浙江省湖州市上墅乡中学2022年高一数学文上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设扇形的弧长为2,面积为2,则扇形中心角的弧度数是( )
A.1 B.4 C.1或4 D.π
参考答案:
A
【考点】扇形面积公式.
【分析】设扇形中心角的弧度数为α,半径为r.利用弧长公式、扇形的面积计算公式可得αr=2, =2,解出即可.
【解答】解:设扇形中心角的弧度数为α,半径为r.
则αr=2, =2,
解得α=1.
故选:A.
2. sin(-π)的值等于 ( )
A. B.- C. D.-
参考答案:
C
略
3. 函数的图象是 ( )
参考答案:
A
略
4. 已知函数的值域为,且图象在同一周期内过两点,则的值分别为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
【分析】
根据值域先求,再代入数据得到最大值和最小值对应相差得到答案.
【详解】函数的值域为
即
,图象在同一周期内过两点
故答案选C
【点睛】本题考查了三角函数的最大值最小值,周期,意在考查学生对于三角函数公式和性质的灵活运用和计算能力.
5. 函数的定义域为
A. B. C. D.
参考答案:
A
6. 直线l:与圆C:交于A,B两点,则当弦AB最短时直线l的方程为
A. B.
C. D.
参考答案:
A
【分析】
先求出直线经过的定点,再求出弦AB最短时直线l的方程.
【详解】由题得,
所以直线l过定点P.
当CP⊥l时,弦AB最短.
由题得,
所以.
所以直线l的方程为.
故选:A
【点睛】本题主要考查直线过定点问题,考查直线方程的求法,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
7. 已知数列{an}的通项公式an = n2 +-11n-12,则此数列的前n项和取最小值时,项数n等于( )
A. 10或11 B. 12
C. 11或12 D. 12或13
参考答案:
C
略
8. 设,则的最小值是( )
A.2 B.4 C. D.5
参考答案:
B
略
9. 方程sinx=x2的正实根个数为 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.无数个
参考答案:
B
略
10. 已知α,β是两个不同的平面,给出下列四个条件:
①存在一条直线a,使得a⊥α,a⊥β;
②存在两条平行直线a,b,使得a∥α,a∥β,b∥α,b∥β;
③存在两条异面直线a,b,使得a?α,b?β,a∥β,b∥α;
④存在一个平面γ,使得γ⊥α,γ⊥β.
其中可以推出α∥β的条件个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
B
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.
【分析】根据垂直于同一直线的两平面平行,判断①是否正确;
利用线线平行,线面平行,面面平行的转化关系,判断②是否正确;
借助图象,分别过两平行线中一条的二平面位置关系部确定,判断③的正确性;
根据垂直于同一平面的两平面位置关系部确定来判断④是否正确.
【解答】解:当α、β不平行时,不存在直线a与α、β都垂直,∴a⊥α,a⊥β?α∥β,故①正确;
对②,∵a∥b,a?α,b?β,a∥β,b∥α时,α、β位置关系不确定②不正确;
对③,异面直线a,b.∴a过上一点作c∥b;过b上一点作d∥a,则 a与c相交;b与d相交,根据线线平行?线面平行?面面平行,正确
对④,∵γ⊥α,γ⊥β,α、β可以相交也可以平行,∴不正确.
故选B.
【点评】本题考查面面平行的判定.通常利用线线、线面、面面平行关系的转化判定.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 计算: .
参考答案:
21.09
12. 若曲线与直线有两个交点,则的取值范围是___________.
参考答案:
13. (5分)化简(1+tan2α)cos2α= .
参考答案:
1
考点: 同角三角函数基本关系的运用.
专题: 三角函数的求值.
分析: 由条件利用同角三角函数的基本关系,计算求得结果.
解答: (1+tan2α)cos2α=?cos2α=1,
故答案为:1.
点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用,属于基础题.
14. 求值: , .
参考答案:
15. 若幂函数y=(m2﹣2m﹣2)x﹣4m﹣2在x∈(0,+∞)上为减函数,则实数m的值是 .
参考答案:
m=3
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域.
【分析】根据给出的函数为幂函数,由幂函数概念知m2﹣m﹣1=1,再根据函数在(0,+∞)上为减函数,得到幂指数应该小于0,求得的m值应满足以上两条.
【解答】解:因为函数y=(m2﹣2m﹣2)x﹣4m﹣2既是幂函数又是(0,+∞)的减函数,
所以,?,解得:m=3.
故答案为:m=3.
16. 长为10cm的线段AB上有一点C,则C与A、B距离均大于2cm的概率
为_________.
参考答案:
略
17. 对于项数为m的有穷数列数集,记(k=1,2,…,m),即为中的最大值,并称数列是的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5,则所有满足条件的有______个.
参考答案:
;;;;
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (1)计算:
;
(2)已知0<x<1,且x+x﹣1=3,求的值.
参考答案:
【考点】对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值.
【分析】(1)利用指数与对数的原式性质即可得出.
(2)由=x+x﹣1﹣2,由0<x<1,可得x<x﹣1,即可得出.
【解答】解:(1)原式=﹣×+=9﹣×(﹣3)+2=11+3.
(2)∵x+x﹣1=3,
∴=x+x﹣1﹣2=3﹣2=1,
∵0<x<1,∴x<x﹣1,
∴x﹣x=﹣1.
19. (14分)已知函数,为正整数.
(Ⅰ)求和的值;
(Ⅱ)数列的通项公式为(),求数列的前项和;
(Ⅲ) (4分)设数列满足:,,设,若(Ⅱ)中的满足:对任意不小于3的正整数n,恒成立,试求m的最大值.
参考答案:
解:(Ⅰ)=1;
===1;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 ,
即
由, ①
得 ②
由①+②, 得
∴,
(Ⅲ) 解:∵,∴对任意的.
∴即.
∴.
∵∴数列是单调递增数列.
∴关于n递增. 当, 且时, .
∵
∴
∴
∴.而为正整数,
∴的最大值为650
略
20. (本小题满分12分)
已知函数(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象;(2)求函数的单调增区间;(3)若,求的最大值和最小值.
参考答案:
(1)列表、作图…………………………….4分
x
0
y
3
6
3
0
3
(2)由得
所以
所以函数的单调增区间为---------------------8分
(3)因为
所以,所以,
所以当即时,
当即时,---------------------12分
21. 已知DA、DB、DC为DABC的内角,且f(A、B)=sin22A+cos22B-sin2A-cos2B+2
(1)当f(A、B)取最小值时,求DC
(2)当A+B=时,将函数f(A、B)按向量平移后得到函数f(A)=2cos2A求
参考答案:
解析:(1) f(A、B)=(sin22A-sin2A+)+(cos22B-cos2B+)+1
=(sin2A-)2+(sin2B-)2+1
当sin2A=,sin2B=时取得最小值,
∴A=30°或60°,2B=60°或120° C=180°-B-A=120°或90°
(2) f(A、B)=sin22A+cos22()-
=
=
=
22. 已知数列{an}是首项为正数的等差数列,a1?a2=3,a2?a3=15.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=(an+1)?2,求数列{bn}的前n项和Tn.
参考答案:
【考点】8E:数列的求和;8H:数列递推式.
【分析】(1)设数列{an}的公差为d,由a1?a2=3,a2?a3=15.解得a1=1,d=2,即可得an=2n﹣1.
(2)由(1)知bn=(an+1)?2=2n?22n﹣4=n?4n,利用错位相减法求和即可
【解答】解:(1)设数列{an}的公差为d,
因为a1?a2=3,a2?a3=15.
解得a1=1,d=2,所以an=2n﹣1.
(2)由(1)知bn=(an+1)?2=2n?22n﹣4=n?4n,
Tn=1?41+2?42+3?43+…+n?4n.
4Tn=1?42+2?43+…+(n﹣1)?4n+n?4n+1,
两式相减,得﹣3Tn=41+42+43+…+4n﹣n?4n+1
=﹣n?4n+1=,
所以Tn=.