湖北省荆州市米积台镇中学2023年高三数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若将函数的图象向右平移个单位,所得图象关于轴对称,则的最小正值是
A. B.
C. D.
参考答案:
A
2. 已知满足,则在复平面内对应的点为( )
A.(1,-1) B.(1,1) C.(-1,1) D.(-1, -1)
参考答案:
C
3. 设等差数列的前n项和为Sn,若a1=-15, a3+a5= -18,则当Sn取最小值时n等于( )A.9 B.8 C.7 D.6
参考答案:
B
因为a3+a5= -18,所以,又a1=-15,所以d=2,所以,由,所以当Sn取最小值时n等于8.
4. 若两点A(3,2)和B(—1,4)到直线
的距离相等,则实数m等于 。
参考答案:
略
5. 设若,则的值是( )
A. -1 B. 2 C. 1 D.-2
参考答案:
C
6. 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,c=2,1+=.则∠C=( )
A.30° B.135° C.45°或135° D.45°
参考答案:
D
【考点】正弦定理;余弦定理.
【专题】解三角形.
【分析】利用正弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简即可.
【解答】解:由1+=.得1+=.
即cosAsinB+sinAcosB=2sinCcosA,
即sin(A+B)=2sinCcosA,
即sinC=2sinCcosA,
∴cosA=,即A=,
∵a=2,c=2,
∴a>c,
即A>C,
由正弦定理得,
即,
∴sinC=,
即C=45°,
故选:D
【点评】本题主要考查解三角形的应用,根据正弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简是解决本题的关键.
7. 函数的零点所在的一个区间是
A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)
参考答案:
B
8. 记函数y=f(x)的反函数为y=f﹣1(x)如果函数y=f(x)的图象过点(0,1),那么函数y=f﹣1(x)+1的图象过点( )
A.
(1,1)
B.
(0,2)
C.
(0,0)
D.
(2,0).
参考答案:
A
略
9. 已知命题p:函数f(x)=2ax2﹣x﹣1(a≠0)在(0,1)内恰有一个零点;命题q:函数y=x2﹣a在(0,+∞)上是减函数.若p且?q为真命题,则实数a的取值范围是( )
A.a>1 B.a≤2 C.1<a≤2 D.a≤1或a>2
参考答案:
C
【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用.
【专题】计算题;不等式的解法及应用.
【分析】先求出命题p,q为真命题时,a的范围,即可求出p且¬q为真命题时,即可求实数a的取值范围.
【解答】解:由题意,命题p:得a>1.
命题q:2﹣a<0,得a>2,∴¬q:a≤2.
故由p且¬q为真命题,得1<a≤2,
故选C.
【点评】本题考查函数方程思想、幂函数单调性的应用,同时又考查命题真假的理解,属于中档题.
10. 设△AnBnCn的三边长分别是an,bn,cn,△AnBnCn的面积为Sn,n∈N*,若b1>c1,b1+c1=2a1,bn+1=,则( )
A.{Sn}为递减数列
B.{Sn}为递增数列
C.{S2n﹣1}为递增数列,{S2n}为递减数列
D.{S2n﹣1}为递减数列,{S2n}为递增数列
参考答案:
B
【考点】数列的函数特性.
【分析】由an+1=an可知△AnBnCn的边BnCn为定值a1,由bn+1+cn+1﹣2a1=(bn+cn﹣2an),b1+c1=2a1得bn+cn=2a1,则在△AnBnCn中边长BnCn=a1为定值,另两边AnCn、AnBn的长度之和bn+cn=2a1为定值,由此可知顶点An在以Bn、Cn为焦点的椭圆上,根据bn+1﹣cn+1=(cn﹣bn),得bn﹣cn=,可知n→+∞时bn→cn,据此可判断△AnBnCn的边BnCn的高hn随着n的增大而增大,再由三角形面积公式可得到答案.
【解答】解:b1=2a1﹣c1且b1>c1,∴2a1﹣c1>c1,∴a1>c1,
∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1>0,∴b1>a1>c1,
又b1﹣c1<a1,∴2a1﹣c1﹣c1<a1,∴2c1>a1,∴c1,
由题意,bn+1+cn+1=+an,∴bn+1+cn+1﹣2an=(bn+cn﹣2an),
∴bn+cn﹣2an=0,∴bn+cn=2an=2a1,∴bn+cn=2a1,
又由题意,bn+1﹣cn+1=,
∴bn+1﹣(2a1﹣bn+1)==a1﹣bn,bn+1﹣a1=(a1﹣bn)=(b1﹣a1).
∴bn=a1+(b1﹣a1),cn=2a1﹣bn=a1﹣(b1﹣a1),
=?=单调递增.
可得{Sn}单调递增.
故选:B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 则函数
的零点个数为 .
参考答案:
8
12. (理)从0,1,2,3,4这5个数中取3个数,记中位数是ξ,则数学期望E(ξ)= .
参考答案:
2
考点:离散型随机变量的期望与方差.
专题:计算题;概率与统计.
分析:确定变量的可能取值,做出变量对应的概率,写出期望值.
解答: 解:ξ的可能取值为1,2,3,则
P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,
∴E(ξ)=1×+2×+3×=2.
故答案为:2.
点评:本题考查离散型随机变量的期望的计算,本题解题的关键是看出变量的可能取值,注意准确计算即可.
13. 已知函数 (p为常数,且p>0)若f(x)在(1,+∞)上的最小值为4,则实数p的值为________.
参考答案:
略
14. 已知正数x, y, z满足x+2y+3z=1, 则的最小值为 .
参考答案:
18
15. 若数a1,a2,a3,a4,a5的标准差为2,则数3a1﹣2,3a2﹣2,3a3﹣2,3a4﹣2,3a5﹣2的方差为 .
参考答案:
36
【考点】极差、方差与标准差.
【专题】计算题;转化思想;概率与统计.
【分析】根据方差是标准差的平方,数据增加a,方差不变,数据扩大a,方差扩大a2倍,可得答案.
【解答】解:数a1,a2,a3,a4,a5的标准差为2,
则数a1,a2,a3,a4,a5的方差为4,
∴数3a1﹣2,3a2﹣2,3a3﹣2,3a4﹣2,3a5﹣2的方差为4×32=36,
故答案为:36
【点评】本题考查的知识点是极差、方差与标准差,熟练掌握方差与标准差之间的关系,及数据增加a,方差不变,数据扩大a,方差扩大a2倍,是解答的关键.
16. 已知,,则的最小值为______.
参考答案:
4
【分析】
化简得到,再利用均值不等式计算得到答案.
【详解】
当即时,等号成立.
故答案为:
【点睛】本题考查了均值不等式求最值,意在考查学生的计算能力.
17. 圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是 cm.
参考答案:
4
【考点】L@:组合几何体的面积、体积问题.
【分析】设出球的半径,三个球的体积和水的体积之和,等于柱体的体积,求解即可.
【解答】解:设球半径为r,则由3V球+V水=V柱可得3×,解得r=4.
故答案为:4
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 函数的定义域为集合A,函数的定义域为集合B.
(1)求A;(2)若BA,求实数的取值范围
参考答案:
(1)A:x<-1或x≥1; --------------------------------4分
(2)B:(x-a-1)(x-2a)<0
∵φ≠BA∴① ∴a>1 ------------------------8分
或②∴a≤-2或≤a<1; ---------------------------10分
∴a>1或a≤-2或≤a<1; ---------------------------------------13分
19. (本小题满分12分)
已知向量.
(1)当时,求的值;
(2)设函数,已知在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为,若,求 ()的取值范围.
参考答案:
解:(1) …………2分
…………6分
(2)+
由正弦定理得 …………………9分
,,
所以 --------------------12分
20. 如图,某小区中央广场由两部分组成,一部分是长边为的正方形,另一部分是以为直径的半圆,其圆心为.规划修建的3条直道,,将广场分割为6个区域:I、III、V为绿化区域(图中阴影部分),II、IV、VI为休闲区域、其中点在半圆弧上,分别与,相交于点,.(道路宽度忽略不计)
(1)若经过圆心,求点到的距离;
(2)设,.
①试用表示的长度;
②当为何值时,绿化区域面积之和最大.
参考答案:
以所在直线为轴,以线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系.
(1)直线的方程为,
半圆的方程为(),
由得.
所有,点到的距离为.
(2)①由题意,得.
直线的方程为,
令,得.
直线的方程为,
令,得.
所有,的长度为
,.
②区域IV、VI的面积之和为
,
区域II的面积为
,
所以().
设,则,
,
当且仅当,即时“=”成立.
所有,休闲区域II、IV、VI的面积的最小值为.
答:当时,绿化区域I、III、V的面积之和最大.
21. 如图,E是以AB为直径的半圆O上异于A,B的点,矩形ABCD所在的平面垂直于半圆O所在的平面,且,
(1)求证:平面EAD⊥平面EBC;
(2)若的长度为,求二面角的正弦值.
参考答案:
(1)见解析;(2)
【分析】
(1)推导出平面,,,从而平面,由此能够证得结论;(2)连结,以点为坐标原点,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角的正弦值.
【详解】(1)证明:平面平面,两平面交线为,平面,
平面
平面
是直角 平面
平面 平面平面
(2)如图,连结,以点为坐标原点,在平面中,过作的垂线为轴,所在的直线为轴,在平面中,过作的垂线为轴,建立空间直角坐标系
的长度为
则:,,,,
,,
设平面的一个法向量为
则:,令,解得:,
平面的一个法向量:
二面角的正弦值为
22. (本小题满分14分)
已知数列{an}满足:a1=1,a2=(a≠0),an+2=p·(其中P为非零常数,n∈N *)
(1)判断数列{}是不是等比数列?
(2)求an;
(3)当a=1时,令bn=,Sn为数列{bn}的前n项和,求Sn。
参考答案:
解:(1)由,得. ……………………………1分
令,则,.
,,(非零常数),
数列是等比数列.