湖北省荆门市京源中学2023年高二数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设0<a<b,则下列不等式中正确的是( )
A.a<b<< B.a<<<b C.a<<b< D.<a<<b
参考答案:
B
【考点】基本不等式.
【分析】举特值计算,排除选项可得.
【解答】解:取a=1且b=4,计算可得=2, =,
选项A、B、D均矛盾,B符合题意,
故选:B
2. 若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是( )
A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1)
参考答案:
D
【考点】椭圆的定义.
【分析】先把椭圆方程整理成标准方程,进而根据椭圆的定义可建立关于k的不等式,求得k的范围.
【解答】解:∵方程x2+ky2=2,即表示焦点在y轴上的椭圆
∴故0<k<1
故选D.
3. 设x1、x2∈R,常数a>0,定义运算“*”,x1*x2=(x1+x2)2-(x1-x2)2,若x≥0,则动点的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分
参考答案:
D
略
4. 下列四个命题中是真命题的是( )
A.x>3是x>5的充分条件 B.x2=1是x=1的充分条件
C.a>b是ac2>bc2的必要条件 D.
参考答案:
C
【考点】2L:必要条件、充分条件与充要条件的判断;2K:命题的真假判断与应用.
【分析】利用不等式的性质、三角函数求值及其简易逻辑的判定方法即可判断出结论.
【解答】解:A.x>3是x>5的必要不充分条件,因此不正确;
B.x2=1是x=1的必要不充分条件;
C.a>b是ac2>bc2的必要不充分条件;
D. ?sinα=1,反之不成立.
故选:C.
5. 已知、为双曲线C:的左、右焦点,点P在C上,,则P到x轴的距离为( )A. B. C. D.
参考答案:
B
6. 若在上是减函数,则b的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
7. 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有( )
A.36种 B.12种 C.18种 D.48种
参考答案:
A
考点:排列、组合的实际应用.
专题:排列组合.
分析:根据题意,小张和小赵只能从事前两项工作,由此分2种情况讨论,①若小张或小赵入选,②若小张、小赵都入选,分别计算其情况数目,由加法原理,计算可得答案.
解答: 解:根据题意分2种情况讨论,
①若小张或小赵入选,则有选法C21C21A33=24;
②若小张、小赵都入选,则有选法A22A32=12,
共有选法12+24=36种,
故选A.
点评:本题考查组合、排列的综合运用,涉及分类讨论的思想,注意按一定顺序,做到不重不漏.
8. 已知函数有两个零点,则( ▲ )
A. B. C. D.
参考答案:
d
略
9. 下列说法错误的是 ( )
A、“”是“”的必要不充分条件
B、命题“若a=0,则ab=0”的否命题是:“若a≠0,则ab≠0”;
C、若命题p:x∈R,x2-x+1<0,则p:x∈R,x2-x+1≥0;
D、函数的单调增区间是
参考答案:
D
10. 如图,一个简单空间几何体的三视图中,其正视图与侧视图都是边长为2的正三角形,俯视图轮廓为正方形,则其侧面积是( )
A.12 B.8 C.4 D.
参考答案:
B
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】根据已知中一个简单空间几何体的三视图中,其正视图与侧视图都是边长为2的正三角形,俯视图轮廓为正方形,我们可以判断出该几何体为一个正四棱锥,进而求出其底面棱长及侧高,代入棱棱侧面积公式,即可得到答案.
【解答】解:由已知中几何体的三视图中,
正视图与侧视图都是边长为2的正三角形,俯视图轮廓为正方形
可得这个几何体是一个正四棱椎
且底面的棱长为2,棱锥的高为,其侧高为2
则棱锥的侧面积S=4××2×2=8
故选B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设P为有公共焦点F1,F2的椭圆C1与双曲线C2的一个交点,且,若椭圆C1的离心率为,双曲线C2的离心率为,则的最小值为 ▲ .
参考答案:
8
【分析】
由题设中的条件,设焦距为2c,椭圆的长轴长2a,双曲线的实轴长为2m,根据椭圆和双曲线的性质以及勾弦定理建立方程,联立可得m,a,c的等式,整理即可得到+=2,再利用基本不等式,即可得出结论.
【详解】由题意设焦距为2c,椭圆的长轴长2a,双曲线的实轴长为2m,不妨令P在双曲线的右支上
由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2m ①
由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a ②
又∠F1PF2=90°,故|PF1|2+|PF2|2=4c2③
①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2④
将④代入③得a2+m2=2c2,可得+=2,
∴=(+)()=(10++)≥(10+6)=8
故答案为:8.
12. 抛物线的焦点坐标是 .
参考答案:
略
13. 二面角α-l-β为60°,A、B是棱l上的两点,AC、BD分别在半平面α、β内,AC⊥l,BD⊥l,且AB=AC=a,BD=2a,则CD的长为____________.
参考答案:
略
14. 抛物线的焦点坐标是_____________.
参考答案:
(3,0)
15. 用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不小于60度”时,反设正确的是
;
参考答案:
假设三内角都小于60度;
16. 设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是
参考答案:
y2=8x
略
17. 如图所示的程序框图,输出的n的值是 .
参考答案:
5
【考点】程序框图.
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,依次写出每次循环得到的n的值,当n=5时,满足条件2n>20,退出循环,输出n的值为5.
【解答】解:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可得:
n=0,
执行循环体,n=1,
不满足条件2n>20,执行循环体,n=2,
不满足条件2n>20,执行循环体,n=3,
不满足条件2n>20,执行循环体,n=4,
不满足条件2n>20,执行循环体,n=5,
满足条件2n>20,退出循环,输出n的值为5.
故答案为:5
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,ABCD是正方形,O是正方形的中心, PO底面ABCD,E是PC的中点.
求证:(1)PA∥平面BDE;
(2)平面PAC平面BDE.
参考答案:
证明:(Ⅰ)∵O是AC的中点,E是PC的中点,
∴OE∥AP, ………………………2分
又∵OE平面BDE,PA平面BDE,
∴PA∥平面BDE. ……………5分
(Ⅱ)∵PO底面ABCD,
∴POBD, ………………7分
又∵ACBD,且ACPO=O
∴BD平面PAC,而BD平面BDE, ……………10分
∴平面PAC平面BDE. ………………12分
19. 如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形,且PA=AD=1,AB=2,∠PAB=
120°,∠PBC=90°.
(Ⅰ)求证:直线DA⊥平面PAB;
(Ⅱ)求三棱锥B﹣PAC的体积.
参考答案:
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定.
【专题】数形结合;数形结合法;空间位置关系与距离.
【分析】(I)根据矩形的性质得出AD⊥AB,AD∥BC,由BC⊥PB得出AD⊥BP,故AD⊥平面PAB;
(II)将△PAB当作棱锥的底面,则棱锥的高为BC,代入体积公式计算.
【解答】(I)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AD⊥AB,AD∥BC.
∵∠PBC=90°,∴BC⊥PB,
∴AD⊥PB,又AB?平面APB,BP?平面ABP,AB∩BP=B,
∴DA⊥平面PAB.
(II)解:∵AD∥BC,AD⊥平面PAB,
∴BC⊥平面PAB,BC=AD=1.
∵S△PAB==.
∴三棱锥B﹣PAC的体积V===.
【点评】本题考查了线面垂直的判定,棱锥的体积计算,属于中档题.
20. 已知条件和条件,请选取适当的实数的值,分别利用所给的两个条件作为构造命题:“若则”,并使得构造的原命题为真命题,而其逆命题为假命题,则这样的一个原命题是什么?并说明为什么这一命题是符合要求的命题.
参考答案:
21. (本小题满分12分)
已知函数.().
(1)当时,求函数的极值;
(2)若对,有成立,求实数的取值范围.
参考答案:
当变化时,,的变化情况如下表:
x
1
+
0
0
+
单调递增
极大
单调递减
极小
单调递增
------------------------4分
∴当时,函数有极大值,----------------5分
当时函数有极小值,---------------------------6分
即,对恒成立,-----------------------------8分
∵,当且仅当时等号成立,
∴------------------------------9分
②当时,有,
即,对恒成立,
∵,当且仅当时等号成立,
∴----------------11分
③当时,
综上得实数的取值范围为.------------------12分
22. 已知圆C: (x-2)2+y2=2.
(1)求与圆C相切,且在x轴、y轴上的截距相等的直线方程.
(2)已知过点P(1,3)的直线l交圆C于A、B两点,且|AB|=2,求直线l的方程.
参考答案:
见解析.
解:()若直线过原点,设为,圆心为,半径为,则由与圆相切,可得,解得,
此时直线方程为.
()若直线不过原点,设为,
则,
解得或,
此时直线方程为或,
综上所述,直线方程为或.
①若斜率不存在,则直线方程为,
弦长距,半径为,
则,符合题意.
②若斜率存在,设直线方程为,
弦心距得,
解得,
综上所述,直线的方程为或.