湖北省荆门市英语信息学校高二数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆,则这个几何体一定是( )
A.圆柱 B.圆锥
C.球体 D.圆柱、圆锥、球体的组合体
参考答案:
C
【考点】平行投影及平行投影作图法.
【专题】常规题型;空间位置关系与距离.
【分析】由各个截面都是圆知是球体.
【解答】解:∵各个截面都是圆,
∴这个几何体一定是球体,
故选C.
【点评】本题考查了球的结构特征,属于基础题.
2. 等比数列{an}中, 则{an}的前4项和为( )
A. 81 B. 120 C. 168 D. 192
参考答案:
B
分析:根据等比数列的性质可知,列出方程即可求出的值,利用即可求出的值,然后利用等比数列的首项和公比,根据等比数列的前n项和的公式即可求出的前项和.
详解:,解得,
又,则等比数列的前项和.
故选:B.
点睛:等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解.
3. 从1,2,3,4这个数中,不放回地任意取两个数,两个数都是偶数的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
4. 函数,则 ( )
(A) 在上递增;(B)在上递减;(C)在上递增; (D)在上递减
参考答案:
D
5. 已知,则直线通过( )
A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限
参考答案:
C 解析:
6. 已知与的线性回归方程为,则变量增加一个单位时,下列说法正确的是( )
A.平均增加1.5个单位 B.平均增加2个单位
C.平均减少2个单位 D.平均减小1.5个单位
参考答案:
D
7. 设a>0,b>0则下列不等中不恒成立的是( )
A.a+≥2 B.a2+b2≥2(a+b﹣1) C.≥﹣ D.a3+b3≥2ab2
参考答案:
D
考点:不等式的基本性质.
专题:不等式的解法及应用.
分析:利用不等式的基本性质可得A、B、C正确,通过举反例求得D不正确,从而的互结论.
解答: 解:由条件a>0,b>0,利用基本不等式可得a+≥2,故A正确.
根据a2+b2﹣2(a+b﹣1)=(a﹣1)2+(b﹣1)2≥0,可得B正确.
当a=b时,C成立;当a<b时,C显然成立.
当a>b时,C等价于 a﹣b≥a+b﹣2,等价于 ≥b,等价于ab>b2,显然成立.
故C恒成立.
当a=2、b=3时,a3+b3=35,2ab2=36,故此时D不成立,故D不正确.
故选:D.
点评:本题主要考查不等式的基本性质,利用特殊值代入法,排除不符合条件的选项,是一种简单有效的方法,属于基础题.
8. 已知a、b是关于x的方程 (P为常数)的两个不相等的实根,则
过两点M(,)、N(b,b2)的直线与圆的位置关系为
A.相交 B,相切 C相离 D.相切或相离
参考答案:
A
9. 空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别为AB,CD中点,,则所成角为( )
. . C. D.
参考答案:
B
略
10. 设全集U是实数集R,集合A={y|y=3x,x>0},B={x|y=},
则图中阴影部分所表示的集合是( )
A.{x|0≤x<1} B.{x|0≤x≤1} C.{x| 1<x<2} D.{x| 1<x≤2}
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图,平面平面,且于,于,,,点是平面内不在上的一动点, 记与平面所成角为,与平面所成角为。 若,则的面积的最大值是 ( )B
A.6 B.12 C.18 D.24
参考答案:
B
略
12. 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量,在平面直线坐标系中,利用求动点轨迹方程的方法,可以求出过点,且法向量为的直线(点法式)方程为,化简得. 类比以上方法,在空间直角坐标系中,经过点且法向量为的平面(点法式)方程为 (请写出化简后的结果);
参考答案:
略
13. 设,有,…,根据以上规律,则函数的极小值之积为 .
参考答案:
14. 已知在等比数列{an}中,若m+2n+p=s+2t+r,m,n,p,s,t,r∈N*,则am?an2?ap=as?at2?ar.类比此结论,可得到等差数列{bn}的一个正确命题,该命题为:在等差数列{bn}中,若m+2n+p=s+2t+r,m,n,p,s,t,r∈N*,则 _________ .
参考答案:
略
15. 在△ABC中,D在边AB上,CD平分,若,,且,则AB=________,△ABC的面积为_________.
参考答案:
【分析】
设,则,由角平分线的性质可得,由余弦定理可解得,可得的值,由余弦定理可求,结合范围,可求,,利用三角形的面积公式即可求得.
【详解】由题意,如图,设,则,
由于,
所以,由余弦定理可得:,
即:,解得:,
可得:,,.
由于,
又,
可得:,,
可得:.
故答案为:,.
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质,余弦定理,三角形的面积公式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.
16. 抛物线的准线方程为,则焦点坐标是 。
参考答案:
17. 设,则是 的 条件。(填充分不必要 ,必要不充分,充要条件或既不充分也不必要)
参考答案:
必要不充分
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,点F1,F2分别是椭圆C:的左、右焦点.点A是椭圆C上一点,点B是直线AF2与椭圆C的另一交点,且满足AF1⊥x轴,∠AF2F1=30°.
(1)求椭圆C的离心率e;
(2)若△ABF1的周长为,求椭圆C的标准方程;
(3)若△ABF1的面积为,求椭圆C的标准方程.
参考答案:
【考点】椭圆的简单性质.
【专题】计算题;综合题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】(1)通过求解直角三角形得到A的坐标,代入椭圆方程整理,结合隐含条件求得椭圆C的离心率e;
(2)通过椭圆定义结合三角形的周长及隐含条件求得答案;
(3)由(1)得到a与c,b与c的关系,设直线AF2的方程为,代入2x2+3y2=6c2化简整理,求得B的坐标,再由点到直线的距离公式结合三角形面积求得答案.
【解答】解:(1)Rt△AF1F2中,∵∠AF2F1=30°,
∴,
则,代入并利用b2=a2﹣c2化简整理,
得3a4﹣2a2c2﹣3c4=0,即(a2﹣3c2)(3a2﹣c2)=0,
∵a>c,
∴,
∴.
(2)由椭圆定义知AF1+AF2=BF1+BF2=2a,
∴△ABF1的周长为4a,
∴,则,,
故椭圆C的标准方程为;
(3)由(1)知,则,
于是椭圆方程可化为,即2x2+3y2=6c2,
设直线AF2的方程为,代入2x2+3y2=6c2化简整理得3x2﹣2cx﹣5c2=0,
∴x=﹣c或,
则点B的横坐标为,
∴点B到直线AF1的距离为,
∴△ABF1的面积为,
解得c=3,
∴,
故椭圆C的标准方程为.
【点评】本题考查椭圆的简单性质,考查椭圆方程的求法,训练了利用定义法求椭圆方程,是中档题.
19. 已知椭圆的离心率为,且.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)直线:与椭圆交于A,B两点,是否存在实数m,使线段AB的中点在圆上,若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.
参考答案:
(1);(2)实数m不存在,理由见解析.
试题分析:(1)运用椭圆的离心率公式和的关系,解方程可得,进而得到椭圆方程;(2)设,,线段的中点为.联立直线方程和椭圆方程,运用韦达定理和中点坐标公式,求得的坐标,代入圆的方程,解方程可得,进而判断不存在.
试题解析:(1)由题意得,解得故椭圆的方程为;
(2)设,,线段的中点为联立直线与椭圆的方程得,即,
即,
,
所以,
即.又因点在圆上,
可得,
解得与矛盾.
故实数不存在.
考点:椭圆的简单性质.
20. 已知某几何体的三视图如下图所示,其中俯视图为正三角形,设D为AA1的中点.
(Ⅰ) 作出该几何体的直观图并求其体积;
(Ⅱ) 求证:平面BB1C1C⊥平面BDC1;
(Ⅲ) BC边上是否存在点P,使AP∥平面BDC1?若不存在,说明理由;若存在,证明你的结论.
参考答案:
[解析] 由题意可知该几何体为直三棱柱,且它的直观图如图所示.由图知底面正三角形边长为2,棱柱高为3,
∴S△ABC=,∴V=3.
(2)证明:连结B1C交BC1于E点,则E为B1C、BC1的中点,连结DE.∵AD=A1D,AB=A1C1,∠BAD=∠DA1C1=90°,
∴△ABD≌△A1C1D.∴BD=C1D.∴DE⊥BC1.同理,DE⊥B1C,
又∵B1C∩BC1=E.∴DE⊥平面BB1C1C.又∵DE?平面BDC1,∴平面BB1C1C⊥平面BDC1.
(3)解:取BC的中点P,连结AP,则AP∥平面BDC1,证明:连结PE,则PE∥AD,且PE=AD,∴四边形APED为平行四边形.∴AP∥DE.又DE?平面BDC1,AP?平面BDC1,
∴AP∥平面BDC1.
略
21. (本小题满分14分)
等腰三角形的顶点A的坐标是(4,2),底边的一个端点B的坐标是(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它是什么图形?
参考答案:
22. 设,.
(1)求在上的值域;
(2)若对于任意,总存在,使得成立,求的取值范围.
参考答案:
解:(1)法一:(导数法) 在上恒成立.
∴在[0,1]上增,∴值域[0,1].………………6分
法二:,用复合函数求值域.………………6分
法三:
用双勾函数求值域.………………6分
(2)值域[0,1],在上的值域.
由条件,只须,∴.……………12分