明BC⊥A1B.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知BC⊥平面A1AB,从而BC⊥AB,以B为原点建立空间直角坐标系B﹣xyz,利用向量法能求出二面角P﹣A1B﹣C的平面角的余弦值.
【解答】(Ⅰ)证明:∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱,
∴A1A⊥平面ABC,又BC?平面ABC,∴A1A⊥BC,
∵AD⊥平面A1BC,且BC?平面A1BC,
∴AD⊥BC.又AA1?平面A1AB,AD?平面A1AB,A1A∩AD=A,
∴BC⊥平面A1AB,
又A1B?平面A1BC,∴BC⊥A1B.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知BC⊥平面A1AB,AB?平面A1AB,从而BC⊥AB,
如图,以B为原点建立空间直角坐标系B﹣xyz
∵AD⊥平面A1BC,其垂足D落在直线A1B上,
∴AD⊥A1B.
在Rt△ABD中,AD=,AB=2,
sin∠ABD==,∠ABD=60°,
在直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中,A1A⊥AB.
在Rt△ABA1中,AA1=AB?tan60°=2,
则B(0,0,0),A(0,2,0),C(2,0,0),
P(1,1,0),A1(0,2,2),
,=(0,2,2),,
设平面PA1B的一个法向量,
则,即,
得,
设平面CA1B的一个法向量,
则,即,
得,,
∴二面角P﹣A1B﹣C平面角的余弦值是.…
【点评】本题考查异面直线垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
21. (12分)已知函数f(x)=sin(2x﹣)+2sin2(x﹣)(x∈R)
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)求函数f(x)取得最大值时的x集合;
(3)函数f(x)的图象可以由函数y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的变换得到?
参考答案:
考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的最值.
专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质.
分析: (1)首先通过三角函数的恒等变换把函数关系式变形成正弦型函数,进一步求出函数的单调区间.
(2)直接利用整体思想求出函数的最值和单调区间.
(3)利用正弦函数的变换规律求出结果.
解答: (1)f(x)=sin(2x﹣)+2sin2(x﹣)
=,
=,
所以:,
令:,
解得:,
所以单调递增区间为,
(2)令:,
函数f(x)取得最大值的x集合为:
,
(3)先将函数y=sinx的图象向右平移个单位;再纵坐标不变,横坐标缩小为原来的倍; 再横坐标不变,纵坐标扩大为原来的2倍;最后整个图象向上平移1个单位.或者先将函数y=sinx的图象纵坐标不变,横坐标缩小为原来的倍;再将图象向右平移个单位;再横坐标不变,纵坐标扩大为原来的2倍;最后整个图象向上平移1个单位.
点评: 本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数的性质的应用,正弦型函数的单调区间的确定,函数图象得变换问题.属于基础题型.
22. 如图,四棱锥P﹣