湖北省荆门市月亮湖中学高二数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数的单调递减区间为 ( )
A.(1,1] B.(0,1] C.[1,+∞) D.(0,+∞)
参考答案:
D
2. 在对两个变量x,y进行线性回归分析时,有下列步骤:
①对所求出的回归直线方程作出解释;②收集数据
③求线性回归方程; ④求相关系数; ⑤根据所搜集的数据绘制散点图.
若根据可行性要求能够作出变量x,y具有线性相关结论,则下列操作顺序中正确的是( )
A.①②⑤③④ B.③②④⑤①
C.②④③①⑤ D.②⑤④③①
参考答案:
D
略
3. 若圆心坐标为(2,-1)的圆在直线上截得的弦长为,则这个圆的方程是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
略
4. 设等差数列的前项和为,若,则的值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
5. 下列推理是归纳推理的是( )
A.A,B为定点,动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得P的轨迹为椭圆
B.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
C.由圆x2+y2=r2的面积πr2,猜出椭圆的面积S=πab
D.由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式
参考答案:
D
6. 下列函数中,既是奇函数,又在(1,+∞)上递增的是( )
A.y=x3﹣6x B.y=x2﹣2x C.y=sinx D.y=x3﹣3x
参考答案:
D
【考点】函数的单调性与导数的关系;函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断.
【分析】根据导数符号判断函数单调性的方法,奇函数的定义,二次函数图象的对称性,以及正弦函数的单调性即可判断每个选项的正误,从而找出正确选项.
【解答】解:A.y=x3﹣6x,y′=3(x2﹣2);
∴时,y′<0,即该函数在上递减;
∴该函数在(1,+∞)上不递增,即该选项错误;
B.y=x2﹣2x的图象不关于原点对称,不是奇函数,∴该选项错误;
C.y=sinx在(1,+∞)上没有单调性,∴该选项错误;
D.y=x3﹣3x,(﹣x)3﹣3(﹣x)=﹣(x3﹣3x);
∴该函数为奇函数;
y′=3(x2﹣1),x>1时,y′>0;
∴该函数在(1,+∞)上递增,∴该选项正确.
故选:D.
7. 直线与圆的位置关系是( )
(A)相切 (B)相交 (C)相离 (D)不能确定
参考答案:
B
略
8. 测得四组的值则与之间的回归直线方程为
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
A
9. “a=2”是“直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
B
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.
【分析】当a=2 时,经检验,两直线平行,故充分性成立;当两直线平行时,由斜率相等得到a=±2,故必要性不成立.
【解答】解:当a=2 时,直线2x+ay﹣1=0 即 2x+2y﹣1=0,直线ax+2y﹣2=0 即 2x+2y﹣2=0,显然两直线平行,故充分性成立.
当直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行时,由斜率相等得 ,a2=4,a=±2,
故由直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行,不能推出a=2,故必要性不成立.
综上,“a=2”是“直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行”的充分不必要条件,
故选B.
【点评】本题考查两直线平行的条件和性质,充分条件、必要条件的定义和判断方法.
10. 观察下列等式:
(1+1)=2×1
(2+1)(2+2)=22×1×3
(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5
…
照此规律,第n个等式为( )
A.(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)
B.(n+1)(n+2)…(n+1+n+1)=2n×1×3×…×(2n-1)
C.(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n+1)
D.(n+1)(n+2)…(n+1+n)=2n+1×1×3×…×(2n-1)
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知等差数列的前三项分别为,则这个数列的通项公式 .
参考答案:
4n-3
12. 给定下列四个命题:(1)是的充分不必要条件
(2)若命题“”为真,则命题“”为真
(3)若函数在上是增函数,则
(4)若则 其中真命题是_______________(填上所有正确命题的序号)
参考答案:
略
13. 在等差数列{an}中,已知,,则有( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
A
14. 已知数列的前n项和,则通项=___________.
参考答案:
略
15. 下列说法中正确的有________
①刻画一组数据集中趋势的统计量有极差、方差、标准差等;刻画一组数据离散程度统计量有平均数、中位数、众数等。②抛掷两枚硬币,出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大
③有10个阄,其中一个代表奖品,10个人按顺序依次抓阄来决定奖品的归属,则摸奖的顺序对中奖率没有影响。
④向一个圆面内随机地投一个点,如果该点落在圆内任意一点都是等可能的,则该随机试验的数学模型是几何概型。
参考答案:
③④
16. 在1和25之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则中间数是.
参考答案:
5
17. 如图四面体O﹣ABC中, ==, =,D为AB的中点,M为CD的中点,则= (,,用表示)
参考答案:
+﹣
【考点】空间向量的数乘运算.
【专题】数形结合;转化思想;空间向量及应用.
【分析】由于=, =,,代入化简即可得出.
【解答】解: =, =,,
∴=﹣
=﹣
=+﹣.
故答案为: +﹣.
【点评】本题考查了向量的三角形法则与平行四边形法则,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分10分)已知空间四边形ABCD,BC=BD,AC=AD,E是CD边的中点.在AE上的一个动点P,讨论BP与CD是否存在垂直关系,并证明你的结论.
参考答案:
连接BE,BP与CD满足垂直关系. ……………2分
因为BC=BD,E是CD中点,所以CD⊥BE ……………4分
又因为AC=AD,E是CD中点,所以CD⊥AE ……………6分
所以CD⊥平面ABE ……………8分
又因为BP是平面ABE内的直线,所以CD⊥BP ……………10分
19. (14分).在平面上有一系列的点, 对于正整数,点位于函数的图像上,以点为圆心的圆与轴相切,且圆与圆Pn+1又彼此外切,若,且
(1)求证:数列是等差数列;
(2)设圆的面积为,求证:
参考答案:
(1)证明:的半径为,的半径为,………1分
和两圆相外切,则 …………………………2分
即 ………………3分
整理,得 ………………5分
又所以 ………………………………6分
即故数列是等差数列 ………………………………7分
(2)由(1)得即, ………………8分
又 所以 ………………………9分
法(一):
………………11分
……13分
………………………………14分
法(二):
………………10分
…………………………………………11分
……………12分
……………………………13分
…………………………………………14分
20. (12分)已知函数f(x)=m(sinx+cosx)+2sinxcosx(m是常数,x∈R)
(Ⅰ)当m=1时,求函数的最小值;
(Ⅱ)求证:?m∈R,函数y=f(x)有零点.
参考答案:
【考点】函数的最值及其几何意义;三角函数的最值.
【分析】(Ⅰ)令t=sinx+cosx,则﹣,当m=1时,f(x)=(sinx+cosx)+2sinxcosx=t2+t﹣1,结合二次函数的图象和性质,可得函数的最小值;
(Ⅱ)令g(t)=t2+mt﹣1,(﹣),结合函数的零点存在定理,可得结论.
【解答】解:(Ⅰ)当m=1时,f(x)=(sinx+cosx)+2sinxcosx
令t=sinx+cosx,则﹣,且f(x)=t2+t﹣1
所以,当t=﹣时,函数取得最小值为.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4分)
(Ⅱ)令t=sinx+cosx,则﹣,且f(x)=t2+mt﹣1
令g(t)=t2+mt﹣1,(﹣)
因为g(﹣)=1﹣m,g()=1+m,g(0)=﹣1,
当m=0时,g(﹣)=g()=1>0,m,g(0)=﹣1<0,函数在[﹣,]上有零点;
当m>0时,g()=1+m>0,g(0)=﹣1<0,函数在[0,]上有零点;
当m<0时,g(﹣)=1﹣m>0,g(0)=﹣1<0,函数在[﹣,0]上有零点;
综上,对于?m∈R函数y=g(t)有零点,即函数y=f(x)有零点.﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分)
【点评】本题考查的知识点是函数的最值及其意义,函数的零点存在定理,二次函数的图象和性质,难度中档.
21. 设集合M={x||x|<1},在集合M中定义一种运算“*”,使得.
(Ⅰ)证明:(a*b)*c=a*(b*c);
(Ⅱ)证明:若a∈M,b∈M,则a*b∈M.
参考答案:
【考点】46:有理数指数幂的化简求值.
【分析】(Ⅰ)利用新定义推导出(a*b)*c=,a*(b*c)=,由此能证明(a*b)*c=a*(b*c).
(Ⅱ)要证a*b∈M,只需证:,即证,由此能证明若a∈M,b∈M,则a*b∈M.
【解答】证明:(Ⅰ)∵集合M={x||x|<1},在集合M中定义一种运算“*”,使得,
∴
a*(b*c)=a*()==,
∴(a*b)*c=a*(b*c).…(6分)
(Ⅱ)由已知得:|a|<1,|b|<1,
要证a*b∈M,只需证:,即证,
即:,
而,
有(a2﹣1)(b2﹣1)>0,
∴若a∈M,b∈M,则a*b∈M.…(12分)
【点评】本题考查等式的证明和集合中元素的证明,是中档题,解题时要认真审题,注意新定义的合理运用.
22. (本小题12分)已知函数(其中常数a,b∈),
是奇函数.
(1)求的表达式;
(2)讨论的单调性,并求在区间[1,2]上的最大值和最小值.
参考答案:
(1)
(2)减区间,增区间,