湖北省荆州市石首沙岭子中学高三数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在中,若,则 ( )
A. B. C. 或 D. 或
参考答案:
D
略
2. 函数的值域是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
因为函数在区间上单调递增,在区间上单调递增减,且,所以函数在区间上的值域是.故选B
3. 已知F1,F2是双曲线 (a>0,b>0)的左右两个焦点,过点F1作垂直于x轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A,B两点,△ABF2是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是
(A)(1,2) (B)(1,) (C)(1,5) (D)( ,+)
参考答案:
B
略
4. 已知等比数列前项和为( )
A.10 B.20 C.30 D.40
参考答案:
C
略
5. (5分)(2015?嘉兴二模)计算:log43?log92=( )
A. B. C. 4 D. 6
参考答案:
A
【考点】: 对数的运算性质.
【专题】: 函数的性质及应用.
【分析】: 利用对数的换底公式、运算法则即可得出.
解:log43?log92==,
故选:A.
【点评】: 本题考查了对数的换底公式、运算法则,属于基础题.
6. 右图是一个算法的流程图,最后输出的W=( )
A.18 B. 16
C.14 D.12
参考答案:
B
第一次进入循环:;
第二次进入循环:;
第三次进入循环:;
第四次进入循环:;
第五次进入循环:;
第六次进入循环:,结束此时输出W的值为。
7. (理)已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,且GC=2,点B到平面EFG的距离为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
8. 设离心率为的椭圆的右焦点与双曲线的右焦点重合,则椭圆方程为 ( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
D
由题意得,双曲线的方程,可知,
又椭圆的离心率为,即,所以,
则,所以,故选D.
9. 过三点,,的圆截直线所得弦长的最小值等于
A. B. C. D.
参考答案:
B
10. 已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若数列的通项公式,记,则 _________
参考答案:
略
12. 设复数,其中,则________.
参考答案:
略
13. 如右图所示的程序框图,运行后输出的结果是 .
参考答案:
30
略
14. 有下列各式:1++>1,1++…+>,1+++…+>2,…则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为: .
参考答案:
【考点】归纳推理.
【分析】观察各式左边为的和的形式,项数分别为:3,7,15,故可猜想第n个式子中应有2n+1﹣1项,
不等式右侧分别写成,,故猜想第n个式子中应为,由此可写出一般的式子.
【解答】解:观察各式左边为的和的形式,项数分别为:3,7,15,故可猜想第n个式子中应有2n+1﹣1项,
不等式右侧分别写成,,故猜想第n个式子中应为,
按此规律可猜想此类不等式的一般形式为:
故答案为:
【点评】本题考查归纳推理、考查观察、分析、解决问题的能力.
15. 已知幂函数f(x)=k·xα的图像过点,则k+α=________.
参考答案:
16. 已知实数满足约束条件若恒成立,则实数的取值范围为 .
参考答案:
略
17. 的二项展开式中的系数是 (用数字作答).
参考答案:
解析:,所以,系数为.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知数列{an},{bn},a1=1,bn=(1﹣),n∈N+,设数列{bn}的前n项和为Sn
(1)若an=2n﹣1,求Sn
(2)是否存在等比数列{an},使bn+2=Sn对任意n∈N+恒成立?若存在,求出所有满足条件的数列{an}的通项公式;若不存在,说明理由
(3)若a1≤a2≤…≤an≤…,求证:0≤Sn<2.
参考答案:
考点: 数列与不等式的综合;数列的求和.
专题: 等差数列与等比数列;点列、递归数列与数学归纳法.
分析: (1)通过an=2n﹣1可得bn=,利用等比数列的求和公式计算即可;
(2)设an=qn﹣1,通过bn+2=S2,令n=1即b3=b1计算可得q=±1,进而可得结论;
(3)通过1=a1≤a2≤…≤an≤…,易得Sn≥0,利用放缩法可得bn≤2(﹣),并项相加即得结论.
解答: (1)解:当an=2n﹣1时,bn=(1﹣)?=.
∴Sn=(1+++…+)=﹣;
(2)结论:满足条件的数列{an}存在且只有两个,其通项公式为an=1和an=(﹣1)n﹣1.
证明:在bn+2=S2中,令n=1,得b3=b1.
设an=qn﹣1,则bn=,
由b3=b1,得=?.
若q=±1,则bn=0,满足题设条件.
此时an=1和an=(﹣1)n﹣1.
若q≠±1,则=,即q2 =1,矛盾.
综上,满足条件的数列{an}存在,且只有两个,一是an=1,另一是an=(﹣1)n﹣1.
(3)证明:∵1=a1≤a2≤…≤an≤…,
∴an>0,0<≤1,于是0<≤1.
∴bn=(1﹣)≥0,n=1,2,3,…
∴Sn=b1+b2+…+bn≥0,
又bn=(1﹣)
=(1+)(1﹣)?
=(1+)(﹣)?
≤2(﹣).
∴Sn=b1+b2+…+bn≤2(﹣)+2(﹣)+…+2(﹣)
=2(﹣)
=2(1﹣)
<2,
∴0≤Sn<2.
点评: 本题考查求数列的通项,考查求数列的和,利用放缩法及并已改项相加法是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.
19. (本小题满分12分) 已知函数,(其中),且函
数的图象在点处的切线与函数的图象在点处的切线重合.
(1)求实数的值;
(2)记函数,是否存在最小的正常数,使得当时,对于任意正实数,不等式
恒成立?给出你的结论,并说明结论的合理性.
参考答案:
(1),;(2)存在最小的正常数.
试题分析:(1)由及可解得;(2)
,构造函数,则问题就是求
恒成立,对求导,设极值点为,存在最小正常数,当时,对于任意正实数,不等式恒成立.
所以函数在区间和上各有一个零点,令为和
,并且有在区间和上,,即;在区间上,,即。从而可知函数在区间和上单调递减,在区间上单调递增。,当时,;当时,. (10分)
还有是函数的极大值,也是最大值。题目要找的,理由:
考点:1、利用导数求切线斜率及函数的单调性;2、利用导数证明不等式恒成立问题.
【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率 、利用导数证明不等式恒成立问题,属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率,主要体现在以下几个方面:(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数;(2) 己知斜率求切即解方程;(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.
20. 设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1、F2,线段OF1、OF2的中点分别为B1、B2,且△AB1B2是面积为的直角三角形.过B1作直线l交椭圆于P、Q两点.
(1) 求该椭圆的标准方程;
(2) 若,求直线l的方程;
(3) 设直线l与圆O:x2+y2=8相交于M、N两点,令|MN|的长度为t,若t∈,求△B2PQ的面积的取值范围.
参考答案:
解:(1)设所求椭圆的标准方程为,右焦点为.
因△AB1B2是直角三角形,又|AB1|=|AB2|,故∠B1AB2=90o,得c=2b…………1分
在Rt△AB1B2中,,从而.………………3分
因此所求椭圆的标准方程为: …………………………………………4分
(2)由(1)知,由题意知直线的倾斜角不为0,故可设直线的方程为:,代入椭圆方程得,…………………………6分
设P(x1, y1)、Q(x2, y2),则y1、y2是上面方程的两根,因此,
,又,所以
………………………………8分
由,得=0,即,解得;
所以满足条件的直线有两条,其方程分别为:x+2y+2=0和x–2y+2=0……………………10分
(3) 当斜率不存在时,直线,此时,………………11分
当斜率存在时,设直线,则圆心到直线的距离,
因此t=,得………………………………………13分
联立方程组:得,由韦达定理知,
,所以,
因此.
设,所以,所以…15分
综上所述:△B2PQ的面积……………………………………………16分
略
21. 已知直线l的参数方程为为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=4,直线l过曲线C的左焦点F.
(1)直线l与曲线C交于A,B两点,求|AB|;
(2)设曲线C的内接矩形的周长为c,求c的最大值.
参考答案:
【考点】QH:参数方程化成普通方程;Q4:简单曲线的极坐标方程.
【分析】(1)曲线C与直线联立,利用参数的几何意义,求|AB|;
(2)设矩形的第一象限的顶点为,所以,即可求c的最大值.
【解答】解:(1)曲线,∴,曲线C与直线联立得,方程两根为t1,t2,则.
(2)设矩形的第一象限的顶点为,所以,
所以当sin(θ+φ)=1时,c最大值为.
22. (本小题满分12分)
如图5,已知四棱柱的俯视图是边长为的正方形,侧视图是长为宽为的矩形.
⑴求该四棱柱的体积;
⑵取的中点,证明:面面.
参考答案:
⑴依题意,四棱柱的底面是矩形,侧面与底面垂直,过作底面垂线的垂足是的中点,四棱柱的体积……2分,……3分,
……5分,……6分
⑵连接,依题意是正三角形……8分,所以……8分,
又面……10分,面,所以……10分,
因为,所以面……,
因为面,面面……12分.
略