湖北省荆州市石首体育中学高二数学文期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知R是实数集,集合,则阴影部分表示的集合是( )
A. [0,1] B. (0,1] C. [0,1) D. (0,1)
参考答案:
B
【分析】
阴影部分对应的集合为A∩B,利用集合的基本运算即可得到结论.
【详解】由题可知阴影部分对应的集合为A∩B,
∵A={x|或},
B={x|0<x},
∴A∩B={x|0<x}=(0,1],
故选:B.
【点睛】本题主要考查集合的基本运算,利用集合关系确定阴影部分的集合是解决本题的关键.
2. 如图,在棱长为2的正方体中,O是底面ABCD的中心,E、F分别是、AD的中点,那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
3. 已知顶点在原点, 焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为,求抛物线的方程.
参考答案:
解:依题意可设抛物线方程为:(a可正可负),与直线y=2x+1截得的弦为AB;
则可设A(x1,y1)、B(x2,y2)联立 得
即
得:a=12或-4(6分)
所以抛物线方程为或
4. 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是侧棱BB1的中点,则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为( )
A.60° B.90°C.45° D.以上都不正确
参考答案:
A
略
5. “完成一件事需要分成个步骤,各个步骤分别有种方法,则完成这件事有多少种不同的方法?”要解决上述问题,应用的原理是( )
A.加法原理 B.减法原理 C.乘法原理 D.除法原理
参考答案:
C
6. 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=900,点D1和F1分别是A1B1和A1C1的中点,若BC=CA=CC1,则BD1与AF1所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【分析】
取的中点,连接,,将平移到,则就是异面直线与所成角,在中利用余弦定理求出此角即可
【详解】
取的中点,连接,,
就是异面直线与所成角,
设
则,,
在中,
故选
7. 设,则是 的( )
A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
8. 在△ABC中, ,则此三角形解的情况是 ( )
A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解
参考答案:
B
9. 函数的零点的个数为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
10. “”是“表示双曲线”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 过椭圆的左顶点A且斜率为的直线交椭圆于另一点,且点在轴上的射影恰为右焦点,若,则椭圆的离心率的取值范围是 ▲ .
参考答案:
略
12. 已知圆柱M的底面圆的半径与球O的半径相同,若圆柱M与球O的体积相等,则它们的表面积之比______.(用数值作答)
参考答案:
【分析】
由已知中圆柱M与球O的体积相等,可以求出圆柱的高与圆柱底面半径的关系,进而求出圆柱和球的表面积后,即可得到S圆柱:S球的值.
【详解】∵设圆柱M的底面圆的半径与球O的半径均为R,M的高为h
则球的表面积S球=4πR2
又∵圆柱M与球O的体积相等
即
解得h=,
4πR2=2πR2+2πR?h
则S圆柱=2πR2+2πR?h=,S球,
∴S圆柱:S球,
故答案为:.
【点睛】本题考查的知识点是球的体积和表面积,圆柱的体积和表面积,其中根据已知求出圆柱的高,是解答本题的关键.
13. 已知函数f(x)=|x2+2x﹣1|,若a<b<﹣1,且f(a)=f(b),则ab+a+b的取值范围是 _________ .
参考答案:
(-1,1)
14. 不等式x2﹣ax﹣b<0的解集是(2,3),则不等式bx2﹣ax﹣1>0的解集是 .
参考答案:
(﹣,﹣)
略
15. 已知三棱锥O-ABC中,,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC中点,则= . (结果用表示)
参考答案:
16. 定义在R上的函数是减函数,且函数的图象关于(1,0)成中心对称,若满足不等式.则当时,的取值范围是 .
参考答案:
.
17. 曲线在点(1,1)处的切线方程为 .
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (20分)设,定义 ,
1)求的最小值;
2)在条件下,求的最小值;
3)在条件下,求的最小值,并加以证明。
参考答案:
解析:1)
----------------------------------- 5分
(当时,取到最小值)
2)
------------------------10分
(当时,取到最小值)
3) 因为
所以
. ---------15分
(当时,取到最小值)
每小题指出什么时候取到。 (5分)
19. (本小题满分12分)
在中,角所对的边分别为,已知
(1)求的值;
(2)若,求的面积。
参考答案:
(1)由正弦定理,设
则==
所以= ……………………………………3分
即=,
化简可得
又,所以 因此=2. ……………6分
(2)由=2得 …………………………7分
由余弦定理及,得
解得=1,∴=2, …………………………………………… 9分
又因为,且,所以
因此==. …………………………………12分
20. (本小题满分12分)
已知定义域为的单调函数是奇函数,当时,.
(1)求的解析式;
(2)若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.
参考答案:
(1)定义域为的函数是奇函数 ------------2分
当时,
又函数是奇函数
------------5分
综上所述 ----6分
21. 已知△ABC的两个顶点A,B的坐标分别为(﹣2,0),(2,0),且AC,BC所在直线的斜率之积等于﹣.
(1)求顶点C的轨迹方程;
(Ⅱ)若斜率为1的直线l与顶点C的轨迹交于M,N两点,且|MN|=,求直线l的方程.
参考答案:
【考点】轨迹方程;直线与圆锥曲线的关系.
【专题】综合题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】(Ⅰ)设出C的坐标,利用AC、BC所在直线的斜率之积等于﹣,列出方程,求出点C的轨迹方程;
(Ⅱ)设直线l的方程为y=x+m,与椭圆方程联立,利用韦达定理,结合|MN|=,即可求直线l的方程.
【解答】解:(Ⅰ)设C的坐标为(x,y),则
直线AC的斜率,
直线BC的斜率,(2分)
由已知有,化简得顶点C的轨迹方程,.(5分)
(Ⅱ)设直线l的方程为y=x+m,M(x1,y1),N(x2,y2),
由题意,解得5x2+8mx+4m2﹣4=0,(7分)
△=64m2﹣20(4m2﹣4)>0,解得(8分)
∴,(10分)
代入解得m2=1,m=±1,
∴直线l的方程为y=x±1.(12分)
【点评】本题是中档题,考查点的轨迹方程的求法,考查直线与椭圆的位置关系,考查计算能力,属于中档题.
22. 柴静《穹顶之下》的播出,让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识,对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来,某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y进行统计分析,得出下表数据:
x
4
5
7
8
y
2
3
5
6
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程;
(3)试根据(2)求出的线性回归方程,预测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数.
参考答案:
(1) 散点图见解析.为正相关
(2) .
(3)7.
分析:(1)根据表中数据,画出散点图即可;
(2)根据公式,计算线性回归方程的系数即可;
(3)由线性回归方程预测x=9时,y的平均值为7
详解:
(1)散点图如图所示.为正相关.
xiyi=4×2+5×3+7×5+8×6=106.==6,==4,
x=42+52+72+82=154,
则===1,=-=4-6=-2,
故线性回归方程为=x+=x-2.
(3)由线性回归方程可以预测,燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数为7.
点睛:
本题考查了统计知识中的画散点图与求线性回归方程的应用问题,解题的关键是求出线性归回方程中的系数,是基础题目.