湖北省荆州市监利县龚场中学高三数学文上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 点P是双曲线左支上的一点, 其右焦点为, 若为线段的中点, 且到坐标原点的距离为, 则双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
设双曲线的左焦点为,因为点是双曲线左支上的一点。其右焦点为,若为线段的中点,且到坐标原点的距离为,所以,又因为,,所以,解得.
2. 函数在区间上的图象大致为 ( )
参考答案:
C
3. 如果执行右面的程序框图,则输出的结果是
A. B. C. D.
参考答案:
B
4. 如图,正四棱锥P﹣ABCD底面的四个顶点A、B、C、D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,如果,则求O的表面积为( )
A.4π B.8π C.12π D.16π
参考答案:
D
【考点】球的体积和表面积.
【专题】计算题;综合题.
【分析】由题意可知,PO⊥平面ABCD,并且是半径,由体积求出半径,然后求出球的表面积.
【解答】解:如图,正四棱锥P﹣ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,PO⊥底面ABCD,PO=R,SABCD=2R2,,
所以,R=2,
球O的表面积是16π,
故选D.
【点评】本题考查球的内接体问题,球的表面积、体积,考查学生空间想象能力,是基础题.
5. 设,其中是实数,则( )
A.1 B. C. D.
参考答案:
D
6. 下列函数中,既是偶函数又在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
7. 甲:A1、A2是互斥事件;乙:A1、A2是对立事件,那么 ( )
A.甲是乙的充分但不必要条件 B.甲是乙的必要但不充分条件
C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件
参考答案:
B
8. 在△ABC中,∠A=30°,,BC=1,则△ABC的面积等于( )
A. B. C.或 D.或
参考答案:
D
【考点】正弦定理.
【专题】三角函数的求值.
【分析】利用余弦定理列出关系式,将cosA,a与c的值代入求出b的值,再由于b,c及sinA的值,利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积.
【解答】解:∵在△ABC中,∠A=30°,AB=c=,BC=a=1,
∴由余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bccosA,
即1=b2+3﹣3b,
解得:b=1或b=2,
则S△ABC=bcsinA=或.
故选D
【点评】此题考查了余弦定理,三角形面积公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理是解本题的关键.
9. 已知函数在R上是单调函数,且满足对任意,都有,若则的值是( )
A.3 B.7 C.9 D.12
参考答案:
C
略
10. 已知函数满足,且的导函数,则的解集为( D )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,如图是根据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个监测点统计的数据(单位:毫克/每立方米)列出的茎叶图,则甲、乙两地浓度的方差较小的是________.
参考答案:
甲
12. 已知正项等比数列{}的前n项和为Sn,且,则S10= ______
参考答案:
1023
13. 已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等,是的中点,则所成的角的余弦值为
参考答案:
14. 若函数是定义域上的连续函数,则实数 .
参考答案:
略
15. 阅读如图所示程序框图,若输出的,则满足条件的整数共有 个.
参考答案:
32
16. 如图,矩形OABC内的阴影部分由曲线及直线与轴围成的区域,向矩形OABC内随机掷一点,该点落在阴影部分的概率为,则 .
参考答案:
略
17. (几何证明选讲选做题)
极坐标方程分别为和的两个圆的圆心距为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asinB+bcosA=0.
(1)求角A的大小;
(2)若,求△ABC的面积.
参考答案:
【考点】HS:余弦定理的应用;HP:正弦定理.
【分析】(1)利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简求解即可.
(2)利用余弦定理求出c的值,然后求解三角形的面积.
【解答】解:(1)在△ABC中,由正弦定理得sinAsinB+sinBcosA=0,…
即sinB(sinA+cosA)=0,又角B为三角形内角,sinB≠0,
所以sinA+cosA=0,即,…
又因为A∈(0,π),所以.…
(2)在△ABC中,由余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bc?cosA,则…
即,解得或,…
又,所以.…
19. 已知函数f(x)=alnx(a>0),e为自然对数的底数.
(Ⅰ)若过点A(2,f(2))的切线斜率为2,求实数a的值;
(Ⅱ)当x>0时,求证:f(x)≥a(1﹣);
(Ⅲ)在区间(1,e)上>1恒成立,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.
【专题】导数的综合应用.
【分析】(Ⅰ)求函数的导数,根据函数导数和切线斜率之间的关系即可求实数a的值;
(Ⅱ)构造函数,利用导数证明不等式即可;
(Ⅲ)利用参数分离法结合导数的应用即可得到结论.
【解答】解答:(I)函数的f(x)的导数f′(x)=,
∵过点A(2,f(2))的切线斜率为2,
∴f′(2)==2,解得a=4.…(2分)
(Ⅱ)令g(x)=f(x)﹣a(1﹣)=a(lnx﹣1+);
则函数的导数g′(x)=a().…(4分)
令g′(x)>0,即a()>0,解得x>1,
∴g(x)在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增.
∴g(x)最小值为g(1)=0,
故f(x)≥a(1﹣)成立.…(6分)
(Ⅲ)令h(x)=alnx+1﹣x,则h′(x)=﹣1,
令h′(x)>0,解得x<a.…(8分)
当a>e时,h(x)在(1,e)是增函数,所以h(x)>h(1)=0.…(9分)
当1<a≤e时,h(x)在(1,a)上递增,(a,e)上递减,
∴只需h(x)≥0,即a≥e﹣1.…(10分)
当a≤1时,h(x)在(1,e)上递减,则需h(e)≥0,
∵h(e)=a+1﹣e<0不合题意.…(11分)
综上,a≥e﹣1…(12分)
【点评】本题主要考查导数的综合应用,要求熟练掌握导数的几何意义,函数单调性最值和导数之间的关系,考查学生的综合应用能力.
20. 一汽车4S店新进A,B,C三类轿车,每类轿车的数量如下表:
类别A
B
C
数量
4
3
2
同一类轿车完全相同,现准备提取一部分车去参加车展.
(Ⅰ)从店中一次随机提取2辆车,求提取的两辆车为同一类型车的概率;
(Ⅱ)若一次性提取4辆车,其中A,B,C三种型号的车辆数分别记为a,b,c,记ξ为a,b,c的最大值,求ξ的分布列和数学期望.
参考答案:
考点: 离散型随机变量的期望与方差;古典概型及其概率计算公式.
专题: 概率与统计.
分析: (Ⅰ)设提取的两辆车为同一类型的概率为P,直接利用古典概型求解即可.
(Ⅱ)随机变量ξ的取值为2,3,4,求出概率得到分布列,然后求解期望即可.
解答: (本小题满分12分)
解:(Ⅰ)设提取的两辆车为同一类型的概率为P,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4分)
(Ⅱ)随机变量ξ的取值为2,3,4.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6分)
∴,
∴,
∴,
∴其分布列为:
ξ
2
3
4
p
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)
数学期望为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分)
点评: 本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法,古典概型的概率的求法,考查计算能力.
21. (本小题满分13分)已知,函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)求函数在区间上的最小值.
参考答案:
(Ⅰ)函数的定义域为.
①当时,,所以
②当时,当.
故. 6分
(Ⅱ)(1)当时,由(Ⅰ)知 ;
(2) 当时,
①当时,, 由(Ⅰ)知
;
②当时,, 由(Ⅰ)知
③当时,,
由(Ⅰ)知 ;
综上所述,
13分
22. 已知{an}为等差数列,且满足a1+a3=8,a2+a4=12.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)记{an}的前n项和为Sn,若a3,ak+1,Sk成等比数列,求正整数k的值.
参考答案:
【考点】等差数列的通项公式;等差数列的前n项和;等比数列的通项公式.
【专题】等差数列与等比数列.
【分析】(Ⅰ)由题意可得首项和公差的方程组,解方程组可得通项公式;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得Sn,进而可得a3,ak+1,Sk,由等比数列可得k的方程,解方程即可.
【解答】解:(Ⅰ)设数列{an}的公差为d,
由题意可得,
解方程组可得a1=2,d=2,
∴an=2+2(n﹣1)=2n;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,
∴a3=2×3=6,ak+1=2(k+1),,
∵a3,ak+1,Sk成等比数列,∴,
∴(2k+2)2=6(k2+k),
化简可得k2﹣k﹣2=0,
解得k=2或k=﹣1,
∵k∈N*,∴k=2
【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式,涉及等比数列的通项公式,属中档题.