湖北省荆州市玉沙中学高三数学文期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. ,,,则与的大小关系为( )。
A. B. C. D.不确定
参考答案:
C
知识点:换底公式;比较大小.
解析 :解:因为,,,所以,然后两边同时取以为底的对数可以得到,,所以由两式可得,即,故选C.
思路点拨:首先根据的范围判断出,然后两边同时取以为底的对数即可比较大小.
2. 已知物体的运动方程为(t是时间,s是位移),则物体在时刻t=2时的速度为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
3. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(0)=﹣1,且对任意x∈R,有f(x)=﹣f(2﹣x)成立,则f(2015)的值为( )
A.1 B.﹣1 C.0 D.2
参考答案:
C
考点: 函数奇偶性的性质.
专题: 计算题;函数的性质及应用.
分析: 确定f(x)是以4为周期的函数,结合f(1)=0,即可求得f(2015)的值.
解答: 解:∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,对任意x∈R,有f(x)=﹣f(2﹣x)成立,
∴f(x+4)=﹣f(2﹣x)=f(x),
∴f(x)是以4为周期的函数,
∴f(2015)=f(503×4+3)=f(3)=f(1).
∵f(1)=﹣f(1),∴f(1)=0,
∴f(2015)=0
故选:C.
点评: 本题考查抽象函数及其应用,考查赋值法,求得f(1)=0是关键,考查函数的周期性,属于中档题.
4. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一,该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈L2h,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3,那么,近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.
【分析】根据近似公式V≈L2h,建立方程,即可求得结论.
【解答】解:设圆锥底面圆的半径为r,高为h,则L=2πr,
∴=(2πr)2h,
∴π=.
故选:B.
5. 在等差数列中,若,为方程的两根,则( )
A.10 B.15 C.20 D.40
参考答案:
B
略
6. 在同一平面内,已知,且,若,则的面积等于( )
A.2 B.1 C. D.
参考答案:
B
略
7. 下列命题中正确的是( )
(1)已知为纯虚数的充要条件
(2)当是非零 实数时,恒成立
(3)复数的实部和虚部都是
(4)设的共轭复数为,若
A. (1)(2) B. (1)(3) C. (2)(3) D. (2)(4)
参考答案:
C
略
8. 设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题正确的是( )
A.若 B.若
C.若 D.若
参考答案:
C
略
9. 已知定义在R上的奇函数,满足,且在区间[0,2]上是增函数,则( )A. B.
C. D.
参考答案:
D
10. 设tan(π+α)=2,则=( )
A. B.1 C.3 D.﹣1
参考答案:
C
【考点】运用诱导公式化简求值.
【分析】由条件利用诱导公式求得tanα的值,再利用诱导公式、同角三角函数的基本关系,化简要求的式子,可得结果.
【解答】解:∵tan(π+α)=tanα=2,
则====3,
故选:C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若为正实数,则 .
参考答案:
1
12. 在中,BC=,AC=2,的面积为4,则AB的长为 。
参考答案:
4或
13. 若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数,则实数的取值范围是 .
参考答案:
14. (坐标系与参数方程)直线与圆相交的弦长为.
参考答案:
.
直线与圆的普通方程为,圆心到直线的距离为,所以弦长为.
15. 函数f(x)=1﹣3sin2x的最小正周期为 .
参考答案:
π
【考点】三角函数的周期性及其求法.
【专题】三角函数的图像与性质.
【分析】由条件利用半角公式化简函数的解析式,再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期.
【解答】解:∵函数f(x)=1﹣3sin2x=1﹣3=﹣+cos2x,
∴函数的最小正周期为=π,
故答案为:π.
【点评】本题主要考查半角公式的应用,余弦函数的周期性,属于基础题.
16. 设实数x,y满足,则3x+2y的最大值为 .
参考答案:
3
【分析】作出不等式组对于的平面区域,利用数形结合即可得到结论.
【解答】解:作出不等式组对于的平面区域如图:
设z=3x+2y,则y=,
平移直线y=,由图象可知当直线y=,
经过点C时,直线y=的截距最大,此时z最大,
由,解得,
即C(1,0),
此时zmax=3×1+2×0=3,
故答案为:3
【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用z的几何意义,利用数形结合是解决本题的关键.
17. .
参考答案:
2/3
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在对人们的休闲方式的一次调查中,共调查了124人,其中女性70人,男性54人。女性中有43人主要的休闲方式是看电视,另外27人主要的休闲方式是运动;男性中有21人主要的休闲方式是看电视,另外33人主要的休闲方式是运动。
(1)根据以上数据建立一个2×2的列联表;
(2)判断性别与休闲方式是否有关系。
参考答案:
解析:(1)2×2的列联表
性别 休闲方式
看电视
运动
总计
女
43
27
70
男
21
33
54
总计
64
60
124
(2)假设“休闲方式与性别无关”
计算
因为,所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的,
即有97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关”
19. 已知在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)已知函数,且方程有解,求实数t的取值范围.
参考答案:
(1)在中,由正弦定理得.……………(2分)
即,又角为三角形内角,,
所以,……………(4分)
又因为为三角形内角,所以.………………………………(6分)
(2)的图像关于对称,由,可得,,……………(9分)
又为锐角三角形,所以,……………(10分)
,,所以.………………………………(12分)
20. (12分)已知函数在上是增函数。
(Ⅰ)求的取值范围;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的结论下,设,求函数的最小值。
参考答案:
解析:(Ⅰ)。∵ 在(0,1)上 是增函数,
∴在(0,1)上恒成立,即
∵(当且仅当时取等号),所以。
(Ⅱ)设,则(显然)
当时,在区间[1,3]上是增函数,所以h(t)的最小值为。
当时,
因为函数h(t)在区间是增函数,在区间是也是增函数,又h(t)在[1,3]上为连续函数,所以h(t)在[1,3]上为增函数,所以h(t)的最小值为h(1)=
∴
21. 如图,在直角坐标系中,角的顶点是原点,始边与轴正半轴重合。终边交单位圆于点,且,将角的终边按逆时针方向旋转,交单位圆于点,记。
(1)若,求;
(2)分别过作轴的垂线,垂足依次为,记的面积为,的面积为,若,求角的值。
参考答案:
略
22. (12分)已知函数(,)为偶函数,且函数图象的两相邻对称轴间的距离为.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)将函数的图象向右平移个单位后,得到函数的图象,求的单调递减区间.
参考答案:
解析:(Ⅰ)
.………………………………………………2分
因为为偶函数,所以对,恒成立,
因此.
即,
整理得.因为,且,所以.
又因为,故.所以…………5分.
由题意得,所以.故. …………………………6分
因此. ……………………………………………………………7分
(Ⅱ)将的图象向右平移个单位后,得到的图象,
所以.……………………9分
当(),……10分
即()时,单调递减,………………………11分
因此的单调递减区间为().……………………12分